<<
>>

2.2. Обобщенная теорема о повторении опытов.

Поставим теперь более общую задачу.

Рассмотрим последовательность n независимых испытаний в каждом из которых может произойти или не произойти некоторое событие А. При этом вероятность появления события в каждом испытании различна.

Обозначим через . Аi – событие состоящее том что А произойдет в i-ом испытании – событие состоящее том что А не произойдет в i-ом испытании соответственно.

Следует определить вероятность того что событие А произойдет m раз в серии из n испытаний.

Обозначим через Вm – событие состоящее в том что, событие А произойдет m раз в серии из n испытаний.

(2.2.1)

Здесь Аi – событие состоящее в том, что событие А произойдет в i- ом испытании. Событие Вm представляет собой сумму несовместных событий, поэтому

Число слагаемых в выражении равно , но они все различные. Для вычисления используют производящую функцию

ProizFunc

(2.2.2)

Зададимся целью найти в этом произведении коэффициент при .

Для этого перемножим биномы и произведем приведение подобных членов. Каждый член содержащий будет иметь в качестве коэффициента произведение m букв p с какими-то индексами и n-m букв q с другими оставшимися индексами, а после приведения подобных членов коэффициент при будет представлять собой сумму всех возможных произведений такого типа.

Таким образом, вероятность того, что событие А произойдет m раз в серии из n испытаний равна коэффициенту при в выражении производящей функции, то есть

(2.2.3)
(2.2.4)

Пример 1. Производится стрельба по бегущей мишени. Вероятность попадания при первом выстреле p1 =0,1; при втором p2 =0,2; при третьем p3 =0,3 и при четвертом p4 =0,4. Определить вероятность одного, двух, трех, четырех и ни одного попадания при четырех выстрелах.

Решение:

Составляем производящую функцию для данной задачи

Выполняя, элементарные преобразования и приведение подобных членов получаем

Откуда следует, что

- вероятность ни одного попадания в мишень.

- вероятность одного попадания в мишень.

- вероятность двух попаданий в мишень.

- вероятность трех попаданий в мишень.

- вероятность четырех попаданий в мишень.

При решении многих практических задач, кроме определения вероятности , приходится вычислять вероятность появлений события А не менее m раз в n независимых испытаниях.

Обозначим через событие состоящее в том, что А появляется не менее m раз в n независимых испытаниях, а вероятность обозначим , тогда

(2.2.5)

Согласно теоремы сложения вероятностей событий имеем

(2.2.6)

В тех случаях когда удобно пользоваться следующей формулой

(2.2.7)

<< | >>
Источник: Теория вероятностей. (Учебное пособие). 2004

Еще по теме 2.2. Обобщенная теорема о повторении опытов.:

  1. 5. Основы управления органами прокуратуры РФ.
  2. 2.2 Организационные формы и методы, применяемые органами местного самоуправления по охране общественного порядка милицией общественной безопасности
  3. 11.3 Антикризисная политика в управлении персоналом
  4. 2.2. Надежность
  5. ЭВРИСТИЧЕСКОЕ ВЛИЯНИЕ ФИЛОСОФИИИА ФИЗИКУ: НЕОНАТУРФИЛОСОФСКИЙ ПОДХОД И ЕГО КРИТИКА
  6. педагогические чтения
  7.   Статья вторая  
  8. М. В. Ломоносов и становление светской философии
  9. Об одном феномене пространственноговосприятия (эффект «лупы»)
  10. Опыт экспериментального исследования мышления
  11. Плотность распределения.
  12. III ТРАНСЦЕНДЕНТАЛЬНАЯ ФИЗИОЛОГИЯ
  13. § 2. ПОНЯТИЕ ОБЪЕКТИВНОЙ, АБСОЛЮТНОЙ И ОТНОСИТЕЛЬНОЙ ИСТИНЫ
  14. § 3. Кто рисует картины социальной реальности?
  15. §1.11. ТЕОРЕМА ГАУССА
  16. Содержание
  17. 2.2. Обобщенная теорема о повторении опытов.
  18. Обобщенная теорема Чебышева.