Лабораторная работа № 7 Сравнения первой степени с одним неизвестным.

Ближайшей задачей будет изучение сравнений вида - многочлен с целыми коэффициентами,

которое будем называть сравнением с одним неизвестным.

Пример 1. Сравнению среди чисел: полной системы вычетов по модулю 7 удовлетворяют два числа: x=4. Поэтому указанное сравнение имеет два решения: .

Рассмотрим сравнение первой степени с одним неизвестным, то есть сравнение вида

. (1)

Теорема 1: Если и b не делится на d, то (1) не имеет решений.

Согласно этой теореме сравнение (1) имеет решение, когда . В этом случае имеем и тогда сравнение (1) перепишется в виде .

Теорема 2: Если , то сравнение (1) имеет одно и только одно решение.

Теорема 3: При решением сравнения (1) является класс .

Пример 2.

Решение: Имеем (5,8)=1, и значит .

Теорема 4. Если - последовательность подходящих дробей разложения в цепную дробь, , то решением сравнения (1) является класс .

Теорема 5. Если (a,m)=d и b делится на d, то сравнение (1) имеет d решений. Все эти решения образуют один класс по модулю , и могут быть записаны в виде:

где может быть найдено применением способов, изложенных в теоремах 3, 4. (В случае, если (a,m)=d и b делится на d, то сравнение (1) сводится к сравнению, где (a, m)=1 и соответственно имеет одно решение . По модулю же m мы получим d решений вида ).

Пример 3. Решить сравнение .

Решение: Имеем (20, 108)=4, 44 4, следовательно, существует 4 решения.

Исходное сравнение эквивалентно сравнению , (5, 27)=1.

.

Задания для самостоятельной работы:

1. Решите сравнения

3. Решите сравнения методом разложения в цепную дробь.