1.5. Корни квадратного трехчлена

Нужно найти корни уравнения

Выделив полный квадрат, получим формулу (*), откуда

Мы должны рассмотреть три случая:

1) , тогда

В этом случае уравнение имеет два различных корня:

2) , тогда

в силу (*), то есть - два совпадающих корня.

3) , тогда

не имеет вещественных корней, так как

Итак, доказана теорема:

Теорема 1. Пусть имеется уравнение если

1) , то уравнение не имеет вещественных решений.

2) , то уравнение имеет два равных корня

3) , то уравнение имеет два различных корня

Замечание: если

В этом случае корни удобно находить по формуле

Теорема 2.

Доказательство теоремы:

Пусть (1),

где произвольные фиксированные числа, тогда из (1) получаем

а это по (**) есть , что требовалось доказать.

1) В этом рассуждении использовано монотонное возрастание функции на множестве

2) Докажите, что функция монотонно возрастает на множестве

Аналогично доказывается монотонное возрастание функции на

Теорема 3. Если а < 0, то функция монотонно возрастает для и монотонно убывает для

Доказательство теоремы аналогично доказательству теоремы 2.

Следствие.

Если а > 0, то для любого х

Если а < 0, то для любого х

При а > 0

При а < 0

min и max достигаются при x =.

Точка называется вершиной параболы.