<<
>>

Контрольная работа №2

Задание 5

Комплексные числа и действия над ними

1. Цель работы

Научиться оперировать с комплексными числами и отображать их на плоскости.

2. Основные теоретические положения

См.

раздел 2.1 (с.36, 37) УМК и раздел 3 Учебного пособия (с.19-23).

3. Порядок выполнения работы

Пример 1.

Найти сумму и разность чисел и .

○Числа даны в показательной форме, однако, операции алгебраического суммирования удобнее производить над числами, записанными в алгебраической форме, т.к. достаточно соответствующие действия выполнить отдельно для вещественных и отдельно для мнимых частей чисел, т.е.

(5)

i,

, .

Учитывая, что , построим все числа на рис. 1.●

Рис.

1

Пример 2.

Найти произведение и частное чисел .

○Находя z1?z2 поступим с числами, как с обычными алгебраическими многочленами, учитывая, что

Чтобы найти частное, следует освободиться в знаменателе от комплексного числа, для этого и числитель и знаменатель нужно умножить на число, сопряженное знаменателю.

На рис.2 представлены все числа.●

Рис.2

Задание 6

Вычисление производных функции комплексного переменного

1. Цель работы

Научиться вычислять производные от ФКП.

2. Основные теоретические положения

См. раздел 2.2 УМК (с.37-39) и раздел 4.2 Учебного пособия (с.26-29).

Пример.

Вычислить производную функции в точке z0=πi.

○Для того чтобы функция была аналитической в некоторой области необходимо и достаточно, чтобы её вещественная и мнимая части были определены и непрерывны в этой области и удовлетворяли условиям Коши- Римана, т.е.

(воспользовались формулами ;

).

Таким образом, u(x,y)=sin2xch2y; v(x,y)=-sh2ycos2x. Обе функции определены и непрерывны на всей комплексной плоскости. Осталось показать, что они удовлетворяют условиям Коши- Римана. Для этого нужно найти частные производные u(x,y) и v(x,y).

Таким образом , т.е. условия Коши- Римана выполнены. Следовательно, рассматриваемая функция аналитическая по всей числовой плоскости. Производную можно найти, воспользовавшись одной из формул:

Однако, имея в виду, что для аналитических функций справедливы все правила и формулы дифференцирования функции действительного аргумента, можно избежать применения этих формул.

Задание 7

Интегрирование функции комплексного переменного

1. Цель работы

Научиться определять тип особых точек и вычислять интегралы от функций комплексного переменного с помощью вычетов.

2. Основные теоретические положения

См. раздел 2.4 УМК (с.41-44) и раздел 6 (с.36-49) Учебного пособия.

Пример 1.

Вычислить интеграл .

(Обход контура в положительном направлении).

○Контур интегрирования – окружность радиусом 2 и центром в точке (-3;0) (рис. 1).

1

Здесь подынтегральная функция аналитическая везде, кроме точек х1=0; х2=2i; x3=-2i. Эти точки лежат вне области, ограниченной контуром интегрирования, следовательно, можно применить интегральную теорему Коши, согласно которой, интеграл по контору,

Рис. 1.

ограничивающему область аналитичности функции, равен нулю. Таким образом, .

В тех случаях, когда в области, ограниченной контуром интегрирования, подынтегральная функция имеет особые точки, для вычисления интеграла применяется теорема Коши о вычетах: , при условии, что f(z) непрерывна на границе интегрирования и аналитическая всюду внутри области, кроме конечного числа особых точек z1, z2,…, zn.

Таким образом, для того чтобы вычислить интеграл по замкнутому контуру, необходимо определить особые точки, принадлежащие области, ограниченной контуром интегрирования, и вычислить вычеты в этих точках (resf(zk)).

Напомним, что изолированные особые точки могут быть устранимыми, полюсами (простыми и порядка m), а также существенно особыми точками.

Особая точка называется устранимой особой точкой, если существует конечный предел , вычет в этой точке resf(z0)=0.

Особая точка называется полюсом, если . Порядок полюса определяется кратностью нуля z0 функции .

Вычет в простом полюсе вычисляется по формуле

(1) Вычет в полюсе порядка m вычисляется по формуле (2)

В частности при m=1 получим предыдущую формулу (имеем в виду, что 0!=1, производная нулевого порядка – сама функция); при m=2 (для полюса второго порядка)

Особая точка называется существенно особой точкой, если не существует.

В этом случае resf(z0) определяется, как коэффициент a-1 при минус первой степени при (z-z0) разложения f(z) в ряд Лорана.●

Пример 2.

Найти особые точки функции . ○Эта функция имеет две особые точки и . Найдем пределы функции в этих точках.

- предел конечный, следовательно, z1=0 – устранимая особая точка. Вычет в ней равен 0. , следовательно, точка – полюс. Поскольку –1 простой ноль функции точка является простым полюсом. Вычет в ней .

Замечание. При вычислении пределов использовалось правило Лопиталя.●

Пример 3.

Найти особые точки функции , определить их тип, найти вычет в каждой из них.

○f(z) имеет три особых точки: z1=0, z2=2i. Пределы f(z) равны во всех трех точках, т.е. все они полюсы. z1=0 – полюс третьего порядка, т.к. точка является нулем третьей кратности функции , а точки z2=2i и – полюса второго порядка, т.к. они двукратные нули функции .

Найдем вычеты в этих точках по формуле (2).

Пример 4.

Вычислить интеграл

○Чтобы вычислить интеграл по замкнутому контуру нужно воспользоваться таким алгоритмом.

1. Определить контур интегрирования на комплексной плоскости, указав положительное направление обхода контура.

2. Найти особые изолированные точки внутри контура интегрирования, определить их тип и вычислить вычеты в этих точках.

3. Вычислить интеграл по теореме Коши о вычетах.

В рассматриваемом примере контур интегрирования =4 – окружность с радиусом 4 и центром в начале координат (рис. 2).

1

Рис. 2

F(z) имеет две особые изолированные точки (на рис. 2 они обозначены крестами). В примере 2 было установлено, что х1=0 – устранимая особая точка и resf(0)=0, а – простой полюс с вычетом . По теореме Коши о вычетах интеграл будет равен .●

Пример 5.

Вычислить

○Контуры интегрирования изображены на рис. 3. В Примере 3 определенно, что подынтегральная функция имеет три особые изолированные точки z1=0, z2=2i, . При этом z1=0 полюс третьего порядка, вычет в точке z1 . Z2=2i – полюс второго порядка, – полюс второго порядка, В области ограниченной L1- окружностью радиуса 3 центром в точке 01 (0;-2i) – находятся две изолированные точки z1=0 и z3=-2i, т.е.

.

В области ограниченной L2 , функция регулярна, следовательно, по интегральной теореме Коши

В третью область, ограниченную окружностью радиусом с центром в начале координат входят все три особые точки, поэтому

1Рис. 6.

, .

Задание 8

Определение кратчайшего пути на графе и построение минимального

остовного дерева.

1. Цель работы

Научиться применять алгоритм Дейкстры для определения кратчайшего пути на графах и алгоритм ближайшего соседа для построения остовного дерева.

2. Основные теоретические положения

Подробно изложены в разделе 3.1 (см. с.56-59).

Задание 9

Построение различных видов ДНФ для булевых функций.

1. Цель работы

Овладеть навыками применения метода Квайна для построения сокращенных ДНФ.

2. Основные теоретические положения

Подробное изложение методов см. в разделе 3.2 (с.66-72).

<< | >>
Источник: Т.Д.Бессонова, Н.М.Петухова, В.В. Тарасенко. Математика ч.2: учебно-методический комплекс / сост. Т.Д.Бессонова, Н.М.Петухова, В.В. Тарасенко - СПб.: Изд-во CЗТУ,2008. – 158 с.. 2008

Еще по теме Контрольная работа №2:

  1. 2.3.3. Порядок вывода на печать результатов выполнения контрольных, лабораторных работ, курсовых и дипломных проектов
  2. 2.5. Основные результаты опытно-экспериментальной работы
  3. Раздел IV. Тематика контрольных работ по курсу «Философия» для студентов заочной и дистанционной форм обучения
  4. Глава 7 КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
  5. Структура работы
  6. Методические рекомендации по организации самостоятельной работы студентов
  7. Контрольная работа для студентов очной формы обучения
  8. Контрольная работа по дисциплине «Финансовый менеджмент»
  9. Контрольная работа по морфологии
  10. ЗАДАНИЯ НА КОНТРОЛЬНЫЕ РАБОТЫ И ОБЩИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ
  11. Методические рекомендации к выполнению контрольных работ для студентов заочного отделения