<<
>>

5.1.4. Приведение тригонометрических функций к функциям острого угла

Для вычисления значений тригонометрических функций любого угла нужно уметь свести эту задачу к вычислению тригонометрических функций соответствующего острого угла.

С этой целью необходимо:

1.

Воспользоваться периодичностью тригонометрических функций и добавить (или вычесть) к аргументу функции целое число периодов, чтобы в результате под знаком функции оказался угол, меньший по модулю одного периода.

Пример. sin405°= sin (360° + 45°) = sin45° =

2. Воспользоваться свойствами четности или нечетности тригонометрических функций.

Пример. tg 863° = tg (5 · 180° - 37°) = tg(-37°) = -tg37°

Пример. cos1313° = cos (4 · 360° - 27°) = cos (-27°) = cos27°.

К острому углу можно перейти, пользуясь формулами приведения.

Определение: Формулами приведения называются формулы, выражающие тригонометрические функции углов 90° 180°, 270°, 360° через тригонометрические функции угла α.

Углы 180°± α и 360°± α считают образованными отклонением α от горизонтальной оси; а углы 90°± α и 270°± α – отклонением угла α от вертикальной оси.

Правила приведения: В левой части формулы приведения стоит приводимая функция.

І. Если угол образован отклонением от горизонтальной оси, т.е., то название функции не изменяется, а знак берётся тот, который имеет исходная функция в данной четверти.

Например, sin(180°-α) =sin α, cos(180°-α) =-cosα.

II. Если угол образован отклонением от вертикальной оси, то название функции изменяется ( sin на cos, tg на ctg), а знак берётся тот, который имеет исходная функция в данной четверти.

Например, sin(90°)=cosα, cos(270°-α) =-sinα.

Примеры: Составить формулы приведения для 1) cos(360°-) и 2) ctg(90°+) на основании указанных правил.

1) Угол 360°- получен отклонением угла от горизонтальной оси, поэтому в правой части формулы приведения ставится исходная функция, т.е. со знаком «+» или «‑» . Если угол острый, то угол 360°- является углом четвертой четверти, в которой косинус положительный, следовательно, cos(360°-) = cos.

2) Угол 90°+ получен откладыванием угла от вертикальной оси, поэтому в формуле приведения функция ctg(90°+) перейдет в ко-функцию tg со знаком «+» или «-». Если угол – острый, то угол 90°+ есть угол второй четверти, в которой котангенс отрицательный, следовательно, ctg(90°+)= ‑tg.

Иногда удобнее пользоваться таблицей 3.

Таблица 3. Формулы приведения

Функция Аргумент
sin cosα cosα sinα -sinα -cosα -cosα -sinα
cos sinα -sinα -cosα -cosα -sinα sinα cosα
tg ctgα -ctgα -tgα tgα ctgα -tgα -tgα
ctg tgα -tgα -ctgα ctgα tgα -tgα -ctgα

<< | >>
Источник: А.И. Колосов. Пособие по математике (для дополнительных занятий со студентами 1 курса дневной формы обучения всех специальностей, а также с иностранными студентами). Под ред. проф. А.И. Колосова.– Харьков: ХНАГХ, 2005. – 80 с.. 2005

Еще по теме 5.1.4. Приведение тригонометрических функций к функциям острого угла:

  1. § 2. Виды функций государственного управления
  2. 3.8.25 Обзор функций Excel
  3. § 12. Классификация функций
  4. § 45. Интегрирование тригонометрических функций
  5. ПРИЛОЖЕНИЕ.
  6. Глава четвертая Виды и социальные функции собственности
  7. 5.4. Интегрирование тригонометрических функций.
  8. 2.1. Функция.
  9. Непрерывность некоторых элементарных функций.
  10. Интегрирование некоторых тригонометрических функций.