Неравенство Чебышева.
Пусть имеется случайная величина X с математическим ожиданием тх и дисперсией Dx. Неравенство Чебышева утверждает, что, каково бы ни было положительное число 
, вероятность того, что величина X отклонится от своего математического ожидания не меньше чем на 
, ограничена сверху величиной —
:
 | (9.2.1) |
Доказательство.
1. Пусть величина X дискретная, с рядом распределения: |  |  | … |  |
 |  |  | … |  |
Изобразим возможные значения величины X и ее математическое ожидание тх в виде точек на числовой оси Ох (рис. 9.2.1).
Зададимся некоторым значением 
и вычислим вероятность того, что величина X отклонится от своего математического ожидания не меньше чем на :
 | (9.2.2) |
Для этого отложим от точки тх вправо и влево по отрезку длиной а; получим отрезок АВ.
Вероятность (9.2.1) есть не что иное,
как вероятность того, что случайная точка X попадет не внутрь отрезка АВ, а вовне его:
 |
Для того чтобы найти эту вероятность, нужно просуммировать вероятности всех тех значении xi, которые лежат вне отрезка АВ. Это мы запишем следующим образом:
 | (9.2.3) |
где запись 
под знаком суммы означает, что суммирование распространяется на все те значения i, для которых точки 
лежат вне отрезка АВ.
С другой стороны, напишем выражение дисперсии величины X. По определению:
 | (9.2.4) |
Так как все члены суммы (9.2.4) неотрицательны, она может только уменьшиться, если мы распространим ее не на все значения xi, а только на некоторые, в частности на те, которые лежат вне отрезка АВ:
 | (9.2.5) |
Заменим под знаком суммы выражение 
через . Так как для всех членов суммы 
, то от такой замены сумма тоже может только уменьшиться; значит.
 | (9.2.6) |
Но согласно формуле (9.2.3) сумма, стоящая в правой части (9.2.6).
есть не что иное, как вероятность попадания случайной точки вовне отрезка АВ; следовательно, |
откуда непосредственно вытекает доказываемое неравенство.
2. В случае, когда величина X непрерывна, доказательство проводится аналогичным образом с заменой вероятностей pi элементам вероятности, а конечных сумм — интегралами. Действительно,
 |
где f(x) — плотность распределения величины X. Далее, имеем:
 |
где знак 
под интегралом означает, что интегрирование распространяется на внешнюю часть отрезка АВ.
Заменяя 
под знаком интеграла через , получим:
 |
откуда и вытекает неравенство Чебышева для непрерывных величия.