§ 7.2. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ Задача 1

Шкив 1 радиусом ОхВ = г, = 0,5 м вращается равномерно с частотой rtj = 0,5 с-1. Он соединен ременной передачей со шкивом 2 радиусом 02С = r2 = 1 м (рис. 7.9). Определите модули скорости и ускорения точки А шкива 3 радиусом О^А = R = 1,2 м, жестко соединенного со шкивом 2.

Решение. Так как все точки ремня имеют одинаковые по модулю скорости, ТО VB = Vc ИЛИ (0^ = (О2Г2, где (OJ и СО2 — угловые скорости шкивов 1 и. 2. Отсюда

ri

со2 = ю1Г.

2

Частота вращения равна пг Следовательно (см. § 1.28),

= 2тіп.1.

Определим угловую скорость шкива 2:

г,

(О, = 2кп, —.

2 1 г,,

Так как шкив 3, которому принадлежит точка А, жестко соединен со шкивом 2, то угловые скорости шкивов одинаковы и, следовательно, скорость точки А равна:

2 лл1г1

vA = со 2R = R;

г2

2-3,14 -0,5-0,5 . 0 . 0 , ид = j • 1,2 м/с ~ 2 м/с.

Так как (й2 = const, то модуль нормального ускорения точки А равен:

ап = со|Д = 3 м/с2.

Задача 2

а) 1 1 „ V V^ Мс У 1 1 Две параллельные рейки движутся в противоположные стороны со скоростями v1 и v2. Между рейками зажат диск радиусом R, катящийся по рейкам без проскальзывания (рис. 7.10, а). Найдите угловую скорость диска и скорость его центра.? 1. Решение. Так как диск катится по рейкам без проскальзыва-ния, то скорости точек А и В равны скоростям движения реек. Найдем точку, относительно которой диск можно считать вра-щающимся в каждое мгновение (мгновенный центр вращения). Для этого соединим концы векторов скоростей точек А и В (рис. 7.10, б). Точка пересечения этого отрезка с диаметром АВ является центром вращения диска в данный момент времени.

Определим расстояние от мгновенного центра вращения (точка D) до центра симметрии О диска. Полагая OD = х, имеем:

= AD _ В + х v~2 BD R - х '

Отсюда

У1 ~~ V2 х= — R.

+ v2

Воспользовавшись формулой (7.1.1), вычислим угловую скорость диска:

(О =

AD R + х

2Rv,

Учитывая, что R + х = —-— , получим:

+ v2

и, + v9

Модуль скорости центра диска определим по формуле

- V2

v = со • OD = .

Упражнение 12

Линейная скорость точек окружности вращающегося диска равна і>! = 3 м/с, а точек, находящихся ближе к оси вращения на расстояние /=10 см, t>2 = 2 м/с. Сколько оборотов в минуту делает диск?

Найдите модули линейной скорости и нормального ускорения точек поверхности земного шара: а) на экваторе; б) на широте 60°.

v

Рис. 7.12

яшшшшш

Рис. 7.11 В

В

Рис. 7.13

Рис. 7.14

| Диск радиусом R зажат между двумя параллельными рейками (рис. 7.11). Нижняя рейка неподвижна, а верхняя движется со скоростью v = 4 м/с. Определите скорость точки В диска относительно неподвижного наблюдателя, если проскальзывание отсутствует.

Бревно нижним концом упирается в угол между стеной и землей и касается борта грузовика на высоте h от земли (рис. 7.12). Найдите угловую скорость бревна в зависимости от угла а, если грузовик отъезжает со скоростью v. При движении грузовик не увлекает бревно за собой.

Трамвай движется со скоростью v. Радиус трамвайного колеса равен г, а радиус реборды — R (рис. 7.13). С какой скоростью и в каком направлении движется в данный момент времени нижняя точка реборды (точка В)?

Кривошип OA, вращаясь с угловой скоростью <и = 2,5 рад /с, приводит в движение колесо радиусом AS = г = 5 см, катящееся по неподвижному колесу радиусом R = 15 см (рис. 7.14). Найдите скорость точки В.