Обобщенная теорема Чебышева.

Теорема Чебышева легко может быть обобщена на более слож­ный случай. Обобщенная теорема Чебышева формулируется следующим образом. Если независимые случайные величины с математическими ожиданиями и дисперсиями и если все дисперсии ограничены сверху одним и тем же числом L:

то при возрастании п среднее арифметическое наблюденных значений величин сходится по вероятности к среднему арифметическому их математических ожиданий.

Доказательство. Рассмотрим величину

Ее математическое ожидание равно:

а дисперсия

Применим к величине Y неравенство Чебышева:

или

(9.2.7)

Заменим в правой части неравенства (9.2.7) каждую из величин большей величиной L. Тогда неравенство только усилится:

Как бы мало ни было , можно выбрать п настолько большим, чтобы выполнялось неравенство , тогда откуда, переходя к противоположному событию, получим доказываемое неравенство.