<<
>>

§44. Интегрирование простейших иррациональныхФункцій

I, Рассмотрим интеграл вида

/і-

t т/ах + у .

где снмипл Я означает рациональную функцию от двух аргументов; т — натуральное чтісло; и, b, с+ d — постоянные.

іто - г = d приведёт к тому»

Замена t

Ь

d

+ ft — Є ї

что подынтегральная функция исходного ИЕЇТЄ грала станет рациональной функцией.

Вычислив новый интеграл по правилам пред и душе го параграфа, про на ведём обратную замену.

Пример 1. Найти интеграл h j - т-^ ¦ •

I и 1 3? J — ^Jj

t - ft±? - _ х±? ^ =

Решение, Сделаем замену

Udt (l + t2)2'

dx —

- - Г) - 2ку

с?пг

t +1 — 1

dt = 2 f (it -

а

L + Г J

2 arctg

/ї+а

J 2 {1+?р Jl+ts

"21 rf^ ^2І"2агсі:є( + с = 2\/г?І"

2, Интегрирование дифференциального бинома. Интеграл от дифференциального бинома хт{а + bxn)p dx, где т, р — рациональные

числа, может быть приведён к интегрированию рациональных функцнй лишь в следующих трёх случаях (см. §41. примеры 18—20).

]) Пусть р — целое. Полагаем X — где N — общий знаменатель дробен вд и п,

„ і п

п

т-Ы

2) Пусть —: целое. Полагаем а + kc" =tN, где N — знаменатель дроби р.

3) Пусть

+ р — целое, тогда замена ах п 4- b = t^ где JV

знаменатель дроби р.

f

itс

\fx (1 + \fx ) '

Решение. Запишем интеграл в виде 1ч = +дз^ dx\

11

здесь т*= — = 1 — целое. В зтом случае замена х = ? s=

4 Л

= N — общий знаменатель дробей m и тц тогда dx — Сі5 dt и

r ?B + 1 - I

[*-efT

cie

dt^b

h =

+ t

?^3(1 +t2)~xGt*dt -ti

= Gi -- 6 arctgi - 6 arctg tyx +C.

I

i3 eft V I - xb

Решение, Запишем интеграл в виде h — - dx. Здесь

І ТУ) „Ь J

m = 3, n — 2, p = —так что ——— = 2 — целое, В этом случае

замена 1 — х2 — — N — знаменатель дроби р. Тогда t« х-,

х -- ~ і2 і dx = г;

з

-ж2)2

Г tir

Пример 4. Найти интеграл = _.. ¦¦

J аз +

Решение. В данном случае m — —:2, п = 2, р — — так что m + 1 + р = -1. В этом случае замена ах~п Л-b~tN — і2i где N - зна-

уДІ2 ~ і)"3

менвтель дроби р. Тогда г — , /Ь, х = ¦ 1 гіг

V х* - ?

j _ Г dx _ f ft? -fe)3/a -JZtdt _

+ 6

J а я л уя;

(см. также §41, пример 20).

<< | >>
Источник: Клименко Ю.И.. Высшая математика для экономистов: теория, примеры, задачи* Учебник для вузов /10.И. Клименко. — М,: Издательство «Экзамен»,. 736 с. (Серия «Учебник для вузов»). 2005

Еще по теме §44. Интегрирование простейших иррациональныхФункцій:

  1. §44. Интегрирование простейших иррациональныхФункцій