5.1.3. Определение основных тригонометрических функций произвольных углов

Рассмотрим движение точки по окружности единичного радиуса (рис. 5.3), тогда координаты точки М(х, у) равны, соответственно, синусу и косинусу угла, который образует радиус-вектор точки с положительным направлением оси ОХ.

Радиус-вектор вращается вокруг начала координат. Если вращение проводится против часовой стрелки, то угол поворота считают положительным, по часовой стрелке – отрицательным.

Один полный оборот вокруг начала координат равен 360° или радианам. (Радиан – это величина центрального угла круга, опирающегося на дугу, длина которой равна радиусу этого круга).

Определение 1. Синусом угла , образованного радиус-вектором точки на единичной окружности с положительным направлением оси Ox, есть ордината этой точки, т.е.: .

Определение 2. Косинусом угла , образованного радиус-вектором точки на единичной окружности с положительным направлением оси Ox, есть абсцисса этой точки: .

Синус и косинус определены для любого угла и связаны между собой (по теореме Пифагора)равенством: , которое называется основным тригонометрическим тождеством.

Определение 3. Отношение синуса угла к косинусу того же угла называется тангенсом угла : или .

Тангенс определен для всех углов, кроме k, где . Под понимаем множество целых чисел.

Определение 4. Отношение косинуса угла к синусу угла называется котангенсом угла : или .

Котангенс определён для всех углов, кроме , , где .

Из изложенных определений следует ряд соотношений:

; ; .

Кроме четырёх основных тригонометрических функций, иногда используют ещё две: секанс: и косеканс

Из рис.5.3. видно, что косинус угла – это проекция единичного радиус-вектора на оси Ох, которая называется осью косинусов (-1 ≤ ≤ +1); синус угла – проекция единичного радиус-вектора на ось Oy, которая называется осью синусов (‑1 ≤ ≤ +1).

Таблица 2. Знаки основных тригонометрических функций.

Четверть	Функция
I	+	+	+	+
II	+	‑	‑	‑
III	‑	‑	+	+
IV	‑	+	‑	‑

Тригонометрические функции – периодические:

а) ;

б); .

Тригонометрические функции обладают свойствами четных и нечетных. Так функции и являются четными, и , а функции являются нечетными .

Эти свойства легко усмотреть из рис. 5.3.