Лабораторная работа № 4 Сравнения и их свойства.

Определение 1. Если два целых числа и при делении на дают один и тот же остаток , то есть

то они называются сравнимыми по модулю и в этом случае определено сравнение^[1] .

Пример 1.

Теорема 1 (Признак сравнимости двух чисел).

Сравнимость чисел и по модулю равносильна условиям:

1.

2.

Основные свойства сравнений:

(рефлексивность).

(симметричность).

(транзитивность).

Если и k – произвольное целое число, то .

Если и (k,m)=1, то .

Если и k – произвольное натуральное число, то .

Если и к, m – произвольные натуральные числа, то .

Если , ,…,, то .

Если , ,…,, то .

Если , то при любом целом .

Любое слагаемое правой или левой части сравнения можно перенести с противоположным знаком в другую часть.

В сравнении можно добавлять или отбрасывать слагаемые, делящиеся на модуль.

Задания для самостоятельной работы:

1. Какие из следующих сравнений являются верными: .

2. Доказать, что следующие сравнения являются верными:

3. Доказать, что каждое целое число сравнимо со своим остатком по данному модулю.

4. Найти значения , удовлетворяющие условию: .

5. Доказать, что

6. Доказать, что .

7. Доказать, что если