Лабораторная работа № 2 Конечные цепные дроби.

Рассмотрим рациональное число . Будем считать, что .

.

Определение 1. Выражение вида называется конечной цепной (непрерывной) дробью длины .

Теорема 1. Всякое рациональное число может быть представлено в виде конечной цепной дроби.

Пример 1. Дана конечная цепная дробь вида [3,2,4,5,2]. Найти рациональное число, соответствующее этой дроби.

Решение:

Пример 2. Разложить в непрерывную дробь .

Решение:

=.

Определение 2. Подходящей дробью порядка , к данной цепной дроби называется цепная дробь и обозначается через .

Как видно из определения значение подходящей дроби любого порядка нетрудно получить простым свертыванием ее в обыкновенную дробь, однако, данный процесс при больших оказывается весьма громоздким. Свойства подходящих дробей позволяют рационализировать этот процесс.

Теорема 2. Числитель и знаменатель подходящей дроби -ого порядка выражаются через числители и знаменатели двух предыдущих подходящих дробей по следующим формулам:

Данная формула справедлива для , но если условно ввести , то ею можно пользоваться при любых . При этом вычисления удобно записывать в таблице.

Пример 3. Вычислить все подходящие дроби к дроби .

Решение.

=[1,2,1,2,4].

	-2	-1	0	1	2	3	4
			1	2	1	2	4
	0	1	1	3	4	11	48
	1	0	1	2	3	8	35

Таким образом

Задания для самостоятельной работы.

1. Разложить в непрерывную дробь

2. Свернуть непрерывные дроби [1,1,2,1,2,1,2]; [0,1,2,3,4,5]; [5,4,3,2,1]; [a,b,a,b,a]

3. Разложить в непрерывную дробь и составить таблицу подходящих дробей.

4. Сократить при помощи разложения в цепную дробь 1) .

5. Доказать несократимость дроби .

6. Заменить подходящей дробью третьего порядка и оценить погрешность

7. Применить соотношение к решению в целых числах уравнения .

8. Решить найденным способом уравнение

9. Решить уравнения 1) .