2.2. Обобщенная теорема о повторении опытов.
Поставим теперь более общую задачу.
Рассмотрим последовательность n независимых испытаний в каждом из которых может произойти или не произойти некоторое событие А. При этом вероятность появления события в каждом испытании различна.
Обозначим через 
. Аi – событие состоящее том что А произойдет в i-ом испытании 
– событие состоящее том что А не произойдет в i-ом испытании соответственно.
Следует определить вероятность того что событие А произойдет m раз в серии из n испытаний.
Обозначим через Вm – событие состоящее в том что, событие А произойдет m раз в серии из n испытаний.
 | (2.2.1) |
Здесь Аi – событие состоящее в том, что событие А произойдет в i- ом испытании. Событие Вm представляет собой сумму несовместных событий, поэтому
Число слагаемых в выражении равно 
, но они все различные. Для вычисления 
используют производящую функцию
ProizFunc
 | (2.2.2) |
Зададимся целью найти в этом произведении коэффициент 
при 
.
будет иметь в качестве коэффициента произведение m букв p с какими-то индексами и n-m букв q с другими оставшимися индексами, а после приведения подобных членов коэффициент при будет представлять собой сумму всех возможных произведений такого типа. Таким образом, вероятность того, что событие А произойдет m раз в серии из n испытаний равна коэффициенту при в выражении производящей функции, то есть
 | (2.2.3) |
 | (2.2.4) |
Пример 1. Производится стрельба по бегущей мишени. Вероятность попадания при первом выстреле p1 =0,1; при втором p2 =0,2; при третьем p3 =0,3 и при четвертом p4 =0,4. Определить вероятность одного, двух, трех, четырех и ни одного попадания при четырех выстрелах.
Решение:
Составляем производящую функцию для данной задачи
Выполняя, элементарные преобразования и приведение подобных членов получаем
Откуда следует, что
- вероятность ни одного попадания в мишень.
- вероятность одного попадания в мишень.
- вероятность двух попаданий в мишень.
- вероятность трех попаданий в мишень.
- вероятность четырех попаданий в мишень.
При решении многих практических задач, кроме определения вероятности , приходится вычислять вероятность появлений события А не менее m раз в n независимых испытаниях.
Обозначим через 
событие состоящее в том, что А появляется не менее m раз в n независимых испытаниях, а вероятность 
обозначим 
, тогда
 | (2.2.5) |
Согласно теоремы сложения вероятностей событий имеем
 | (2.2.6) |
В тех случаях когда 
удобно пользоваться следующей формулой
 | (2.2.7) |