<<
>>

Неравенство Чебышева.

Пусть имеется случайная величина X с математическим ожида­нием тх и дисперсией Dx. Неравенство Чебышева утверждает, что, каково бы ни было положительное число , вероятность того, что величина X отклонится от своего математического ожидания не меньше чем на , ограничена сверху величиной —:

(9.2.1)

Доказательство.

1. Пусть величина X дискретная, с рядом распределения:

Изобразим возможные значения величины X и ее математическое ожидание тх в виде точек на числовой оси Ох (рис. 9.2.1).

Зададимся некоторым значением и вычислим вероятность того, что величина X отклонится от своего математического ожидания не меньше чем на :

(9.2.2)

Для этого отложим от точки тх вправо и влево по отрезку длиной а; получим отрезок АВ.

Вероятность (9.2.1) есть не что иное,

как вероятность того, что случайная точка X попадет не внутрь отрезка АВ, а вовне его:

Для того чтобы найти эту вероятность, нужно просуммировать вероятности всех тех значении xi, которые лежат вне отрезка АВ. Это мы запишем следующим образом:

(9.2.3)

где запись под знаком суммы означает, что суммирование распространяется на все те значения i, для которых точки лежат вне отрезка АВ.

С другой стороны, напишем выражение дисперсии величины X. По определению:

(9.2.4)

Так как все члены суммы (9.2.4) неотрицательны, она может только уменьшиться, если мы распространим ее не на все значения xi, а только на некоторые, в частности на те, которые лежат вне отрезка АВ:

(9.2.5)

Заменим под знаком суммы выражение через . Так как для всех членов суммы , то от такой замены сумма тоже может только уменьшиться; значит.

(9.2.6)

Но согласно формуле (9.2.3) сумма, стоящая в правой части (9.2.6).

есть не что иное, как вероятность попадания случайной точки вовне отрезка АВ; следовательно,

откуда непосредственно вытекает доказываемое неравенство.

2. В случае, когда величина X непрерывна, доказательство про­водится аналогичным образом с заменой вероятностей pi элементам вероятности, а конечных сумм — интегралами. Действительно,

где f(x) — плотность распределения величины X. Далее, имеем:

где знак под интегралом означает, что интегрирование распространяется на внешнюю часть отрезка АВ.

Заменяя под знаком интеграла через , получим:

откуда и вытекает неравенство Чебышева для непрерывных величия.

<< | >>
Источник: Теория вероятностей. (Учебное пособие). 2004

Еще по теме Неравенство Чебышева.:

  1. 3.4.2 Формирование требований к точности навигационных измерений для эффективного функционирования регуляризирующего алгоритма
  2. 4.1. Теоретические основы метода
  3. Содержание дисциплины
  4. Закон больших чисел. Неравенство Чебышева.
  5. Теорема Чебышева.
  6. Предельные теоремы.
  7. Перечень вопросов к зачету на втором курсе
  8. 4.2. СОДЕРЖАНИЕ РАЗДЕЛОВ ДИСЦИПЛИНЫ
  9. Некоторые прикладные аспекты учения об асимметриях человека
  10. 2.3. Прогнозирование динамики действующего парка автомобилей скорой медицинской помощи
  11. 2.4. Дискретная динамическая модель прогнозирования количества вызовов
  12. 2.5. Задача оптимизации числа диспетчеров и бригад скорой медицинской помощи
  13. ЗАКОН БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ
  14. Неравенство Чебышева.
  15. Теорема Чебышева.
  16. Обобщенная теорема Чебышева.
  17. Теорема Маркова.