4.2. Доказательство некоторых неравенств

Рассмотрим сначала доказательство некоторых основных неравенств.

1) а2 + b2 ≥ 2ab или , причем равенство достигается только при а =b.

2) , причем равенство достигается лишь в случае, когда числа а и b имеют одинаковые знаки или хотя бы одно из них равно нулю. Так как , , , то доказываемое неравенство принимает вид , а это неравенство приводится возведением в квадрат к равносильному: , т.е. аb ≤ | ab |, что очевидно. Неравенство доказано.

3) | а - b | ≥ | а | - | b | . В самом деле, а = (а - b) + b. Поэтому

|a| = |(a-b) + b|≤|a-b| + |b| или | а - b | ≥ | а | - | b | .

4) ах2 + bх+ с≥ 0, если a>0 и D= b2 -4ас≤0. Равенство достигается лишь в случае, когда D = 0 и х =.

5) , если а ≥ 0, b ≥ 0, равенство достигается лишь при а = b.

Число называется средним арифметическим чисел а и b, а число – их средним геометрическим.

Среднее арифметическое двух неотрицательных чисел не меньше их среднего геометрического:

Для доказательства рассмотрим разность .

Значит, , причём равенство достигается только при , что возможно только при a=b.

Понятия среднего арифметического и среднего геометрического вводятся и для n неотрицательных чисел a1, a2, … , an.В В этом случае справедливо неравенство:, причем равенство достигается лишь при a1=a2=…=an .

6) , если a>0 и b>0, причём равенство достигается лишь при a=b. В самом деле, числа и положительны. Поэтому среднее арифметическое чисел и не меньше их среднего геометрического: или ; равенство только в том случае, когда = , т.е. при a=b , так как a и b – положительны.

7) a3+b3≥ab∙(a+b), если a>0, b>0, причем равенство достигается лишь при a=b.В самом деле, a3+b3- ab(a+b)=(a+b)(a2-ab+b2)- ab(a+b)=(a+b)(a2-2ab+b2)=(a+b)(a-b)2≥0, что и требовалось доказать.

Перейдём к доказательству более сложных неравенств. Способы их доказательства состоят в следующем:

1. Доказываемое неравенство путём преобразований, основанных на свойствах неравенств и сохраняющих их равносильность, сводят к неравенству, справедливость которого известна.

2. Путём равносильных преобразований очевидное или известное неравенство сводят к доказываемому неравенству.

3. Комбинируют первый и второй способы, т.е. преобразуют как известное, так и доказываемое неравенства.

Применение этих способов покажем на следующих примерах.

Пример 1. Доказать, что a2+b2+c2≥ab+bc+ac.

Решение. Складываются три известных неравенства:

, , , Получаем a2+b2+c2≥ab+bc+ac

Пример 2. Доказать, что (a+b)(b+с)(a+с)≥8abc, если a,b.c≥0.

Решение. Умножая неравенства, , .

Получаем (a+b)(b+с)(a+с)≥8abc, т.к..

Пример 3. Доказать, что , если с>0 и 00.

Решение. Полагая запишем доказываемое неравенство в виде (х>0, у>0), равносильное известному х3 + у3 > ху(х + у) (см. неравенство 7)). Неравенство доказано.