Лабораторная работа № 3 Бесконечные цепные дроби.
Определение 1. Иррациональность называется квадратичной, если она удовлетворяет квадратному уравнению с рациональными коэффициентами.
Общий вид квадратичной иррациональности: 
, 
.
Определение 2. Выражение вида 
называется бесконечной цепной дробью.
Определение 3. Если в бесконечной цепной дроби значения неполных частных, начиная с некоторого момента, повторяются, то дробь называется бесконечной периодической цепной дробью, причем чисто периодической, если повторения начинаются с нулевого звена и смешанно-периодической в противном случае.
Теорема. Квадратичные и только квадратичные иррациональности разлагаются в периодическую непрерывную дробь.
Пример 1. Разложить в периодическую непрерывную дробь 
.
Решение. Имеем 
(целая часть), 
(дробная часть).
Рассмотрим 
. Таким образом 
. Так как 
, следовательно 
. В итоге получим 
.
Пример 2. Найти величину дроби [3,(1,1,1,1,6)].
Решение. Пусть 
.
. Найдем 
. Составим таблицу подходящих дробей:  | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
 | 1 | 1 | 1 | 1 | 6 | | ||
 | 0 | 1 | 1 | 2 | 3 | 5 | 33 |  |
 | 1 | 0 | 1 | 1 | 2 | 3 | 20 |  |
Имеем 
. Решая данное уравнение, получим корни 
, из которых выбираем положительный 
.
Таким образом, искомое число равно 
.
Задания для самостоятельной работы.
1. Свернуть непрерывные периодические дроби 1) 
.
2. Найти иррациональность 
, если 
.
3. Разложить в непрерывную дробь 1) 
.
4. Разложить в непрерывную дробь 
.