Лабораторная работа № 7 Сравнения первой степени с одним неизвестным.
Ближайшей задачей будет изучение сравнений вида 
- многочлен с целыми коэффициентами,
которое будем называть сравнением с одним неизвестным.
Решением данного сравнения называется класс по модулю m, состоящий из чисел, удовлетворяющих сравнению.Пример 1. Сравнению 
среди чисел: 
полной системы вычетов по модулю 7 удовлетворяют два числа: 
x=4. Поэтому указанное сравнение имеет два решения: 
.
Рассмотрим сравнение первой степени с одним неизвестным, то есть сравнение вида
. (1)
Теорема 1: Если 
и b не делится на d, то (1) не имеет решений.
Согласно этой теореме сравнение (1) имеет решение, когда 
. В этом случае имеем 
и тогда сравнение (1) перепишется в виде 
.
Теорема 2: Если 
, то сравнение (1) имеет одно и только одно решение.
Теорема 3: При решением сравнения (1) является класс 
.
Пример 2.
Решить сравнение
. Решение: Имеем (5,8)=1, 
и значит 
.
Теорема 4. Если 
- последовательность подходящих дробей разложения 
в цепную дробь, 
, то решением сравнения (1) является класс 
.
Теорема 5. Если (a,m)=d и b делится на d, то сравнение (1) имеет d решений. Все эти решения образуют один класс по модулю 
, и могут быть записаны в виде:
где 
может быть найдено применением способов, изложенных в теоремах 3, 4. (В случае, если (a,m)=d и b делится на d, то сравнение (1) сводится к сравнению, где (a, m)=1 и соответственно имеет одно решение 
. По модулю же m мы получим d решений вида 
).
Пример 3. Решить сравнение 
.
Решение: Имеем (20, 108)=4, 44 
4, следовательно, существует 4 решения.
Исходное сравнение эквивалентно сравнению 
, (5, 27)=1.
.
| K | 0 | 1 | 2 | ||
| q | 5 | 2 | 2 | ||
| P | 0 | 1 | 5 | 11 | 27 |
| Q | 1 | 0 | 1 | 2 | 5 |
Задания для самостоятельной работы:
1. Решите сравнения
3. Решите сравнения методом разложения в цепную дробь.
