5.1.4. Приведение тригонометрических функций к функциям острого угла
Для вычисления значений тригонометрических функций любого угла нужно уметь свести эту задачу к вычислению тригонометрических функций соответствующего острого угла.
С этой целью необходимо:
1.
Воспользоваться периодичностью тригонометрических функций и добавить (или вычесть) к аргументу функции целое число периодов, чтобы в результате под знаком функции оказался угол, меньший по модулю одного периода.Пример. sin405°= sin (360° + 45°) = sin45° =
2. Воспользоваться свойствами четности или нечетности тригонометрических функций.
Пример. tg 863° = tg (5 · 180° - 37°) = tg(-37°) = -tg37°
Пример. cos1313° = cos (4 · 360° - 27°) = cos (-27°) = cos27°.
К острому углу можно перейти, пользуясь формулами приведения.
Определение: Формулами приведения называются формулы, выражающие тригонометрические функции углов 90° 180°
, 270°
, 360°
через тригонометрические функции угла α.
Углы 180°± α и 360°± α считают образованными отклонением α от горизонтальной оси; а углы 90°± α и 270°± α – отклонением угла α от вертикальной оси.
Правила приведения: В левой части формулы приведения стоит приводимая функция.
І. Если угол образован отклонением от горизонтальной оси, т.е., то название функции не изменяется, а знак берётся тот, который имеет исходная функция в данной четверти.
Например, sin(180°-α) =sin α, cos(180°-α) =-cosα.
II. Если угол образован отклонением от вертикальной оси, то название функции изменяется ( sin на cos, tg на ctg), а знак берётся тот, который имеет исходная функция в данной четверти.
Например, sin(90°)=cosα, cos(270°-α) =-sinα.
Примеры: Составить формулы приведения для 1) cos(360°-) и 2) ctg(90°+
) на основании указанных правил.
1) Угол 360°- получен отклонением угла
от горизонтальной оси, поэтому в правой части формулы приведения ставится исходная функция, т.е.
со знаком «+» или «‑» . Если угол
острый, то угол 360°-
является углом четвертой четверти, в которой косинус положительный, следовательно, cos(360°-
) = cos
.
2) Угол 90°+ получен откладыванием угла
от вертикальной оси, поэтому в формуле приведения функция ctg(90°+
) перейдет в ко-функцию tg
со знаком «+» или «-». Если угол
– острый, то угол 90°+
есть угол второй четверти, в которой котангенс отрицательный, следовательно, ctg(90°+
)= ‑tg
.
Иногда удобнее пользоваться таблицей 3.
Таблица 3. Формулы приведения
Функция | Аргумент ![]() | ||||||
![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | |
sin![]() | cosα | cosα | sinα | -sinα | -cosα | -cosα | -sinα |
cos![]() | sinα | -sinα | -cosα | -cosα | -sinα | sinα | cosα |
tg![]() | ctgα | -ctgα | -tgα | tgα | ctgα | -tgα | -tgα |
ctg![]() | tgα | -tgα | -ctgα | ctgα | tgα | -tgα | -ctgα |