<<
>>

§43. Интегрирование простейших рациональныхфункций

Целой рациональном функцией аргумента х называется функция, представляемая многочленом (полиномом)

Дробной рациональной функцией называется отношение целых рациональных функций, т.е.

отношение двух многочленов

Р(х) _ Апхп + Лп-1 з* ~1+_... + А\х + Лр Q(x) ~ ВтХ™ -I -f ВіХ + В'о

Если дробь ^T^Y неправильная (старшая степень х в числителе

выше или равна старшей степени х в знаменателе), то, разделив числитель на знаменатель по правилу деления многочленов, можно представить данную дробь в виде суммы многочлена и правильной Дроби:

Ш - мы + за

Рассмотрим интегрирование дробей следующего вида:

I.

р(х)

Q{x)

(х — — Ь)J

??(я) ' й)(і - - с)

W г Ш

СЗ(аг) (ж - a)(z3 Ч- р® + ч)

Пример 1. Найти интеграл = 1)(ь+ 1}.

Решение, Подынтегральную функцию представим в виде суммы более простых дробей:

X

В

+

[я + 1)(2а; -h 1) X + Ї Яи+Г

Для определения постоянных А и S освобождаемой от знаменателя (приводя к общему знаменателю и сравнивая числители). Тогда получим тождество х = А(2х + 1) + В(х 4-1) = (2А + В)х + (Л 4- В). Учитывая, что если два многочлена тождественно равны друг другу, то коэффициенты лрн одинаковых степенях х равны, получим систему; 1 = 2А Н- В, 0 = А + -Э. Решая эту систему, найдём А = 1, В ¦= — I; окончательно получим:

(-ІГ+Ї ~~ аїТї) ^ = lnIі + Ч — 5'пI21 + ч + с~ •

= In + с.

Пример 2. Найти интеграл Jj = Г —'

+ — 6 х

J аг -t- j: — в® Решение. Разложив знаменатель на множители х

= х(х2 + X — 6) — x(z — 2){i -4- 3)h представим подынтегральную функцию в виде суммы простых дробей:

В

7х -5

+

= 4 +

л: 3

2)0+3) х х-2

Освобождаемся от знаменателя:

7х - 5 = А{х - 2)(т -t 3) + Бх(х+ 3) + Сх(х - 2) =

= хНА + В + С) + х(А + ЗБ - 2€) - QA

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х (в левой части подразумевается член 0 1 х2)\

А±ВЛ-С=^ 0, -6,4 - А V ЗБ — 2С = 7.

315

е'

Решив эту систему уравнений относнтельно Ал В, С, находим А =

о se

В = С ~ —Окончательно получаем:

ХО . .15

h =

15 x + a)

'5 1_ 9

La X 10 * яг -2

|jflnlx + 3i| + G. 15

Рассмотренный метод нахождения разложения правильной рациональной дроби называется методом неопределённых коэффициектов.

Этот метод, как правило, довольно громоздкий. Укажем более простой метод, которым можно пользоваться только в нашем случае, т. е. если знаменатель подынтегральной функции имеет вид — (х — ~— ...(х — Чтобы найти коэффициент А в первом примере, нужно е подынтегральной функции Вычеркнуть скобку (лН-1) и а оставшемся выражении положить х = -I, Получим -4 = 1, а для нахождения коэффициента В нужно вычеркнуть скобку (2яЧ-1) и положить х = — ~ (нужно полагать то значение х, при котором вычеркнутая скобка обращается ъ нуль). Аналогично и в примере 2. Для нахождения А вычеркнем х и в оставшемся выражении положим х = 0;

5 б3

7х -5

7х - 5

23 15'

ar(s + 3) 7х - 5

х=-3

- 2)

А =

В -

(-3)13)

_ 14 - 5 _

2-5 10'

-2l - Б

("3)(-5)

Подчеркнём( что вычёркивание в знаменателе скобок и определение коэффициентов А, В, С можно производить только тогда, когда в знаменателе стоит произведение двучленов в первой степени.

д: - Зз: + 2 х{х2 +2х + 1)

dx.

х + і

Пример 3. Найти интеграл /з = j

Решение, Знаменатель можно представить в виде 4-І)2 Тогда

В . С

- 3s + 2 А

Освобождаясь от знаменателя ц, приравнивая коэффициенты одинаковых степеней х, получим систему уравнений: А + С = 1, 2А 4- В + С = = —3, Л — 2, Решая её, находим; Л —2, В = -6t С = — 1.

+ С.

(1 - ..„.Є ^Лв«в21пИ-1п|л + 1| +

1+ х

j V,® (1 ^ + 1/

ГТрн разложении подынтегральной функции мы воспользовались следующим правилом: если знаменатель правильной дроби имеет вид Q{a?) ^ = (х - xi)" ¦ (х — хзУ*. то справедливо разложение

Р(яг) _ Лп Q(x) (х-ц)

Ах

В

Ш

п +

їГ=Т 4-м.

+

+

х — х ] (а; — xi) Вт-1

(х - Xi)

+

Не было бы ошибки, если бы мы искали разложение подынтегральной дроби в виде

Xі - За + 2 _ А Вх + С z(x2 ¦+ 2х + 1) * Xі 4- 2л: + I

В атом случае Л — 2, В — С ~ —7. Тогда последнюю дробь пришлось бы интегрировать или методом, изложенным в предыдущем параграфе, или разлагать на сумму простейших;

-x - 7 _ ?+_1+_6 _ I _ б ¦х2 \ ~ ~ + 1)а*

Г (ха - х- 1) dx

Пример 4, Найти интеграл Ц — Г ——¦¦¦¦ ———-

J (а; — 1){я + х Н- 2)

Решение, Так как подынтегральная функция есть неправильная дробів то нужно выделить целую часть, разделив числитель на знаменатель, .

' х3 х - 2

хъ - х — 1

- + X - 2

где х3 + х - 2 = (х - 1 )(х2 +¦ х + 2). Следовательно,

1-а®

X - х - 1

= 1 +

(a; +Х+2) " {к - 1}(яїї + д: + 2)

Прааильную дробь разложим на простейшие:

1 - 2д _ А ^ Вх + С (х^1)(х3 Н-х + 2) ~ х-1 яг + х-НЗ*

Освобождаясь от знаменателя, получаем:

1 - 2z = А{х2 + х + 2) + (х - + С) =

= х2(А + В)+х(А - В + С) + [2A - С).

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получаем А4- + В = О, А - В 4- С — -2Г 2А - С = 1. Решая эту систему, находим

317

\ гл, yj

318

MnmespcLioHoe исчисление

11 з

A — -

- В С ~ —¦=. Окончательно получаем:

^ dx -

х — G

д =

+ 1

4(х — 1) 4 х2+х+2

arot-g —і- С.

4\/7

Ут

= 1 In f.T — 1] + І ]ц jx2 + a: -г 2| 4 о

Здесь принято во внимание, что

(д; - 6) dx _ 1 Г (2а: -f 1) dx _ ІЗ

Г (2д -f 1) tJj _ ІЗ Г rti

їЧї+2

J 2

1; I 3 . „I 13 , 2x+ 1 ^

— -in ar -f t + 2 ¦=¦ arctg —= h С iS 4\/7 V7

При разложении правильной дроби было учтено, что если ее знаме-натель имеет вид Q(x) = (х — в)(х2 -І-^кг-Н q), а квадратный трёхчлен не ?імеет действительных корней, то

Р{х) _ А Вх+С —^

О(з) х-a x^ + px + q'

В заключение отметим, что если правильная дробь имеет вид

где

* М*)

то дробь ¦ ¦¦¦—^ можно представить в виде Ых)

А і

В0

4-

W +

/:{х) _ А,

Ві ВЛ_1 , Cqx 4- Dp

— Т т -j- - -f-

h{x) (х-тгГ 1 (і-гіГ"1 +

Г — X2

(x -bptX + (х - Хй) Cix+ Di

MQX+ NQ

A-tX-f Di_!

+

+

Afrs + jVL (jO

. Mj-i® + ^ + '' * Д —

7 -tt=T +¦ ¦ +

<< | >>
Источник: Клименко Ю.И.. Высшая математика для экономистов: теория, примеры, задачи* Учебник для вузов /10.И. Клименко. — М,: Издательство «Экзамен»,. 736 с. (Серия «Учебник для вузов»). 2005

Еще по теме §43. Интегрирование простейших рациональныхфункций:

  1. §43. Интегрирование простейших рациональныхфункций