<<
>>

5.1.5. Определение обратных тригонометрических функций

Определение 1. Обратной тригонометрической функцией =arcsin a называется величина (дуга, угол, число) , изменяющаяся в пределах , если sin =a.

Определение 2. Обратной тригонометрической функцией =arccos a называется величина (дуга, угол, число) , изменяющаяся в пределах , если cos=a.

Определение 3. Обратной тригонометрической функцией =arctg a называется величина (дуга, угол, число) , изменяющаяся в пределах , если tg=a.

Определение 4. Обратной тригонометрической функцией =arcctg a называется величина (дуга, угол, число) , изменяющаяся в пределах , если ctg =a.

Из определений следует:

1) sin(arcsin a)=a, cos(arccos a)=a при |a|≤1;

2) tg(arctg a)=a, ctg(arccctg a)=a при любом a.

Пример 1. Вычислить arсcos(-1/2).

Согласно определению угол = arcos(-1/2) лежит между 0 и π cos =-1/2.

По формуле приведения cos = ‑sin, где . или . Следовательно, . Отсюда: arсcos(-1/2)= 2π/3.

Пример. Вычислить ctg(arcos(-1/3)).

Найдём котангенс угла = arсcos(-1/3). По определению арккосинуса запишем: cos=-1/3 и 0≤≤π. Но поскольку косинус угла отрицателен, то можно судить о величине угла более определённо — он удовлетворяет неравенству π/2class="lazyload" data-src="/files/uch_group46/uch_pgroup327/uch_uch1322/image/478.gif">

Пример 1. Доказать тождество:

Решение. Преобразуем левую часть:

Перейдем к формулам повышения степени:

Пример 2. Найти sin(600-α), если и 18001

a≤1 cosx≤a arccosa+2πn ≤ x ≤ -arccosa+2π(n+1)

xO

xR |a|≤1

a≥1

a< ‑ 1 cosx≥a -arccosa+2πn ≤ x ≤ arccosa+2πn

xO

xR |a|≤1

a>1

a≤ ‑1 tgx≤a

tgx≥a

ctgx≤a

ctgx≥a

arctga+πn ≤ x ≤ π+πn

πn < x ≤ arctga+πn aR

nZ

Пример 1.

Решить неравенство:;

Решение. по табл. имеем: . Т.е. . По табл. 4, находим:

, kZ.

<< | >>
Источник: А.И. Колосов. Пособие по математике (для дополнительных занятий со студентами 1 курса дневной формы обучения всех специальностей, а также с иностранными студентами). Под ред. проф. А.И. Колосова.– Харьков: ХНАГХ, 2005. – 80 с.. 2005

Еще по теме 5.1.5. Определение обратных тригонометрических функций:

  1. § 45. Интегрирование тригонометрических функций
  2. ПРИЛОЖЕНИЕ.
  3. 5.4. Интегрирование тригонометрических функций.
  4. 2.1. Функция.
  5. Непрерывность некоторых элементарных функций.
  6. Интегрирование некоторых тригонометрических функций.
  7. Основные трансцендентные функции.
  8. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
  9. 5.1. Определение основных тригонометрических функций
  10. 5.1.1. Определение основных тригонометрических функций острых углов
  11. 5.1.3. Определение основных тригонометрических функций произвольных углов
  12. 5.1.4. Приведение тригонометрических функций к функциям острого угла