Неравенство Чебышева.

Пусть имеется случайная величина X с математическим ожида­нием т_х и дисперсией D_x. Неравенство Чебышева утверждает, что, каково бы ни было положительное число , вероятность того, что величина X отклонится от своего математического ожидания не меньше чем на , ограничена сверху величиной —:

(9.2.1)

Доказательство.

			…
			…

Изобразим возможные значения величины X и ее математическое ожидание т_х в виде точек на числовой оси Ох (рис. 9.2.1).

Зададимся некоторым значением и вычислим вероятность того, что величина X отклонится от своего математического ожидания не меньше чем на :

(9.2.2)

Для этого отложим от точки т_х вправо и влево по отрезку длиной а; получим отрезок АВ.

как вероятность того, что случайная точка X попадет не внутрь отрезка АВ, а вовне его:

Для того чтобы найти эту вероятность, нужно просуммировать вероятности всех тех значении x_i, которые лежат вне отрезка АВ. Это мы запишем следующим образом:

(9.2.3)

где запись под знаком суммы означает, что суммирование распространяется на все те значения i, для которых точки лежат вне отрезка АВ.

С другой стороны, напишем выражение дисперсии величины X. По определению:

(9.2.4)

Так как все члены суммы (9.2.4) неотрицательны, она может только уменьшиться, если мы распространим ее не на все значения x_i, а только на некоторые, в частности на те, которые лежат вне отрезка АВ:

(9.2.5)

Заменим под знаком суммы выражение через . Так как для всех членов суммы , то от такой замены сумма тоже может только уменьшиться; значит.

(9.2.6)

Но согласно формуле (9.2.3) сумма, стоящая в правой части (9.2.6).

откуда непосредственно вытекает доказываемое неравенство.

2. В случае, когда величина X непрерывна, доказательство про­водится аналогичным образом с заменой вероятностей p_i элементам вероятности, а конечных сумм — интегралами. Действительно,

где f(x) — плотность распределения величины X. Далее, имеем:

где знак под интегралом означает, что интегрирование распространяется на внешнюю часть отрезка АВ.

Заменяя под знаком интеграла через , получим:

откуда и вытекает неравенство Чебышева для непрерывных величия.