1.6.5. Пример (Задача Дидоны).
В IX веке до н.э. финикийская царевна Дидона со своими спутниками, спасаясь от преследования тирской знати, бежала из города Тира и высадилась на африканском берегу Средиземного моря.
Решив поселиться здесь, Дидона упросила местных жителей отдать в ее распоряжение участок земли, который можно охватить шкурой быка. Простодушный правитель тех мест не понял подвоха и согласился отдать участок земли, который по его разумению, должен был по площади быть равным площади расправленной шкуры быка. Дидона же разрезала шкуру быка на тонкие полоски, связала их в длинный ремень и ограничила им довольно значительную территорию на берегу моря. Так был заложен город Карфаген (который впоследствии был разрушен римлянами). Задача, которую поставила Дидона, может быть сформулирована следующим образом. Найти такую гладкую кривую в верхней полуплоскости, проходящую через точки 
и 
и имеющую данную длину 
, которая охватывала бы вместе с отрезком 
максимальную площадь:
 |   . Функция Лагранжа |
.Уравнение Эйлера
Экстремалями являются окружности. Из краевых условий 
находим:
, 
, и уравнение окружности имеет вид 
.
 | Выразив отсюда  , вычислив  и приравняв результат к  , получим одно уравнение с неизвестным  (получается трансцендентное уравнение, которое можно решить только приближенно). Вычислив , получим уравнение конкретной |
окружности. Так как по смыслу задачи максимум есть, а экстремаль только одна, то дуга найденной окружности и будет точкой максимума.
1.6.6. Пример.
.
? 
.
1) Уравнения Эйлера:
2) Определим 
и 
:
, откуда
,
,откуда 
.
3) Решение уравнений Эйлера:
4) Найдем постоянные
Экстремаль: 
. ■