§ 9.5. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ Задача 1

Диаметр стеклянной пробки, застрявшей в горлышке флакона, dQ = 2,5 см. Чтобы вынуть пробку, горлышко нагрели до температуры tx = 150 °С. Сама пробка успела при этом нагреться до температуры t2 = 50 °С.

Решение. Обозначим начальную температуру стеклянного флакона и застрявшей в нем пробки через t0. Тогда после нагревания диаметр горлышка флакона будет

dj = d0[l + a1(tl ~ t0)],

а диаметр пробки

d2 = d0[l + ai(t2 - t0)].

Образовавшийся зазор между пробкой и горлышком составит

1 ~ 2 2 • Подставляя числовые значения величин, найдем

Z = 0,01 мм.

Задача 2

Объем некоторой массы спирта при нагревании увеличился на AV = 5,5 см3. Начальная плотность спирта р0 = 800 кг/м3, температурный коэффициент объемного расширения спирта а = 1,1-Ю-3К-1. Удельная теплоемкость спирта с = 2,4 х х 103 ДжДкг • К). Какое количество теплоты сообщено спирту?

Решение. Первоначальный объем спирта F0. После нагрева-ния он стал равен V = F0(l + aAt). Изменение объема спирта

AV=V-V0 = V0aAt. (9.5.1)

Количество теплоты, сообщенное спирту при нагревании,

Q = cmAt, (9.5.2)

где т = p0F0 — масса спирта.

Разделив почленно выражения (9.5.1) и (9.5.2), получим

AV __ а

Q ср0'

отсюда

AVcp0

Q = —^ = 9600 Дж.

Задача З

Как велика сила F, которую нужно приложить к медной проволоке с площадью поперечного сечения S = 10 мм2, чтобы растянуть ее на столько же, на сколько она удлиняется при нагревании на At = 20 К? Коэффициент линейного расширения меди = 1,7 • 10~5К_1, модуль Юнга Е = 1,2 • 1011 Па.

Решение. Согласно закону Гука ст = Ее или = Еу-, где

й i0

Fy — сила упругости, возникающая в проволоке при ее относительном удлинении в = у-, а Е — модуль упругости (модуль

'о

Юнга) меди.

F - гМ

S-V

Отсюда

Fl0

Д (9.5.3)

Согласно условию задачи проволока должна получить такое же удлинение при нагревании на At:

Al = (9.5.4)

Подставив в уравнение (9.5.3) выражение (9.5.4) для ДI, получим выражение для силы:

F = ES^At = 410 Н.

Задача 4

Определите длины Iq и Iq железной и медной линеек при температуре t0 = 0 °С, если разности их длин при темпера-турах tv = 50 °С и t2 = 450 °С одинаковы по модулю и равны 1 = 2 см. Коэффициенты линейного расширения железа и меди соответственно равны а^ = 1,2 • 10~5K~L и а." = 1,7 • 10"5К_1.

Решение. Разность длин линеек при температуре t^ равна

При температуре t2 эта разность равна

l'0a + a[t2)- + a'{t2) = ±l.

Знак плюс соответствует случаю, когда разность длин линеек остается неизменной (рис. 9.11, а). Знаку минус соответствует случай, когда при температурах t1 и t2 разности длин линеек одинаковы по модулю, но противоположны по знаку (рис. 9.11, б).

В первом случае система уравнений приводит к следующим результатам:

ai

1'шл\ = I — 6,8 см,

щ ' а1-а1

а1

zo'(i) = 71 = 4>8 см-

(л | — u|

Во втором случае результаты получаются такими:

а)

б)

Рис. 9.11

2 + aUt, + t0) l'ai2-\ = • > 1 e 2008 см,

2 + а, (t, +10)

І'мгл = - • 1 e 2006 CM-

0(2) {і2-іг){ Oj-ttj)

В обоих случаях при tQ = О °С длина железной линейки должна быть больше медной.

Задача 5

При температуре f0 = О °С стеклянный баллон вмещает т0 = 100 г ртути. При температуре fj = 20 °С баллон вмещает тх = 99,7 г ртути. В обоих случаях температура ртути равна температуре баллона. Найдите по этим данным температурный коэффициент линейного расширения стекла учитывая, что

коэффициент объемного расширения ртути а = 1,8 • Ю-4 К-1.

Решение. Если вместимость баллона при 0 °С обозначить через F0, то при температуре tx она будет равна

F1 = F0(l + 3a J*!).

Обозначим через р0 и рх плотности ртути при температурах

и tj. Тогда массы ртути при начальной и конечной температурах будут равны т0 = p0F0 и т1 = ргУг, причем согласно формуле (9.3.7)

_ Ро р1~ гг^-

т0 т1 тх (1 + a^j)

Отсюда Vn = — и Vx = — .

0 Ро Pi Ро

Из выражения (9.5.5) находим

«г--^. (9-5.6)

ос, =

— г 2 = іо~бк_1

m0t1

Подставляя в уравнение (9.5.6) значения V0 и Vl7 окончательно получим

Упражнение 8

Как должны относиться длины и 12 двух стержней, сделанных из разных материалов, с температурными коэффициентами линейного расширения а^ и а'{, чтобы при любой температуре разность длин стержней оставалась одинаковой?

Стальная балка наглухо закреплена между двумя стенами при температуре t0 = О °С. При повышении температуры до = 10 °С она производит на стены давление рх = = 3 • 107Па. Какое давление р2 будет оказывать на стены балка при температуре f2 = 25 °С?

Из металлического диска вырезан сектор (рис. 9.12). Что произойдет с углом ф при нагревании диска?

Медный лист размером 60 х 50 см при 20 °С нагревается до 600 °С. Как изменится его площадь? Температурный коэффициент линейного расширения меди = 1,7 • Ю-5 К-1.

Какое количество теплоты надо израсходовать, чтобы стальной рельс длиной 10 м и площадью поперечного сечения 20 см2 удлинился на 6 мм? Плотность стали р = = 7,8 • 103кг/м3. Температурный коэффициент линейного расширения 1,2-Ю-5 К-1. Удельная теплоемкость стали с = 460 ДжДкг • К).

Латунный сосуд при нагревании увеличился в объеме на п = 0,6% . На сколько градусов был нагрет сосуд, если температурный коэффициент линейного расширения латуни

= 2 - 10"5К_1?

Сообщающиеся сосуды заполнены жидкостью, имеющей температуру t]_. При нагревании жидкости в одном из сосудов до температуры t2 уровень жидкости в этом сосуде установился на высоте й1( а в другом сосуде — на высоте й2. Найдите температурный коэффициент объемного расширения жидкости а. Определите объем ^шарика ртутного термометра, если известно, что при температуре t0 = 0 °С ртуть заполняет шарик целиком, а объем канала между делениями, соответствующими 0 °С и 100 °С, равен V = 3 мм3. Температурный коэффициент объемного расширения ртути а = 1,8 • 10 4К \ температурный коэффициент линейного расширения стекла ах = 8- КГ6К-1.

9. В кварцевый сосуд объемом V = 2,5 л помещен латунный цилиндр, масса которого т = 8,5 кг. Остальная часть сосуда заполнена водой. При нагревании сосуда вместе с содержимым на At = 3 К уровень воды в сосуде не изменился. Найдите температурный коэффициент объемного расширения воды. Температурный коэффициент линейного расширения кварца = 4,2-КГ7 К-1, латуни а2 = 2-Ю"5 К'1. Плотность латуни р = 8,5 ¦ 103 кг/м3.