<<
>>

5.4. Интегрирование тригонометрических функций.

1. Интегралы вида òsinmx cosnx dx

а) Если хотя бы один из показателей m и n – нечетное положительное число – используются подстановки sinx = t при нечетном n и cosx = t при нечетном m.

Примеры:

б) Если оба показателя m и n – четные положительные числа, подинтегральную функцию следует преобразовать с помощью известных соотношений: .

Пример:

2. Интегралы вида òtgmxdx и òctgmxdx, где m – целое положительное число, интегрируются с помощью соотношений tg2x = sec2x–1 и ctg2x = cosec2x – 1, позволяющих последовательно понижать степень подинтегральной функции.

Пример:

Аналогично находятся интегралы вида òtgmx secnx dx и òctgmx cosecnx dx, где n – целое положительное число.

Интегралы òsin(mx) cos(nx) dx, òcos(mx) cos(nx) dx, òsin(mx) sin(nx) dx вычисляются с помощью формул sina cosb = ½[sin(a +b) + sin(a – b)], cosa cosb = ½[cos(a + b) + cos(a – b)], sina sinb = ½[cos(a – b) – cos (a + b)], позволяющих произведение тригонометрических функций представить в виде суммы.

Интегралы вида òR(sinx, cosx)dx, где R – рациональная функция, вычисляются с помощью универсальной тригонометрической подстановки tg x/2 = t (х = 2arctgt). Переход к новой переменной в подинтегральном выражении осуществляется с помощью формул:

(5.26)

Пример:

Проинтегрируем с помощью тригонометрической подстановки простейшую рациональную дробь четвёртого типа , где .

Выделив в знаменателе полный квадрат получим и, обозначив . Применив подстановку получим легко вычисляемый уже известным приёмом.

Контрольные вопросы.

1) Как найти интегралы вида , если: а) хотя бы один из показателей m или n – нечётное положительное число; б) оба показателя m и n – чётные положительные числа?

2) Как найти интегралы вида , где m – целое положительное число?

3) Как найти интегралы вида , где R – рациональная функция?

Тест 24.

Найти интегралы и указать верные ответы: 1) 2) .

1) а) ; б) ;

2) а) ; б) .

<< | >>
Источник: Гофман В.Г., Брусник Н.А., Семёнова С.В.. Высшая математика. Учебное пособие для студентов технологических и механических специальностей, всех форм обучения. Часть 2. - МГУТУ, 2004. 2004

Еще по теме 5.4. Интегрирование тригонометрических функций.:

  1. § 42. Интегрирование некоторых функций, содержащих квадратный трёхчлен
  2. § 45. Интегрирование тригонометрических функций
  3. Содержание часть 1
  4. 5.3. Интегрирование рациональных функции.
  5. 5.4. Интегрирование тригонометрических функций.
  6. Вопросы для самопроверки.
  7. Содержание
  8. Интегрирование рациональных функций.
  9. Интегрирование некоторых тригонометрических функций.
  10. Интегрирование биноминальных дифференциалов.
  11. Ряды Фурье.
  12. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
  13. 5.1. Определение основных тригонометрических функций