Лабораторная работа № 3 Бесконечные цепные дроби.

Определение 1. Иррациональность называется квадратичной, если она удовлетворяет квадратному уравнению с рациональными коэффициентами.

Общий вид квадратичной иррациональности: , .

Определение 2. Выражение вида называется бесконечной цепной дробью.

Определение 3. Если в бесконечной цепной дроби значения неполных частных, начиная с некоторого момента, повторяются, то дробь называется бесконечной периодической цепной дробью, причем чисто периодической, если повторения начинаются с нулевого звена и смешанно-периодической в противном случае.

Теорема. Квадратичные и только квадратичные иррациональности разлагаются в периодическую непрерывную дробь.

Пример 1. Разложить в периодическую непрерывную дробь .

Решение. Имеем (целая часть), (дробная часть).

Рассмотрим . Таким образом . Так как , следовательно . В итоге получим .

Пример 2. Найти величину дроби [3,(1,1,1,1,6)].

Решение. Пусть .

	-2	-1	0	1	2	3	4	5
			1	1	1	1	6
	0	1	1	2	3	5	33
	1	0	1	1	2	3	20

Имеем . Решая данное уравнение, получим корни , из которых выбираем положительный .

Таким образом, искомое число равно .

Задания для самостоятельной работы.

1. Свернуть непрерывные периодические дроби 1) .

2. Найти иррациональность , если .

3. Разложить в непрерывную дробь 1) .

4. Разложить в непрерывную дробь .