2.2. Обобщенная теорема о повторении опытов.
Поставим теперь более общую задачу.
Рассмотрим последовательность n независимых испытаний в каждом из которых может произойти или не произойти некоторое событие А. При этом вероятность появления события в каждом испытании различна.
Обозначим через
. Аi – событие состоящее том что А произойдет в i-ом испытании
– событие состоящее том что А не произойдет в i-ом испытании соответственно.
Следует определить вероятность того что событие А произойдет m раз в серии из n испытаний.
Обозначим через Вm – событие состоящее в том что, событие А произойдет m раз в серии из n испытаний.
![]() | (2.2.1) |
Здесь Аi – событие состоящее в том, что событие А произойдет в i- ом испытании. Событие Вm представляет собой сумму несовместных событий, поэтому
Число слагаемых в выражении равно , но они все различные. Для вычисления
используют производящую функцию
ProizFunc
![]() | (2.2.2) |
Зададимся целью найти в этом произведении коэффициент при
.


Таким образом, вероятность того, что событие А произойдет m раз в серии из n испытаний равна коэффициенту при в выражении производящей функции, то есть
![]() | (2.2.3) |
![]() | (2.2.4) |
Пример 1. Производится стрельба по бегущей мишени. Вероятность попадания при первом выстреле p1 =0,1; при втором p2 =0,2; при третьем p3 =0,3 и при четвертом p4 =0,4. Определить вероятность одного, двух, трех, четырех и ни одного попадания при четырех выстрелах.
Решение:
Составляем производящую функцию для данной задачи
Выполняя, элементарные преобразования и приведение подобных членов получаем
Откуда следует, что
- вероятность ни одного попадания в мишень.
- вероятность одного попадания в мишень.
- вероятность двух попаданий в мишень.
- вероятность трех попаданий в мишень.
- вероятность четырех попаданий в мишень.
При решении многих практических задач, кроме определения вероятности , приходится вычислять вероятность появлений события А не менее m раз в n независимых испытаниях.
Обозначим через событие состоящее в том, что А появляется не менее m раз в n независимых испытаниях, а вероятность
обозначим
, тогда
![]() | (2.2.5) |
Согласно теоремы сложения вероятностей событий имеем
![]() | (2.2.6) |
В тех случаях когда удобно пользоваться следующей формулой
![]() | (2.2.7) |