<<
>>

4.2. Доказательство некоторых неравенств

Рассмотрим сначала доказательство некоторых основных неравенств.

1) а2 + b2 ≥ 2ab или , причем равенство достигается только при а =b.

В самом деле, разность а2 + b2 -2ab = (а - b)2. Очевидно, что (а - b)2 ≥ 0 и, значит, а2 + b2 ≥ 2ab.

2) , причем равенство достигается лишь в случае, когда числа а и b имеют одинаковые знаки или хотя бы одно из них равно нулю. Так как , , , то доказываемое неравенство принимает вид , а это неравенство приводится возведением в квадрат к равносильному: , т.е. аb ≤ | ab |, что очевидно. Неравенство доказано.

3) | а - b | ≥ | а | - | b | . В самом деле, а = (а - b) + b. Поэтому

|a| = |(a-b) + b|≤|a-b| + |b| или | а - b | ≥ | а | - | b | .

4) ах2 + bх+ с≥ 0, если a>0 и D= b2 -4ас≤0. Равенство достигается лишь в случае, когда D = 0 и х =.

5) , если а ≥ 0, b ≥ 0, равенство достигается лишь при а = b.

Число называется средним арифметическим чисел а и b, а число – их средним геометрическим.

Среднее арифметическое двух неотрицательных чисел не меньше их среднего геометрического:

Для доказательства рассмотрим разность .

Значит, , причём равенство достигается только при , что возможно только при a=b.

Понятия среднего арифметического и среднего геометрического вводятся и для n неотрицательных чисел a1, a2, … , an.В В этом случае справедливо неравенство:, причем равенство достигается лишь при a1=a2=…=an .

6) , если a>0 и b>0, причём равенство достигается лишь при a=b. В самом деле, числа и положительны. Поэтому среднее арифметическое чисел и не меньше их среднего геометрического: или ; равенство только в том случае, когда = , т.е. при a=b , так как a и b – положительны.

7) a3+b3≥ab∙(a+b), если a>0, b>0, причем равенство достигается лишь при a=b.В самом деле, a3+b3- ab(a+b)=(a+b)(a2-ab+b2)- ab(a+b)=(a+b)(a2-2ab+b2)=(a+b)(a-b)2≥0, что и требовалось доказать.

Перейдём к доказательству более сложных неравенств. Способы их доказательства состоят в следующем:

1. Доказываемое неравенство путём преобразований, основанных на свойствах неравенств и сохраняющих их равносильность, сводят к неравенству, справедливость которого известна.

2. Путём равносильных преобразований очевидное или известное неравенство сводят к доказываемому неравенству.

3. Комбинируют первый и второй способы, т.е. преобразуют как известное, так и доказываемое неравенства.

Применение этих способов покажем на следующих примерах.

Пример 1. Доказать, что a2+b2+c2≥ab+bc+ac.

Решение. Складываются три известных неравенства:

, , , Получаем a2+b2+c2≥ab+bc+ac

Пример 2. Доказать, что (a+b)(b+с)(a+с)≥8abc, если a,b.c≥0.

Решение. Умножая неравенства, , .

Получаем (a+b)(b+с)(a+с)≥8abc, т.к..

Пример 3. Доказать, что , если с>0 и 00.

Решение. Полагая запишем доказываемое неравенство в виде (х>0, у>0), равносильное известному х3 + у3 > ху(х + у) (см. неравенство 7)). Неравенство доказано.

<< | >>
Источник: А.И. Колосов. Пособие по математике (для дополнительных занятий со студентами 1 курса дневной формы обучения всех специальностей, а также с иностранными студентами). Под ред. проф. А.И. Колосова.– Харьков: ХНАГХ, 2005. – 80 с.. 2005

Еще по теме 4.2. Доказательство некоторых неравенств:

  1. Правила аргументов
  2. ПАРАНЕПРОТИВОРЕЧИВАЯ ЛОГИКА.РЕЛЕВАНТНАЯ ЛОГИКА (ЛОГИКА ТЕОРИИ ЛОГИЧЕСКОГО СЛЕДОВАНИЯ)
  3. Закон противоречия (непротиворечивость)
  4.   АНТИ-СЕНЕК А, ИЛИ РАССУЖДЕНИЕ О СЧАСТЬЕ
  5.   ЕСТЕСТВЕННО ЛИ, ЧТОБЫ ОДНИ ЛЮДИ МОГЛИ ОБЛАДАТЬ ПРАВОМ ОГРАНИЧИВАТЬ СВОБОДУ ВЫСКАЗЫВАНИЯ МНЕНИЙ ДРУГИХ ЛЮДЕЙ 
  6. ОБЩЕСТВО (мораль). 
  7. Основания как части доказательств
  8. Явления неустановленного происхождения
  9. II. Либеральное равенство
  10. Познание: религиозные и научные знания
  11. 4.2. Доказательство некоторых неравенств
  12. Принцип определенности
  13. Аргументация и доказательство
  14. Философия религии: исторический и психологический аспекты.
  15. Глава 9. О действиях других отношений и других привычек
  16. (?) Суждение самосознания, благородное и низменное сознание