§7.10. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ Задача 1

На краю горизонтальной платформы массой т и радиусом R, которая может свободно вращаться относительно оси О'О", закреплена небольшая пушка (рис. 7.40). Платформа вначале покоится.

Рис. 7.40

Решение. До выстрела момент внешних сил, действующих на пушку и платформу, равен нулю. Он равен нулю и после выстрела, так как при выстреле между пушкой и снарядом дейст- вуют лишь внутренние силы, суммарный момент которых равен нулю. Вследствие этого суммарный момент импульса снаряда, пушки и платформы остается неизменным. До выстрела он был равен нулю. Следовательно, он будет равняться нулю и после выстрела. Это означает, что момент импульса, которым обладает снаряд, равен по модулю и противоположен по знаку моменту импульса платформы и пушки.

Момент импульса снаряда равен произведению импульса снаряда mcv на плечо, т. е. mcvR. Момент импульса платформы и пушки состоит из двух частей: момента импульса пушки

maR2(i> и момента импульса платформы ^ mR2(s) (здесь учтено, что пушка рассматривается как материальная точка; для момента инерции платформы использована формула (7.7.3)).

Учитывая, что момент импульса снаряда равен по модулю суммарному моменту импульса пушки и платформы, получим равенство: muR2(n + 2 mR2iо.

mcvR

Отсюда находим угловую скорость вращения:

m„v со =

R

(mn + lm) Задача 2 О

m,g

m2g

Через блок, представляющий собой сплошной диск радиусом R, перекинута нить. На нити подвешены грузы массами т1 и т2 (т2 > тп^. Масса блока т (рис. 7.41). Определите разность сил натяжения нитей с обеих сторон блока и ускорение грузов. Считать, что нить нерастяжима и не может скользить по блоку.

Решение^ Обозначим силы натяжения нитей через Тг и Т2, ускорения грузов через а,, а2.

Направим ось координат по вертикали снизу вверх.

Нить нерастяжима, поэтому ускорения а, и а2 равны по модулю: Oj = а2.

Исключая с помощью этого условия ускорение а2 из второго уравнения движения, получим:

ffijOj = Tj - mg; т2а, = m2g - T2. (7.10.2)

Чтобы получить уравнение, содержащее разность сил натяжения нитей, сложим уравнения (7.10.2):

(т, + m^a-y = (m2 - mjg - (Т2 - Т,). (7.10.3)

Теперь рассмотрим уравнение вращательного движения бло-ка. Учитывая, что моменты, создаваемые силами Т, и Т2, имеют противоположные знаки, получим уравнение:

jp = (Г2 - Г^Д, (7.10.4)

где J — момент инерции блока; Р — его угловое ускорение.

Угловое и линейное ускорения связаны соотношением aj = рії, поэтому уравнение (7.10.4) можно записать так:

^ai = T2-Tv (7.10.5)

R

Из уравнений (7.10.3) и (7.10.5) находим искомые величи-ны:

ТП0 — ТП-1

ё, (7.10.6)

J

ТП! + ТП2 + —2

R

Шс, — ТПл

2 (7.10.7)

{тп, + m2)R + J

Так как по условию тп2> тп,, то аг > 0, т. е. ускорение первого груза направлено вверх, а второго — вниз. Из выражения (7.10.7) следует, что Т2 > Tv Это понятно, так как диск повора-чивается по часовой стрелке.

Если момент инерции блока настолько мал, что выполняется условие

J « (m, + m2)R2, то, как это следует из формулы (7.10.7),

Т2 - 7\ « (т2 - mjg,

т. е. разность сил натяжения нитей много меньше силы (т2 - ~ mjg.

Если пренебречь моментом инерции блока (J = 0; невесомый блок), то из выражений (7.10.6) и (7.10.7) следует:

ITI2 ~ Ш j

ал = ; §'¦> 7і, = 2V

1 т2 + т1 г 1

Таким образом, в случае невесомого блока натяжение нитей оказывается равным (см. задачу 5 § 2.14).

Упражнение 14

Докажите, что кинетическая энергия твердого тела, вращающего-ся вокруг неподвижной оси, равна:

т 2 J со

* 2 '

где J — момент инерции, а со — угловая скорость.

Сплошной цилиндр радиусом R и массой т скатывается с наклонной плоскости с углом а. Определите ускорение центра масс цилиндра и силу трения.

Горизонтальная платформа массой т и радиусом R вращается с угловой скоростью со. На краю платформы стоит человек массой mJ. С какой скоростью со1 будет вращаться платформа, если человек перейдет от края платформы к ее центру? Человека можно рассматривать как материальную точку.

На барабан с горизонтальной осью вращения радиусом R = 0,5 м намотан шнур, к концу которого привязан груз массой т = 10 кг. Найдите момент инерции барабана, если известно, что угловое ускорение р = 2 рад/с2. Трением пренебречь.

Через блок массой т = 10 г перекинута нить, к концам которой привязаны грузы массами т1 = 10 г и т2 = 15 г. С каким ускорением движутся грузы? Блок считать сплошным диском.