<<
>>

4.2. Методические указания к выполнению лабораторных работ

Лабораторная работа 1

Интерполяция функций с равноотстоящими узлами

методом Ньютона

1. Цель работы

Нахождение аналитического выражения функции, заданной таблицей, используя первую интерполяционную формулу Ньютона.

2. Основные теоретические положения

Материал по этой теме приведён в разделе 3 (с.19 – 22) и разделе 4 (с.84 – 87).

Здесь следует добавить, что для проверки правильности вычислений конечных разностей удобно использовать их свойство: сумма чисел в каждом столбце разностей равна разности крайних членов предыдущего столбца. Сумма всех разностей первого порядка определяется следующим образом:

(1)

Например, для n = 5: ( y1 + y2 + y3 + y4 + y5) – (y0 + y1 + y2 + y3 + y4) = y5 - y0.

Аналогично, для разностей других порядков будем иметь:

(2)

Первая интерполяционная формула Ньютона

для равноотстоящих узлов интерполяции

Вычисление значений функции для значений аргументов, лежащих в начале таблицы, удобно проводить, пользуясь первой интерполяционной формулой Ньютона. В этом случае интерполяционный многочлен представляют в виде:

F(x) = Pn(x) = a0 + a1(x – x0) + a2(x –x0)(x – x1) +

+ a3(x –x0)(x- x1)(x-x2) + ... + an(x –x0)(x- x1)(x-x2)…(x –xn-1), (3)

при этом неизвестные значения коэффициентов a0, a1, a2, …, an вычисляют по формуле

(i = 0, 1, 2, …, n), (4)

то есть

при i = 0 , [0!=1, Δ0y0 = y0],

при i = 1 = ,

при i = 2 = , и т.

д.

Обратите внимание, что . (5)

После подстановки найденных коэффициентов ai в выражение (3), получают первую интерполяционную формулу Ньютона:

(6)

Пример.

Используя первую интерполяционную формулу Ньютона, построить интерполяционный многочлен для функции, заданной таблицей (табл. 1). При составлении таблицы конечных разностей контролировать правильность вычислений.

Таблица 1

xi yi
0 8,5
1 10,5
2 12,0
3 13,5
4 14,5
5 15,5

Решение.

○Степень многочлена определяется порядком конечных разностей, т.е. для рассматриваемого примера интерполяционный многочлен будет иметь вид

F(x) = Pn(x) = a0 + a1(x – x0) + a2(x –x0)(x – x1) + a3(x –x0)(x- x1)(x-x2) +

+ a4(x –x0)(x- x1)(x-x2)(x –x3) + a5(x –x0)(x- x1)(x-x2)(x –x3) (x-x4) (7)

или

(8)

Вычисление конечных разностей, значений коэффициентов интерполяционного многочлена (особенно высокого порядка), а также значений функции для заданных значений аргументов удобно выполнять в электронной таблице (рис. 1), так как «вручную» выполнять подобные вычисления долго и утомительно.

Режим вычислений

Рис. 1

В верхнюю часть таблицы следует ввести исходные данные: значение шага интерполяции h, который по условию равен 1, значения аргумента x и соответствующие им значения функции f(x), а также значение аргумента x = 2,5, для которого требуется вычислить значение заданной функции, с помощью построенного интерполяционного многочлена.

Реализация вычисления конечных разностей выполняется, как показано в таблице. Значения конечных разностей и значение f(x0), которые будут использованы в вычислениях по формуле (2), выделены в таблице полужирным начертанием. Правильность полученных конечных разностей подтверждают результаты вычислений, выполненные по формуле (2) (в ячейках D11 и С12, Е11 и D12 и т.д.).

Вычисление коэффициентов интерполяционной формулы (7) целесообразно выполнять, используя свойство (5)

,

а именно:

i = 0

i = 1

i = 2 (9)

i = 3

I = 4

i = 5 = .

Для этого в блоке ячеек В16:В20 реализовано вычисление промежуточных значений коэффициентов таким образом, чтобы каждый последующий элемент столбца получался из предыдущего, умножением на . Это позволит при необходимости легко настраивать полученную таблицу на решение задач любой размерности.

В блоке ячеек D16:D20 вычисляются значения коэффициентов интерполяционного многочлена a0, a1, …, a5 (8), путем умножения значений f(x0), и конечных разностей, полученных в блоке С5: H5 на соответствующие им значения промежуточных коэффициентов (В16:В20).

В соответствии с (7), каждый коэффициент a1, a2, a3, a4, a5 соответственно требуется умножить на (x –x0), (x –x0)(x- x1), (x –x0)(x- x1)(x-x2), (x –x0)(x- x1)(x-x2)(x –x3) (x-x4). Поэтому в блоке ячеек I5: I10 предусмотрено вычисление значений (x-xi), которые затем используются для вычисления их произведений в блоке Н16:Н20, причем каждый последующий элемент получается из предыдущего.

В блоке ячеек I15: I20 выполняется вычисление значений каждого члена интерполяционного многочлена, просуммировав которые получается значение интерполяционного многочлена для x = 2,5.

Таким образом, получено выражение интерполяционного многочлена:

F(x) = P5(x) = 8,5 + 2(x-0) - 0,25(x-0)(x-1) + 0,08(x-0)(x-1)(x-2) –

-0,04(x-0)(x-1)(x-2)(x-3) + 0,02(x-0)(x-1)(x-2)(x-3)(x-4). (10)

Коэффициенты многочлена, полученные при ручном счете по формуле (9), совпадают со значениям коэффициентов, полученными в Excel (см. столбец D15:D20).

Значение F(2,5) = 12,78 (получено в ячейке I21). Подставив значение x = 2,5 в (10), получим:

F(2,5) = P5(2,5) = 8,5 + 2(2,5-0) - 0,25(2,5-0)(2,5-1) + 0,08(2,5-0)(2,5-1)(2,5-2) –

-0,04(2,5-0)(2,5-1)(2,5-2)(2,5-3)+0,02(2,5-0)(2,5-1)(2,5-2)(2,5-3)(2,5-4) = 12,78.

Значение F(x) при x = 2,5 при ручном счете и вычислениями в Excel совпадают.

На рис. 2 показана таблица, представленная в режиме формул, в которой алгоритм описанных вычислений становится более наглядным.

Режим формул

Рис. 2.

При использовании электронных таблиц не представляет сложности вычисление значений многочлена для других значений х. Для этого достаточно в ячейке I2 изменить значение х, и мгновенно получим новое значение многочлена. Так же быстро можно изменить исходные значения аргумента х и соответствующие им значения функции y. Для этого в блоки ячеек В5:В10 и С5:С10 – следует ввести новые значения.

Заполнять таблицу тоже достаточно просто, если разумно использовать абсолютную и относительную адресацию ячеек, на которые делаются ссылки в формулах, т.е. применять автозаполнение столбцов и строк. Настроить таблицу на построение многочленов более высоких порядков тоже не сложно, вставив в нужном месте нужное количество строк и столбцов и заполнить нужные ячейки автозаполнением.●

3. Порядок выполнения работы

Задание

1. Выполнить решение примера индивидуального контрольного задания по шести первым точкам (с.77), используя первую интерполяционную формулу Ньютона.

1.4. Реализовать вычисление коэффициентов интерполяционного многочлена средствами MS Excel.

Лабораторная работа 2

Приближенное решение уравнений.

Отделение корней. Уточнение корней методом касательных.

1. Цель работы

Ознакомление с численными методами решения конечных уравнений.

2. Основные теоретические положения

Пусть дано уравнение f(x) = 0, где f(x) – непрерывная функция на некотором отрезке. Корни этого уравнения x*– те значения аргумента x, которые обращают уравнение в тождество. Найти приближенное значение корня x* с точностью ε означает указать интервал длиной не более ε, содержащий значение корня x.

При отыскании приближенных значений корней уравнения приходится решать две задачи:

1) отделение корней, т.е. выделение интервалов из области непрерывности функции, в каждом из которых заключен только один корень уравнения;

2) уточнение корня, т.е. построение итерационного процесса, позволяющего сузить границы выделенного интервала до значения заданной точности.

2.1. Отделение корней

Графический метод отделения корней

При графическом методе можно построить график функции для уравнения вида f(x) = 0. Значения действительных корней уравнения являются абсциссами точек пересечения функции y = f(x) с осью х.

Пример. Отделить корни уравнения x3 - 8x + 2 = 0 графическим методом, где x[-3, 3].

Решение.

○Для отделения корней можно построить график функции y = x3 -8 x + 2 (рис. 1), задав шаг изменения аргумента, например, равным 1. График удобно строить средствами Excel, используя Мастер диаграмм. Значениями действительных корней уравнения являются точки пересечения графика функции с осью x. Из графика видно, что корни находятся на интервалах [-3; -2], [0; 1] и [2; 3]. Если задать шаг изменения аргумента меньше выбранного, можно сузить границы интервалов.■

Рис. 1

Аналитический метод отделения корней

Для отделения действительных корней непрерывных функций следует помнить следующее:

ü если функция f(x) непрерывна на интервале [a, b] и имеет на концах интервала [a, b] одинаковые знаки (т.е. f(a)·f(b) > 0), то на этом интервале имеется четное число корней или их нет (рис. 2);

! нельзя забывать, что корнем функции может быть не только точка пересечения графика функции f(x) с осью x, но и его касание с осью x (рис. 3). В этом случае монотонность функции нарушается.

Рис. 2 Рис. 3

ü если функция f(x) непрерывна на интервале [a, b] и имеет на концах интервала [a, b] разные знаки (т.е. f(a)·f(b) < 0), то на этом интервале имеется нечетное число корней (рис. 4, 5);

Рис. 4 Рис. 5

! Разные знаки функции на концах интервала указывают на наличие корня на интервале [a, b], но не гарантируют его единственности.

ü если функция f(x) непрерывна на интервале [a, b], монотонна и ее значения на концах интервала имеют разные знаки (f(a)·f(b) < 0), то уравнение на этом интервале имеет единственный корень.

Из этого следует, что для единственности корня на участке [a, b] достаточно, чтобы выполнялись условия: f(a)·f(b) < 0, а f'(x) была знакопостоянна для любого x, принадлежащего [a, b].

! иногда для единственности корня бывает достаточно и знакопостоянства второй производной.

Таким образом, чтобы отделить все корни уравнения, следует:

§ найти промежуток, где f(a)·f(b) < 0, а f'(x) или f''(x), или и f'(x), и f''(x), были знакопостоянны;

§ отыскать нули и точки разрыва f'(x) и проверить, не являются ли они корнями уравнения.

Пример (продолжение). ?Отделить все действительные корни уравнения f(x) = 0 на отрезке [-3, 3]:

f(x) = x3 - 8x +2 = 0.

Решение.

Вычислим значения функции f(x) на концах отрезка [-3, 3]:

f(-3) = (-3)3 - 8·(-3) + 2 = -1, f(3) = (3)3 - 8·3 + 2 = 5.

f(-3)∙f(3) < 0, поэтому на отрезке [-3, 3] имеется или один корень, или нечетное число корней.

f'(x) = 3x2 - 8 – непрерывна. Для определения интервалов монотонности f(x) найдем значения x, при которых f'(x) = 0. f'(x) = 3x2 – 8 = 0 при x = ≈ ±1,633.

Таким образом, можно отделить следующие интервалы монотонности функции f(x): [-3; -1,633], [-1,633; 1,633], [1,633; 3] и на каждом из этих интервалов отделено по одному корню уравнения.

Для наглядности вычислим значения f(x) и f'(x) на концах этих промежутков (табл. 1). f'(x) = 3x2 – 8.

Таблица 1

Другие методы отделения корней

Для отделения корней можно использовать табулирование функции f(x), задав некоторые значения аргумента на рассматриваемом промежутке (табл. 3) и вычислив для них значения f'(x), f''(x). Таблица 3

Задав шаг табулирования функции меньше выбранного, можно получить более точные интервалы отделения корней.

Функция f(x) меняет знаки на отрезках [-3, -2], [0, 1], [2, 3], следовательно, на этих отрезках отделены корни уравнения. На каждом из них отделено по одному корню уравнения, так как на отрезке [-3, -2] и f '(x), и f''(x) не меняют знак, на отрезке [0, 1 ] f '(x) не меняет знак, на отрезке [2, 3] и f '(x), и f''(x) не меняют знак. ■

Метод касательных (Ньютона)

Уточнение корней – это доведение их до заданной степени точности. Существует несколько методов уточнения корней: метод половинного деления, метод хорд, метод касательных, комбинированный метод хорд и касательных, метод итераций. Рассмотрим уточнение корней методом касательных.

В дальнейшем будем считать, что функция f(x) непрерывна на промежутке [a, b], искомый корень х* отделен на этом промежутке и является единственным.

Суть метода касательных заключается в том, что на промежутке [a, b] дуга кривой y = f(x) заменяется касательной к этой кривой. За приближенное значение корня принимается точка пересечения касательной с осью х (рис. 6, 7). Возможны следующие варианты:

Вариант 1. f(a) < 0, f(b) > 0, f'(x) > 0, f''(x) > 0, т.е. функция монотонно-возрастающая, график функции – выпуклый вниз (рис. 6). Касательная к кривой в точке b пересекает ось х в точке с1, которая и принимается за первое приближение корня х1. Уравнение касательной к кривой в точке b есть

(1)

Найдем значение x = x1, для которого y = 0.

Эта формула носит название формулы метода касательных.

f(a) > 0, f(b) < 0,

f'(x) < 0, f''(x)< 0

f(a) < 0, f(b) > 0,

f'(x) > 0, f''(x) > 0

Рис. 6 Рис. 7

Теперь корень (первое приближение) находится внутри отрезка [a, c1]. Если значение корня не устраивает, его можно уточнить, применяя метод касательных к отрезку [a, c1]: построим касательную к кривой в точке с1. Она пересекает ось х в точке с2. Точка пересечения касательной с осью х, принимается за второе приближение корня − х2.

Продолжая этот процесс, находим

(2)

Процесс уточнения продолжается до тех пор, пока не будет получен приближенный корень с заданной точностью ε, т.е. до тех пор, пока корень не будет отделен на отрезке [xn-1 - xn], для которого выполняется условие

|xn-1 - xn | < ε.

По формуле (2) корни вычисляются и для случая, когда f(a) > 0, f(b) < 0, f'(x) < 0, f''(x) < 0, т.е. функция монотонно-убывающая, а график функции – выпуклый вверх (рис. 7).

Вариант 2. f(a) > 0, f(b) < 0, f'(x) < 0, f''(x) > 0, т.е. функция монотонно-убывающая, а график функции – выпуклый вниз (рис. 8).

Касательная к кривой в точке f(а) пересекает ось х в точке с1, которая принимается за первое приближение корня х1. Уравнение хорды есть

(3)

f(a) > 0, f(b) < 0,

f'(x) < 0, f''(x) > 0

f(a) < 0, f(b) > 0,

f'(x) > 0, f''(x) < 0

Рис. 8 Рис. 9

Найдем значение x = x1, для которого y = 0.

или в общем виде

. (4)

Процесс уточнения продолжается до тех пор, пока не будет получено приближенное значение корня с заданной точностью ε.

По формуле (4) корни вычисляются и для случая, когда f(a) < 0, f(b) > 0, f'(x) > 0, f''(x) < 0, т.е. функция монотонно-возрастающая, график функции – выпуклый вверх (рис. 9).

На основании полученных выражений можно сформулировать правило: за исходную точку следует выбирать тот конец отрезка, для которого знак функции совпадает со знаком второй производной. В первом случае f(b)· f''(x) > 0, в качестве начального приближения берем точку b = x0 и используем формулу (2); во втором случае – f(a)· f''(x) > 0, в качестве начального приближения берем точку a = x0 и используем формулу (4).

Пример (продолжение). ?Уточнить корни уравнения f(x) = x3 -8x + 2, отделенные на отрезках [-3, -2], [0, 1], [2, 3] методом касательных с точностью ε = 0,005.

Решение.

1) Уточним корень уравнения f(x) = x3 -8x + 2, отделенный на отрезке [-3, -2].

f(a) = f(-3) = -1, f(b) = f(-2) = 10, f'(x) > 0, f''(x) < 0 (см. табл. 3 и рис. 9), поэтому в качестве начального приближения возьмем точку a = -3 и используем для вычислений формулы (3) и (4), вспомогательные вычисления выполним в таблице (табл. 4) или реализуем в таблице Excel (рис. 11, 11-а).

Таблица 4

Рис.10(режим решения)

Рис. 10-а (режим формул)

.

|-2,947 – (-3)| = 0,053;

0,053 > 0,005.

|-2,946 – (-2,947)| = 0,001;

0,001 < 0,005,

следовательно, x = -2,946 − первый искомый корень уравнения f(x) = x3 -8x + 2, вычисленный методом касательных с точностью ε = 0,005.●

3. Порядок выполнения работы

Задание 1

1. Отделить корни уравнения контрольного задания (с.78) аналитическим способом, реализовав вычисления, представленные в табл. 1 в Excel.

2. Отделить корни уравнения контрольного примера графическим способом, используя Мастер функций Excel (рис. 1).

3. Отделить корни уравнения контрольного примера графическим способом, уменьшив шаг изменения аргумента в два раза.

4. Отделить корни уравнения контрольного примера средствами Excel, используя табулирование функции на заданном интервале (табл. 3).

5. Отделить корни уравнения контрольного примера средствами Excel, используя табулирование функции на заданном интервале, уменьшив шаг табулирования в два раза.

6. Уточнить корни уравнения примера индивидуального задания на отделенных ранее интервалах

Лабораторная работа 3

Уточнение корней уравнения средствами Excel.

Решение системы уравнений в Excel.

1. Цель работы

Ознакомление с методами уточнения корней уравнения, используя команды Подбор параметра и Поиск решения Excel.

2. Основные сведения

В Excel используются численные методы для вычисления корней уравнения, заключающиеся в постепенном приближении приближенного решения к точному решению до достижения погрешности, не превышающей 0,0001 (1000 итераций). Найти корень можно, используя команды Сервис – Подбор параметра или Сервис – Поиск решения.

Пример. Уточнить корень уравнения x3 - 8x + 2 = 0, отделенный на интервале [-3, -2].

Решение.

1) Использование команды Подбор параметра. ○Найдем корень уравнения отделенный на интервале [-3, -2]. За начальное приближение корня примем -3 – левый конец интервала, на котором отделен корень. Решение будем искать с помощью команды Сервис – Подбор параметра. Для решения уравнения построим таблицу. В ячейку В3 введем начальное приближение корня, а ячейку В4 – формулу (левую часть уравнения) (рис.1).

[-3, -2]
[-3, -2]

Рис. 1

Выполним команду Сервис – Подбор параметра. Появится диалоговое окно Подбор параметра (рис. 2).

Рис. 2

Введем в поле Установить в ячейке адрес ячейки В4, в поле Значение – правую часть уравнения, т.е. 0, в поле Изменяя значение – номер ячейки В3. Нажмем ОК. Появится диалоговое окно Результат подбора параметра (рис. 3).

Рис. 3

Если найденное решение устраивает, следует нажать кнопку ОК, если нет – нажать кнопку Отмена. При этом произойдет возврат к исходным значениям. Нажмем кнопку ОК. В рассматриваемом примере найденное значение корня равняется -2,95.

Если за начальное приближение принять другой конец интервала, на котором отделен корень, т. е. -2, и снова решить задачу, выбрав команду Сервис – Подбор параметра (рис. 4), будем иметь тот же результат (рис. 3).

Рис. 4

2) Использование команды Поиск решения.

Построим таблицу, как показано на рис. 5. Введем в ячейку В4 формулу левой части уравнения. В ячейку В3 в качестве начального приближения корня введем значение левого конца интервала, т.е. -3 (можно правого). В ячейку В5 введем значение нижней границы интервала, а в ячейку В6 – значение верхней границы интервала.

Рис. 5

Выполним команду Сервис – Поиск решения. Появится диалоговое окно Поиск решения (рис. 6).

Рис. 6

В поле Установить целевую ячейку введем В4. Установим переключатель Равной в положение значению 0. В поле Изменяя ячейки введем имя В3.

В поле Ограничения введем: В3 > B5, B3 < B6 (рис. 7). Нажмем кнопку Выполнить. Получим решение (Рис. 8).

Как видно, значение корня, полученное при использовании команд Подбор параметра и Поиск решения, совпадают.●

Рис. 7

Рис. 8

Пример. Решить систему уравнений border=0 class="lazyload" data-src="/files/uch_group46/uch_pgroup327/uch_uch1417/image/1146.gif">, используя команду Поиск решения.

Решение.

○Построим таблицу, представленную на рис. 9, 9-а. Введем в нее коэффициенты данной системы уравнений, левые и правые части. Отведем ячейки А8:В8 для хранения корней уравнения.

Режим решения

Рис. 9

Режим формул

Рис. 9-а

Выполним команду Сервис – Поиск решения. Введем в поле Изменяя ячейки диалогового окна Поиск решения блок ячеек А8:В8, в поле Ограничения – С4:С5 = D4:D5 (рис. 10). Нажмем кнопку Выполнить.

Рис. 10

В ячейках А8:В8 получим значения корней: x1 = 2,02; x2 = -0,09 (рис. 11).●

Рис. 11

3. Порядок выполнения работы

Задания

1. Уточнить корни уравнения индивидуального задания на отделенных ранее интервалах, используя команды Подбор параметра и Поиск решения.

Лабораторная работа 4

Приближенное интегрирование функций с заданным шагом

1. Цель работы

Изучение способов приближенного интегрирования функций с заданным шагом.

2. Основные теоретические положения

Обычный прием приближенного интегрирования состоит в том, что подынтегральную функцию f(x) на рассматриваемом отрезке [a, b] заменяют полиномом F(x), а затем приближенно полагают, что

=. (1)

Основу алгоритмов вычисления определенного интеграла

I =

составляет геометрический смысл его значения как площади криволинейной трапеции, ограниченной подынтегральной кривой f(x), осью абсцисс и ординатами f(a) и f(b). Для вычисления площади интервал интегрирования [a, b] разбивают на подынтервалы и строят на них или прямоугольники, или трапеции, или параболы, вычисляют площади этих фигур, а затем суммируют. Наиболее удобным оказывается разбиение на подынтервалы равной длины h, которые называются шагом интегрирования.

Широко известными методами, используемыми для приближенных расчетов, являются методы прямоугольников, трапеций, парабол.

2.1. Метод прямоугольников

Для получения формулы прямоугольников интервал интегрирования [a, b] разбивается на n подынтервалов равной длины (шагов) точками: x0 = a, x1, x2, … , xi, xi+1, … , xn = b так, что

xi+1 - xi = h =, i = 1, 2, …, n. (2)

На этих подынтервалах строятся прямоугольники, высота их определяется значением функции f(x) в какой либо точке подынтервала.

Если f(xi) определяется для левой границы каждого подынтервала (рис. 2.1), то формула прямоугольников имеет следующий вид:

I1 = (3)

и называется формулой левых прямоугольников.

Если f(xi) определяется для правой границы каждого подынтервала (рис. 2), то

I2 = (4)

и называется формулой правых прямоугольников.

Рис. 1 Рис. 2

Если функция монотонна на отрезке [a, b], то в одном случае получается значение интеграла I с недостатком I1, а в другом – с избытком I2. Более точное значение I получают при усреднении величин:

I = . (5)

Если f(xi) определяется для середины каждого подынтервала, то формула прямоугольников имеет следующий вид:

I3 = (6)

и называется формулой средних прямоугольников.

Точность интегрирования для этих методов приближенно равняется ε ≈ h.

Пример.

С помощью формул левых, правых и средних прямоугольников вычислить , если h = 0,2.

Точное решение:

○Вычисление интеграла методом прямоугольников выполним в таблице Excel (рис. 3, 3-a).

Значения интервала интегрирования [0, 1] соответственно поместить в ячейки B3 и F3. Интервал интегрирования разобьем на 5 подынтервалов (n = 5). Введем значение n в ячейку В2. Шаг интегрирования вычислим в ячейке F2 по формуле

h = → h = .

Рис. 3 (Режим решения)

Режим показа формул

Рис. 3 - а

I) Для приближенного вычисления интеграла по формуле левых прямоугольников (3) требуется вычислить значения функции f(x) = 3x2 - 4x в точках (2):

x0 = a=0;

x1= x0 + h= 0+0,2 =0,2 ;

x2 = x1 + h = 0,2 + 0,2 = 0,4;

x3 = x2+h = 0,4 + 0,2 = 0,6;

x4 = x3+h = 0,6 + 0,2 = 0,8.

Вычисление значений x0, x1, x2, x3, x4, представлено в блоке ячеек B6:B10, а соответствующие им значения функции – в блоке ячеек С6:С10.

Затем следует вычислить их сумму (в ячейке С11) и полученное значение умножить на шаг интегрирования h(в ячейке С12):

∑ = 0-0,68–1,12–1,32-1,28 = -4,4

I = 0,2∙ (-0,44) = -0,88.

I =.

II) Для приближенного вычисления интеграла по формуле правых прямоугольников (4) требуется вычислить значения функции f(x) = 3x2 - 4x в точках:

x1= x0 + h= 0 + 0,2 = 0,2 ;

x2 = x1 + h = 0,2 + 0,2 = 0,4;

x3 = x2+h = 0,4 + 0,2 = 0,6;

x4 = x3+h = 0,6 + 0,2 = 0,8.

x5 = x4+h = 0,8 + 0,2 = 1,0.

Вычисление значений x1, x2, x3, x4, x5 представлено в блоке ячеек Е6:Е10, а соответствующие им значения функции – в блоке ячеек F6:F10.

Затем следует вычислить их сумму (в ячейке F11) и полученное значение умножить на шаг интегрирования h(в ячейке F12):

Приближенное значение интеграла, вычисленное по формуле левых прямоугольников равно -0,88, а по формуле правых прямоугольников равно -1,08.

Их среднее значение ближе к точному, равному -1.

III) Для приближенного вычисления интеграла по формуле средних прямоугольников (5) требуется вычислить значения функции f(x) = 3x2 - 4x в точках:

(xi-1+ xi)/2 (блок ячеек G6:H12), их сумму (ячейка H11), полученное значение умножить на шаг интегрирования h (ячейка H12).

Разбивая интервал интегрирования на большее число отрезков, например, на 10, можно получить более точное решение (рис. 4).■

Рис. 4

2.2. Метод трапеций

Для получения формулы трапеций интервал интегрирования [a, b] разбивается на n подынтервалов равной длины (шагов) точками: x0 = a, x1, x2, … , xi, xi+1, … , xn = b так, что

xi+1 - xi = h =, i = 1, 2, …, n.

На каждом отрезке (xi, xi+1) дугу Xi Xi+1 графика подынтегральной функции y = f(x) заменяют стягивающей ее хордой (рис. 2.5) и вычисляют площади трапеций xiXi Xi+1xi+1, высота которых равна h, а основания определяются значением функции f(xi), f(xi+1).

Рис. 2.5

Так как площадь трапеции равняется полусумме оснований, умноженной на высоту, интеграл приближенно равен сумме площадей всех полученных трапеций:

=

==

=[f(x0) + 2f(x1) + 2f(x2)+…+ + 2f(xn-1) + f(xn)]=

= [f(xa) + 2f(x1) + 2f(x2)+…+ + 2f(xn-1) + f(xb)]=

=[ f(xa) + f(xb) + ]. (7)

Таким образом, формула трапеций имеет вид:

I = border=0 class="lazyload" data-src="/files/uch_group46/uch_pgroup327/uch_uch1417/image/1177.gif">. (8)

Точность интегрирования для этого метода приближенно равняется ε ≈ h2.

Пример (продолжение). ?Пользуясь формулой трапеций, вычислить при h = 0,2.

Решение. Вычисление интеграла методом трапеций (8) выполним в таблице Excel (рис. 6, 6-а).

Режим решения

Рис. 6

∑ = -0,68 -1,12 -1,32 -1,28 = -4,4 I = 0,1·[(0-1)-2·4,4] = -0,98

Режим показа формул

Рис. 6 - а

Разбивая интервал интегрирования на большее число отрезков, например, на 10, можно получить более точное решение (рис. 7).

Рис. 7

∑ = -0,37 -0,68 -0,93 -1,12 -1,25 -1,32 -1,33 -1,28 -1,17 = -9,45

I = 0,05∙ [(0 -1) + 2∙(-9,45) = -1,00■

2.3. Метод парабол (Симпсона)

Для получения формулы парабол функция f(x) на интервале (xi, xi+1) заменяется параболой, проходящей через три точки кривой с абсциссами

xi, (xi +xi+1)/2, xi+1 (xi, xi+h, xi+2h) (рис. 2.8).

Весь интервал интегрирования при этом разбивается на четное число отрезков (n = 2m).

Рис. 8

Формула парабол имеет вид:

I =

Пример. ?Пользуясь формулой парабол, вычислить при n = 10.

Решение.

h = Вычисление интеграла выполним в таблице Excel (рис. 9, 9-а).

Режим решения

Рис. 9

∑1 = -0,37- 0,93-1,25-1,32-1,17 = -5,05 ∑2 = -0,68 -1,12 -1,32-1,28 = -4,4

∑ = (0- 1) + 4·(-5,05) +2·(-4,4) = -30,00 ∫ = 0,033 · (-30) = 1.

Режим формул

Рис. 9 - а

3. Порядок выполнения работы

1. Вычислить интеграл индивидуального задания всеми описанными методами в Excel с числом шагов, равным 5. При реализации решения в Excel увеличить число шагов в два раза, в три раза. Сравнить результаты вычислений, полученные при использовании данных методов с точным решением.

Лабораторная работа 5

Решение дифференциальных уравнений методом Эйлера

1. Цель работы

Изучение метода Эйлера для интегрирования дифференциальных уравнений.

2. Основные теоретические положения

Решить дифференциальное уравнение y' = f(x, y) численным методом –значит для заданной последовательности аргументов x0, x1, …, xn и числа y0, не определяя функцию y = F(x), найти такие значения у1, у2, …, yn, что yi = F(xi) (i = 1, 2, …, n) и F(x0) = y0. Другими словами, численные методы позволяют вместо нахождения функции y = F(x), получить таблицу значений этой функции для заданной последовательности аргументов. Величина h = xk – xk-1 называется шагом интегрирования.

Для решения данной задачи используются различные численные методы, среди которых наиболее простым является метод Эйлера.

Пусть дано дифференциальное уравнение первого порядка

y' = f(x, y) (1)

с начальными условиями

x = x0, у(x0) = y0.

Требуется найти решение уравнения (1) на отрезке [a, b].

Разобьем отрезок [a, b] на n равных частей и получим последовательность x0, x1, …, xn, где xi = x0 + i·h (i = 1, 2, …, n), а h = (b – a)/n – шаг сетки. Величина h = ∆ xm = xm+1 - xi обычно выбирается постоянной и достаточно малой. При численном решении задачи вычисляются приближенные значения yi (xi) ≈ yi в узлах сетки xi (i = 1, 2, …, n).

Идея метода состоит в том, что при малом шаге сетки h производная искомой функции y'(xi) может быть приближенно заменена конечными разностями

(2)

где yi – значение функции в узле xi.

Тогда y'(xi)∙h = yi+1 - yi, отсюда yi+1 = yi+ y'(xi)∙h, а, так как y'(xi) = f(xi, yi), то

yi+1 = yi + h·f(xi,yi). (3)

Т.е. на каждом отрезке [xi, xi+1] выражение (1) можно заменить приближенным выражением (3).

Зная начальное значение y0, и используя соотношение (3), можно последовательно от узла xi к узлу xi+1 определить все искомые значения yi+1.

На практике, как правило, применяют «двойной просчет». Сначала расчет ведется с шагом h, затем шаг дробят и повторный расчет ведется с шагом h/2 и

т.д.

Для достижения требуемой точности ε численного решения необходимо выполнение условия: |y2n - yn| < ε.

Пример 1. ○Используя метод Эйлера, составить на отрезке [0, 1] таблицу значений решения дифференциального уравнения

с начальными условиями x0 = 0, y0 = 1, выбрав шаг h = 0,2.

Решение.

Результаты вычислений представим в таблице Excel (рис.1). Заполняется она следующим образом:

1) В первую строку, соответствующую значению i = 0, запишем начальные условия: x0 = 0, y0 = 1. По ним вычислим значение f(x0, y0):

а затем значение ∆y0. Из (2) и (1) имеем

∆y0 = y'(x0)∙ ∆x0 = y'(x0)∙h = f(x0, y0) ∙h,

следовательно, ∆y0 = h∙f(x0, y0) = 0,2∙1 = 0,2. Отсюда по формуле (3) для i = 0 получим

y1 = y0 + h∙f(x0, y0) = y0+ ∆y0 = 1 + 0,2 = 1,2.

2) Значение x1 = x0 + h = 0 + 0,2 = 0,2 и соответствующее ему значение y1 =1,2 запишем во вторую строку таблицы, соответствующую i = 1.

Для x1 = 0,2 и y1 = 1,2 вычислим f(x1, y1).

Затем вычислим ∆y1 = h∙f(x1, y1) = 0,2∙0,8667 = 0,1733.

Тогда по формуле (3) для i = 1 получим

y2 = y1 + h∙f(x1, y1) = y1+ ∆y1 = 1,2 + 0,1733 = 1, 3733.

3) Значения x2 = x1 + h = 0,2 + 0,2 = 0,4 и соответствующее ему значение y2 =1,3733 запишем в третью строку таблицы (i = 2).

Аналогично следует выполнить вычисления для i = 2, 3, 4, 5 (см. рис. 1).●○

Режим формул

Режим решения

Рис. 1

Метод Эйлера легко распространяется на решение дифференциальных уравнений высших порядков. Для этого такое дифференциальное уравнение надо предварительно привести к дифференциальному уравнению первого порядка.

Пусть дано дифференциальное уравнение

y'' = f(x, y, y') (4)

с начальными условиями

x = x0, у(x0) = y0, у'(x0) = y'0.

Требуется найти решение уравнения (4) на отрезке [a, b].

С помощью подстановки y' = z, y'' = z' заменим уравнение (4) системой уравнений

и (5)

Таким образом, f1(x, y, z) = z, f2(x, y, z) = f(x, y, z) и задачу можно записать в общем виде:

и (6)

Аналогично можно свести к системе дифференциальных уравнений и уравнения более высокого порядка.

Пример 2. ○Используя метод Эйлера, составить на отрезке [1; 1,5] таблицу значений решения дифференциального уравнения

(7)

с начальными условиями y = 0,77, y' = -0,44 и выбрав шаг h = 0,1.

Решение. С помощью подстановки y' = z, y'' = z' заменим уравнение (7) системой уравнений

y' = z,

с начальными условиями y0(1) = 0,77 и z0 = -0,44.

Таким образом,

f1(x, y, z) = z, f2(x, y, z) =

Результаты вычислений по формулам (6) запишем в таблице Excel (рис. 2). Заполняется она следующим образом:

в первую строку i = 0 запишем начальные условия: x0 = 1,0, y0 = 0,77, z0 = -0,44.

Используя их, вычислим

f10(x0, y0, z0) = z0 = -0,44,

f20(x0, y0, z0) =

а затем

∆y0 = h∙f10 = 0,1∙(-0,44) = -0,044, y1 = y0 + ∆y1 = 0,77 + (-0,044) = 0,726,

∆z0 = h∙f20 = 0,1∙(-0,33) = -0,033, z1 = z0 + ∆z1 = -0,44 + (-0,033) = -0,473.

Таким образом, во вторую строку таблицы, соответствующую i = 1, можно записать:

y1 = 0,726, z1 = -0,473.

По этим значениям можно вычислить

f11(x1, y1, z1) = z1 = -0,473,

f21(x1, y1, z1) =

а затем

∆y1 = h∙f11 = 0,1∙(-0,473) = -0,047, y2 = y1 + ∆y1 = 0,726 + (-0,047) = 0,679,

∆z1 = h∙f21 = 0,1∙(-0,296) = -0,030, z2 = z1 + ∆z1 = -0,473 + (-0,030) =-0,503.

Аналогично следует выполнять вычисления для i = 2, 3, 4, 5 (см. рис. 2).●

Режим формул

Режим решения

Рис. 2

3. Порядок выполнения работы

1. Выполнить решение примера индивидуального задания (с.79) в Excel.

<< | >>
Источник: Т.Д.Бессонова, Н.М.Петухова, В.В. Тарасенко. Математика ч.2: учебно-методический комплекс / сост. Т.Д.Бессонова, Н.М.Петухова, В.В. Тарасенко - СПб.: Изд-во CЗТУ,2008. – 158 с.. 2008

Еще по теме 4.2. Методические указания к выполнению лабораторных работ:

  1. Передача имущества продавцом дает ему право требовать от покупателя уплаты покупной цены, выполнение подрядчиком работы
  2. Тяпухин А. П.. Логистика: Методические указания к изучению курса и выполнению курсового проекта, конспект лекций. - Оренбург: ГОУ ОГУ,2004. - 104 с., 2004
  3. С.В. Стахурлов. Информационные системы планирования и управления проектами : метод. указания к выполнению лабораторных и практических работ для студ. спец. 080801 / Воронеж. гос. арх-строит. ун-т; сост.: С.В. Стахурлов - Воронеж, 2006
  4. 2.2. Семинар как взаимодействие и общение участников
  5. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО ВЫПОЛНЕНИЮ КУРСОВОЙ РАБОТЫ
  6. Методические указания по оформлению и защите
  7. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО ВЫПОЛНЕНИЮ КУРСОВЫХ РАБОТ
  8. Номшиева И., Дондокова О, Цыренова А.. ФИНАНСОВЫЙ МЕНЕДЖМЕНТ. Программа курса и методические указания к выполнению контрольных заданий для студентов - заочников специальности 061100 «Менеджмент организации». Издательство ВСГТУ Улан-Удэ, 2004, 2004
  9. Методические указания к выполнению контрольных заданий.
  10. Агульник В.И.. Методические указания к выполнению контрольной работы по курсу высшей математики для студентов ускоренного заочного обучения., 0000
  11. ЗАДАНИЯ НА КОНТРОЛЬНЫЕ РАБОТЫ И ОБЩИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ
  12. Методические рекомендации к выполнению контрольных работ для студентов заочного отделения
  13. 3.3. Элементы алгебры логики
  14. 4.1. Методические указания к выполнению контрольных работ
  15. 4.2. Методические указания к выполнению лабораторных работ
  16. Содержание
  17. § 7. Лабораторные работы и наблюдения
  18. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ