4.1. Неравенства и их свойства

Неравенство – соотношение между числами, указывающее, какие из них больше (больше или равно) или меньше (меньше или равно) другого.

Запись ав означает, что а не равно в.

Если в неравенстве содержится знак > или А и В одновременно имеют смысл. Это множество называют областью допустимых значений (сокращенно ОДЗ) или областью определения неравенства.

При конкретных значениях буквенных величин из области допустимых значений (ОДЗ) неравенство обращается в числовое неравенство, которое может быть верным (справедливым) или неверным (несправедливым).

Два или несколько неравенств называются неравенствами одинакового смысла или знака, если они содержат один и тот же знак > или , а в другом – знак В и C >D имеют одинаковый знак, а неравенства: А D — противоположный знак.

Свойства числовых неравенств.

1) Если а>b, то b b и b > с, то а >с.

3) Если а>b, то при любом с: а + с>b + с, т.е. неравенство остается справедливым, если к обеим его частям прибавить одно и то же число.

Следствие. Любое число можно перенести из одной части неравенства в другую, изменив при этом знак переносимого числа на противоположный.

4) Если а>b и с>0, то ас>bс; если а>b и сd, то a + c >b +d; , т.е. два неравенства одинакового знака можно почленно складывать если a>b u cb-d; два неравенства противоположного знака можно почленно вычитать, оставляя знак того неравенства, из которого вычитали другое неравенство.

6) Если а, b, c,d – положительные числа и a>b, c>d, то ac> bd, т.е. неравенства одинакового знака, у которых левые и правые части положительны, можно почленно умножать; при этом получается неравенство того же знака.

7) Если а и b – положительные числа и а>b, то при любом натуральном п выполняется неравенство аn > bn.

8) Если а и b – положительные числа и а>b, то при любом натуральном п> 2 выполняется неравенство .

Свойства 1) – 8) справедливы и для нестрогих неравенств. Это следует из справедливости свойств 1) – 8) для строгих неравенств и известных свойств числовых равенств.

Например, если а ≥ b, то b ≤а, и, обратно, если b ≤а, то а ≥ b.

Свойства 1) – 8), установленные для числовых неравенств, сохраняются и для любых неравенств вида А>В, АВА+С>В + С,

А>ВА∙С>В ∙ С, (C>0)

где выражения А,В, С рассматриваются в обшей части их областей допустимых значений.