Обобщенная теорема Чебышева.
Теорема Чебышева легко может быть обобщена на более сложный случай. Обобщенная теорема Чебышева формулируется следующим образом. Если независимые случайные величины с математическими ожиданиями и дисперсиями и если все дисперсии ограничены сверху одним и тем же числом L:
то при возрастании п среднее арифметическое наблюденных значений величин сходится по вероятности к среднему арифметическому их математических ожиданий.
Запишем эту теорему в виде формулы. Пусть — сколь угодно малые положительные числа. Тогда при достаточно большом nДоказательство. Рассмотрим величину
Ее математическое ожидание равно:
а дисперсия
Применим к величине Y неравенство Чебышева:
или
(9.2.7) |
Заменим в правой части неравенства (9.2.7) каждую из величин большей величиной L. Тогда неравенство только усилится:
Как бы мало ни было , можно выбрать п настолько большим, чтобы выполнялось неравенство , тогда откуда, переходя к противоположному событию, получим доказываемое неравенство.