5.1.5. Определение обратных тригонометрических функций

Определение 1. Обратной тригонометрической функцией =arcsin a называется величина (дуга, угол, число) , изменяющаяся в пределах , если sin =a.

Определение 2. Обратной тригонометрической функцией =arccos a называется величина (дуга, угол, число) , изменяющаяся в пределах , если cos=a.

Определение 3. Обратной тригонометрической функцией =arctg a называется величина (дуга, угол, число) , изменяющаяся в пределах , если tg=a.

Определение 4. Обратной тригонометрической функцией =arcctg a называется величина (дуга, угол, число) , изменяющаяся в пределах , если ctg =a.

Из определений следует:

1) sin(arcsin a)=a, cos(arccos a)=a при |a|≤1;

2) tg(arctg a)=a, ctg(arccctg a)=a при любом a.

Пример 1. Вычислить arсcos(-1/2).

Согласно определению угол = arcos(-1/2) лежит между 0 и π cos =-1/2. По формуле приведения cos = ‑sin, где . или . Следовательно, . Отсюда: arсcos(-1/2)= 2π/3.

Пример. Вычислить ctg(arcos(-1/3)).

Найдём котангенс угла = arсcos(-1/3). По определению арккосинуса запишем: cos=-1/3 и 0≤≤π. Но поскольку косинус угла отрицателен, то можно судить о величине угла более определённо — он удовлетворяет неравенству π/2class="lazyload" data-src="/files/uch_group46/uch_pgroup327/uch_uch1322/image/478.gif">

Пример 1. Доказать тождество:

Решение. Преобразуем левую часть:

Перейдем к формулам повышения степени:

Пример 2. Найти sin(600-α), если и 18001

a≤1 cosx≤a arccosa+2πn ≤ x ≤ -arccosa+2π(n+1)

xO

xR |a|≤1

a≥1

a< ‑ 1 cosx≥a -arccosa+2πn ≤ x ≤ arccosa+2πn

xO

xR |a|≤1

a>1

a≤ ‑1 tgx≤a

tgx≥a

ctgx≤a

ctgx≥a

arctga+πn ≤ x ≤ π+πn

πn < x ≤ arctga+πn aR

nZ

Пример 1.

Решение. по табл. имеем: . Т.е. . По табл. 4, находим:

, kZ.