<<
>>

4.1. Методические указания к выполнению контрольных работ

Контрольные работы №1 и №2

Студенты всех специальностей разделены на три группы и выполняют задания двух контрольных работ в соответствии с таблицей, приведённой ниже (задания имеют сквозную нумерацию по обеим контрольным работам).

Группа № Специальности № Задания №
1 140211, 140101, 140104,150501, 190205, 200101, 220201 1 (интерполяция)

2 (корни уравнения)

5 (комплексные числа)

6 (производная ФКП)

7 (интегрирование ФКП)

8 (алгоритм Дейкстры)

9 (мат. логика)

2 080502, 150104, 151001, 150202, 190601, 140601, 200402, 200501, 210106, 210302, 210101, 220301, 230101, 280202 1 (интерполяция)

2 (корни уравнения)

3 (численное интегрирование)

4 (метод Эйлера)

5 (комплексные числа)

6 (производная ФКП)

7 (интегрирование ФКП)

3 190701*), 240401, 240301 5 (комплексные числа)

6 (производная ФКП)

7 (интегрирование ФКП)

8 (алгоритм Дейкстры)

9 (мат. логика)

*)Студенты специальности 190701 выполняют также два задания из УМК "Математика ч.2 Методы оптимизации". Номера заданий указывает преподаватель.

Варианты индивидуальных заданий

Задание 1. Осуществить интерполяцию с помощью полинома Ньютона исходных данных из табл.1 и вычислить значение интерполяционного полинома в точке . Номер варианта выбирается по последней цифре шифра. 10 точек берётся, если для решения задачи используется какой-либо математический пакет. При ручном счёте – выбрать первые четыре точки.

Таблица 1

colspan=2>Значение
Порядковый номер исходных данных
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1-й вариант
Х 1,415 1,420 1,425 1,430 1,435 1,440 1,445 1,450 1,455 1,460
У 0,888 0,889 0,890 0,891 0,892 0,893 0,894 0,895 0,896 0,897
Значение х1 = 1,416
2-й вариант
Х 0,101 0,106 0,111 0,116 0,121 0,126 0,131 0,136 0,141 0,146
У 1,261 1,276 1,291 1,306 1,321 1,336 1,352 1,367 1,383 1,399
Значение х1 = 0,113
3-й вариант
Х 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35 0,40 0,45 0,50 0,55 060
У 0,86 0,819 0,779 0,741 0,705 0,670 0,638 0,606 0,577 0,549
Значение х1 = 0,23
4-й вариант
Х 0,18 0,185 0,190 0,195 0,200 0,205 0,210 0,215 0,220 0,225
У 5,615 5,467 5,352 5,193 5,066 4.946 4,832 4,722 4,618 4,519
Значение х1 = 0,182
5-й вариант
Х 3,5 3,55 3,60 3,65 3,70 3,75 3,80 3,85 3,90 3,95
У 33,11 34,65 36,60 38,47 40,44 42,52 44,70 46,99 49,40 51,93
Значение х1 = 3,52
6-й вариант
Х 0,115 0,120 0,125 0,130 0,135 0,140 0,145 0,150 0,165 0,170
У 8,68 8,29 7,96 7,65 7,36 7,10 6,85 6,62 6,40 6,20
х1 = 0,122
7-й вариант
Х 1,340 1,345 1,350 1,355 1,360 1,365 1,370 1,375 1,380 1,385
У 4,26 4,35 4,46 4,56 4,67 4,79 4,91 5,01 5,18
Значение х1 = 1,352
8-й вариант
Х 0,15 0,16 0,17 0,18 0,19 0,20 0,21 0,22 0,23 0,24
У 4,48 4,95 5,47 5,99 6,05 6,68 6,909 7,38 8,166 9,025
Значение х1 = 0,153
9-й вариант
Х 0,45 0,46 0,47 0,48 0,49 0,50 0,51 0,52 0,53 0,54
У 20,19 19,61 18,94 18,17 17,30 16,31 15,19 13,94 12,55 10,99
Значение х1 = 0,455
10-й вариант
Х 0,01 0,06 0,11 0,16 0,21 0,26 0,31 0.36 0,41 0,46
У 0,99 0,95 0.91 0,88 0,84 0,81 0,78 0,74 0,71 0,68
Значение х1 = 0,014

Задание 2.

Уточнить значение корня на заданном интервале тремя итерациями и найти погрешность вычисления. Номер варианта выбирается по предпоследней цифре шифра из табл.2.

Таблица 2

Номер

варианта

Уравнение Интервал
0 2х3 - 5х2 + 4х - 9 = 0 [ 0;4 ]
1 3х3 - 10х2 +2х - 7 = 0 [ 0;4 ]
2 3х3 - 7х2 +2х - 5 = 0 [-1;3 ]
3 2х3 – 5х2 + 5х - 12 = 0 [ 0;4 ]
4 5х3 - 3х2 + 4х -12 = 0 [ 0;4 ]
5 2х3 - 5х2 +5х - 12 = 0 [ 2;6 ]
6 2х3 - 5х2 +4х - 11 = 0 [ 2;6 ]
7 2х3 - 7х 2 + 3х - 10 = 0 [ 0;4 ]
8 3х3 - 105х 2 + 2х - 7= 0 [ 2;6 ]
9 3х3 - 2х2 +5х - 3= 0 [ -2;2 ]

Задание 3. Методами прямоугольников, трапеций и Симпсона вычислить определённый интеграл. Номер варианта выбирается по предпоследней цифре шифра.

1) 2) 3) 4) 5)

6) 7) 8) 9) 10)

Задание 4.

Проинтегрировать уравнение методом Эйлера на интервале . Во всех вариантах начальное условие: . Вычисления выполнять с четырьмя десятичными знаками и шагом . Номер варианта выбирается по последней цифре шифра.

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

Задание 5. Данное задание состоит из двух задач. В первой из них требуется вычислить сумму (z1+z2) и разность (z1 - z2) комплексных чисел, а во второй ­– произведение z1z2 и частное z1/z2.

Вариант задания выбирается по последней цифре шифра.

Заданча 1. В задании 1-10, вычислить сумму (z1+z2) и разность (z1-z2) комплексных чисел, заданных в показательной форме, переведя их в алгебраическую форму; построить операнды и результаты на комплексной плоскости.

Заданча 2. В задании 11-20 вычислить произведение z1z2 и частное z1/z2 комплексных чисел, операнды и результаты изобразить на комплексной плоскости.

1. ; . 6.
; .
2. ; . 7. ; .
3. ; . 8. ; .
4. ; . 9. ; .
5. ; . 10. ; .
11. ; . 16. ; .
12. ; . 17.
; .
13. ; . 18. ; .
14. ; . 19. ; .
15. ; . 20. ; .

Задание 6. Вачислить производную функции в точке . Номер задания выбрать по предпоследней цифре шифра.

1. . 6.; .
2. . 7. .
3.
.
8.; .
4. . 9. .
5. border=0 class="lazyload" data-src="/files/uch_group46/uch_pgroup327/uch_uch1417/image/891.gif">. 0. .

Задание 7. Вычислить интеграл по замкнутым контурам а) и б), считая обход контура в положительном направлении. Нарисовать область интегрирования, указать на рисунке особые точки. Номер задания выбрать по последней цифре шифра.

31. ; а), б) .
32. ; а), б) .
33. ; а), б) .
34. ; а), б) .
35. ; а), б) .
36. ; а), б) .
37. ; а), б) .
38. ; а), б) .
39. ; а), б) .
40. ; а), б) .

Задание 8. 1. По заданной матрице весов построить граф и найти кратчайший путь между вершинами и , используя алгоритм Дейкстры.

2. С помощью алгоритма ближайшего соседа определить минимальное остовное дерево в рассматриваемом графе.

Вариант задания выбирается по последней цифре шифра:

1)

x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8
x1 0 15 23 8
x2 15 0 22 12
x3 22 0 16 13 20 17
x4 23 16 0 8 10 18
x5 8 12 13 8 0 25
x6 20 10 25 0 12 9
x7 17 12 0 16
x8 18 9 16 0

x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8
x1 0 5 4 12
x2 5 0 7 13
x3 4 7 0 9 6 25
x4 9 0 11 8 9
x5 13 11 0 15 6
x6 12 15 0 10
x7 6 8 10 0
x8 25 9 6 0

2)

x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8
x1 0 6 4 6 8
x2 6 0 4 13
x3 4 4 0 13 5 18 25
x4 13 13 0 10
x5 6 5 0 5 10
x6 8 5 0 12
x7 18 10 12 0 12
x8 25 10 12 0

3)

x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8
x1 0 10 6 7 11 21
x2 10 0 5 15
x3 6 5 0 11 19
x4 7 0 9 13 10
x5 11 9 0
x6 21 13 0 18 10
x7 15 11 10 18 0 4
x8 19 10 4 0

4)

5)

x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8
x1 0 3 2 8 6 15
x2 3 0 4
x3 2 4 0 3 6
x4 8 3 0 3 4
x5 6 0 3 2
x6 3 0 2
x7 15 3 2 0 6
x8 6 4 2 6 0

x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8
x1 0 5 4 6
x2 5 0 10
x3 0 4 6 5 7
x4 4 4 0 8 12 9
x5 6 8 0 4
x6 6 4 0 3
x7 5 12 3 0 5
x8 7 9 5 0

6)

x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8
x1 0 5 5 6
x2 5 0 7
x3 5 0 6 8 16
x4 7 0 3 6 9
x5 6 6 3 0 4
x6 8 6 4 0 4 6
x7 9 4 0 8
x8 16 6 8 0

7)

x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8
x1 0 4 6 21
x2 4 0 10 5
x3 6 0 9 5
x4 10 0 8 8
x5 9 0 6 4 6
x6 21 5 5 8 6 0 10 11
x7 4 10 0 5
x8 8 6 11 5 0

8)

9)

x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8
x1 0 10 11
x2 10 0 20 26 14
x3 11 20 0 16 25
x4 26 16 0 21 26 6
x5 14 21 0 4 28
x6 25 26 4 0 13
x7 6 28 0 15
x8 13 15 0

x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8
x1 0 8 14 13 16
x2 8 0 14 6
x3 14 0 5 8 10
x4 13 5 0 4 12
x5 16 14 0 8
x6 6 8 0 15
x7 4 8 0 9
x8 10 12 15 9 0

10)

Задание 9. Для исходной булевой функции, заданной таблицей найти сокращённую ДНФ методом Квайна.

Вариант задания выбирается по последней цифре шифра:

№ варианта 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
x y z Значения функции
0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 0
0 0 1 1 1 0 1 0 0 1 1 0 1
0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 1 1 0
0 1 1 0 1 1 1 0 0 1 0 0 0
1 0 0 0 0 1 0 1 1 0 0 0 1
1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 1 1
1 1 0 1 0 0 0 1 1 0 1 1 1
1 1 1 1 0 1 1 1 0 0 0 1 0

Контрольная работа №1

Задание 1

Интерполяция функций с равноотстоящими узлами.

1. Цель работы

Построение функциональной зависимости по экспериментальным данным.

2. Основные теоретические положения

2.1. Приближение функций одной переменной

Одной из наиболее важных проблем численного анализа является проблема приближенного описания неизвестной функциональной зависимости по известным ее значениям в некоторых точках, называемых узловыми.

2.2. Постановка задачи интерполяции

Задача интерполирования может быть сформулирована следующим образом.

Пусть на отрезке [a, b] заданы n + 1 точки х0, x1, … , xn, которые называются узлами интерполяции, и значения некоторой интерполируемой функции f (x) в этих точках, т. е.

y0 = f (x0); y1 = f (x1); … ; yn = f (xn).

Требуется построить интерполирующую зависимость F(x), которая в узлах интерполяции принимает те же значения, что и интерполируемая функция f (x), т.е.

F(x0) = f (x0) = y0 ,

. . . . . . . . . . . . .

F(xn) = f (xn) = yn.

Графически задача интерполирования заключается в том, чтобы построить такую интерполирующую функцию, которая бы проходила через все узлы интерполяции.

Чаще всего в качестве интерполирующей функции F(x) используются многочлены . Задача состоит в том, чтобы подобрать многочлен, обеспечивающий требуемую точность интерполяции e, т.е. удовлетворяющий условию

. (1)

Наиболее успешно для интерполяции используется многочлен Ньютона, в записи которого в случае интерполяции функции с равноотстоящими узлами используются конечные разности.

2.3. Конечные разности

Пусть для значений , где h – шаг интерполяции, известны значения функции

Определение: Конечной разностью первого порядка называется разность

(2)

Аналогично определяются конечные разности второго и более высокого порядка

(3)

Конечные разности при вычислении удобно записать в табл.1.

Таблица 1

i xi yi Dyi D2yi D 3yi D4 yi
0 x0 y0 Dy0 D2y0 D3y0 D4y0
1 x1 y1 Dy1 D2y1 D3y1
2 x2 y2 Dy2 D2y2
3 x3 y3 Dy3
4 x4 y4

Отметим, что число (порядок) конечных разностей всегда на единицу меньше числа узлов.

2.4. Интерполяционный полином Ньютона

Интерполяционный многочлен Ньютона для равноотстоящих узлов записывается в виде

(4)

или

. (5)

Можно показать, что оценка погрешности Rn(x) при замене f(x) полиномом Pn(x) имеет вид:

Rn(x)=. (6)

2.5. Решение задачи

Пример 1.

Закон движения некоторого объекта y = f(x) представлен в табл. 2 (x – время, y –путь).

Таблица 2

x 0 1 2 3 4 5 6
y 0 2 10 30 46 130 222

Требуется найти пройденный объектом путь к моменту x = 3,5.

○Для вычисления y = f(3,5) необходимо на основе табл.1 получить математическое описание функциональной зависимости y = f(x).

Если использовать критерий точного совпадения в узлах, то число определяемых параметров аппроксимирующей функции равно числу точек. При выборе такого критерия задача сводится к построению интерполяционных многочленов.

Заполним таблицу конечных разностей для экспериментальных данных, приведенных в табл.2. Вычисления удобно проводить с использованием табличного процессора Excel (табл.3).

Таблица 3.

Видим, что здесь шаг интерполяции h = 1. Степень полинома определяется числом (порядком) конечных разностей, т.е., по формуле (4) или (5) имеем:

.

Подставим наши данные и получим, что

Тогда путь , пройденный к моменту , составит величину

.●

Задание 2

Приближенное решение уравнений.

Отделение корней. Уточнение корней.

1. Цель работы

Ознакомиться с численными методами решения конечных уравнений.

2. Основные теоретические положения

2.1. Постановка задачи

В общем случае уравнение с одним неизвестным имеет вид

f(x)=0, (7)

где f (х) – заданная функция, определенная на отрезке [a,b]. Всякое число x (действительное или мнимое) на отрезке [a,b], обращающее уравнение в тождество:

f(x)є0 (8)

называется корнем уравнения или его решением.

Решение задачи приближенного определения корней уравнения состоит из двух этапов:

1) отделение корней, т.е. нахождение подинтервалов [a,b] на отрезке [a,b], которые содержат только один корень уравнения;

2) уточнение корней, т.е. непосредственное вычисление значений корней на найденных подинтервалах [a,b] с заданной точностью e.

2.2. Отделение корней

Графический способ отделения корней заключается в построении графика функции f(x) на отрезке [a,b]. Точка пересечения графика функции с осью абсцисс дает приближенное значение корня уравнения. Найденные таким образом приближенные значения корней позволяют выделить отрезки [a, b], на которых при необходимости можно выполнить уточнение корней (рис.1).

f(x)

x1 x2 x3

a1 b1 a2 b2 a3 b3 х

Рис. 1

При отделении действительных корней расчетным путем для непрерывных функций f(x) можно руководствоваться следующими соображениями:

если на концах отрезка [a,b] функция имеет разные знаки (f(a)?f(b)0, то между а и b имеется четное число корней или их совсем нет;

если f(a)? f(b)точка из отрезка , удовлетворяющая условию сходимости итерационного процесса (1)

. (11)

Обычно в качестве значения используют либо левый, либо правый конец отрезка .

Пример 1.

Уточнить корень уравнения на отрезке , сделав три шага по формуле Ньютона.

○Вычислим первую и вторую производные функции . Получим и .

Итерационное уравнение в нашем случае запишется так

,

или после приведения дробей к общему знаменателю в правой части последнего соотношения, получим более удобное для дальнейших вычислений уравнение

. (12)

В качестве начального приближения возьмём правый конец отрезка .

Проверяем условие сходимости (11)

.

Условие сходимости метода Ньютона для выполнено. Последовательно применяя соотношение (3), получим:

; ;

.

Уточнённое значение корня .

В качестве оценки абсолютной погрешности, полученного результата можно использовать величину .●

Задание 3

Приближенное интегрирование с заданным шагом

1. Цель работы

Изучение способов приближенного интегрирования

2. Основные теоретические положения

2.1. Постановка задачи

Пусть необходимо вычислить определенный интеграл

I = . (13)

Методы приближенного интегрирования основаны на использовании геометрической интерпретации значения определенного интеграла, как площади криволинейной трапеции, ограниченной осью абсцисс, прямыми x = a, x = b и кривой f (x) (рис.2).

f(x) f(x)

x 0 a b

Рис.2

Для вычисления интересующей нас площади (см. рис.3) разобьем область интегрирования на n равных частей точками:

x = a, x1, x2, ... , xi, xi+1, ... , x n = b. (14)

f(x) f(x) Рис.3

Ii

x

0 х= a хi xi+1 х= b

Тогда I = ,

где Ii = . (15)

Значит, для вычисления интеграла (13) необходимо вычислить n площадей фигур криволинейных трапеций (рис.3).

2.2. Интегрирование функций, полученных из экспериментальных данных

Как правило, в результате эксперимента получают дискретные данные, т.е. в узлах хi производят измерение значений некоторой функции yi, (см.работу 1).

Интегрирование дискретных данных включает в себя предварительную аппроксимацию или интерполяцию этих данных известной функцией с последующим ее интегрированием. В большинстве случаев не удается подобрать одну функцию для аппроксимации на всем интервале, поэтому область интегрирования разделяется на большое количество подинтервалов, на каждом из которых используется простая функция типа линейной, квадратической или кубической. После чего результаты аппроксимации для отдельных подинтервалов складываются вместе для получения полного интеграла.

Рассмотрим три простейших метода приближенного интегрирования.

2.3. Типы формул интегрирования

Наиболее часто при численном интегрировании используются метод прямоугольников, метод трапеций, интегрирование по Ромбергу, метод Симпсона и квадратура Гаусса. Каждый из этих методов является более точным, чем предыдущий, поскольку производит аппроксимацию данных более сложной кривой.

2.4. Метод прямоугольников

Согласно методу прямоугольников, область между точками разбиения интервала интегрирования [a,b] заменяется прямоугольником, высота которого соответствует координате Y одной из точек, а ширина равна расстоянию между точками. Значение интеграла определяется по следующей формуле:

I= . (16)

Такое приближение может показаться грубым, однако при малой ширине интервала и гладкой функции результаты получаются достаточно точными. Кроме того, такой метод очень просто реализовать, поскольку достаточно просто вычисляется площадь прямоугольника – перемножается значение Y в каждой точке на ширину интервала и результаты складываются.

2.5. Метод трапеций

Согласно этому методу, каждая пара соседних точек соединяется прямой линией, образуя последовательность трапеций.

Площадь трапеции равняется полусумме оснований, умноженной на высоту, которая в данном случае равна расстоянию между точками по оси Х. Интеграл равен сумме площадей всех трапеций.

I=. (17)

2.6. Метод Симпсона

Согласно правилу Симпсона, для аппроксимации данных используется уравнение параболы, построенной по трем точкам (правило 1/3) или по четырем точкам (правило 3/8).

(18)

I =. (19)

Пример 1.

Вычислить определенный интеграл

с помощью методов прямоугольников и трапеций с числом шагов, равным 5. Сравнить результаты вычислений двумя методами. (Истинное значение интеграла равно 3.208).

○Метод прямоугольников

Для удобства запишем значения функции в узлах в таблицу.

xi f(xi)

слева

f(xi)

справа

0

1

2

3

4

0

0.5

0.667

0.75

0.8

0.5

0.667

0.75

0.8

0.833

Σ 2.717 3.55

График подинтегральной функции выглядит следующим образом:

Значение интеграла (слева) просто равно сумме значений в узлах, т.к. шаг и равно 2.717, значение интеграла (справа) = 3.55.

Среднее значение интеграла равно (2.717+3.55)/2 = 3.1335.

Метод трапеций

Таблица значений получается, по сути дела, той же самой

xi f(xi)
0

1

2

3

4

5

0

0.5

0.667

0.75

0.8

0.833

И значение интеграла

Задание 4

Приближенное интегрирование дифференциальных уравнений 1 –го порядка методом Эйлера

Цель работы

Изучение метода Эйлера интегрирования дифференциальных уравнений 1 – го порядка.

Основные теоретические положения

Согласно методу Эйлера для решения дифференциального уравнения 1-го порядка

(20)

с начальным условием

(21)

(так называемая задача Коши) отрезок [a, b], на котором ищется решение задачи, разбивают на n частей с шагом h = (b – a) / n и находят значения

yk = y(xk) в точках xk = x0 + k?h (k = 0,1,..n). Очевидно, что при этом x0 = a, xn = b. Значения yk+1 определяется по формуле

, (22)

которая получается заменой производной на ее разностный аналог.

Погрешность вычислений на каждом шаге составляет

(23)

Пример 1.

Решить задачу Коши для обыкновенного дифференциального уравнения 1-го порядка методом Эйлера. Вычисления выполнять с четырьмя десятичными знаками на отрезке [0,2; 1,2] с шагом 0,1. Уравнение:

○Для численного решения заданного уравнения с начальным условием нам потребуется выполнить шагов. На каждом шаге надо вычислить значения и .

Первый шаг. (k = 0). Имеем:

. Вычислим

.

Тогда и, следовательно, по формуле (22)

.

Делаем следующий шаг.

Второй шаг. (k=1).

.

Вычислим .

Тогда и .

И так далее.

Для удобства, все вычисления удобно представить в виде таблицы

k xk yk y`k=f(xk, yk) h?yk yk+1
0 0,2 0,25 0,6513 0,0651 0,3151
1 0,3 0,3151 0,7784 0,0778 0,3929
2 0,4 0,3929 0,9316 0,0932 0,4861
3 0,5 0,4861 1,1160 0,1116 0,5977
4 0,6 0,5977 1,3371 0,1337 0,7314
5 0,7 0,7314 1,6019 0,1602 0,8916
6 0,8 0,8916 1,9184 0,1918 1,0835
7 0,9 1,0835 2,2962 0,2296 1,3131
8 1,0 1,3131 2,7466 0,2747 1,5878
9 1,1 1,5878 3,2829 0,3283 1,9161
10 1,2 1,9161 3,2912 0,3291

Таким образом, задача решена. ●

<< | >>
Источник: Т.Д.Бессонова, Н.М.Петухова, В.В. Тарасенко. Математика ч.2: учебно-методический комплекс / сост. Т.Д.Бессонова, Н.М.Петухова, В.В. Тарасенко - СПб.: Изд-во CЗТУ,2008. – 158 с.. 2008

Еще по теме 4.1. Методические указания к выполнению контрольных работ:

  1. Раздел IV. Тематика контрольных работ по курсу «Философия» для студентов заочной и дистанционной форм обучения
  2. ОБРАЗЕЦ ВЫПОЛНЕНИЯ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ
  3. Темы для выполнения контрольных работ для заочной формы обучения специальности 050301 – «Юриспруденция»
  4. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО ВЫПОЛНЕНИЮ КУРСОВОЙ РАБОТЫ
  5. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО ВЫПОЛНЕНИЮ КУРСОВЫХ РАБОТ
  6. Контрольная работа по дисциплине «Финансовый менеджмент»
  7. Номшиева И., Дондокова О, Цыренова А.. ФИНАНСОВЫЙ МЕНЕДЖМЕНТ. Программа курса и методические указания к выполнению контрольных заданий для студентов - заочников специальности 061100 «Менеджмент организации». Издательство ВСГТУ Улан-Удэ, 2004, 2004
  8. Методические указания к выполнению контрольных заданий.
  9. Агульник В.И.. Методические указания к выполнению контрольной работы по курсу высшей математики для студентов ускоренного заочного обучения., 0000
  10. ЗАДАНИЯ НА КОНТРОЛЬНЫЕ РАБОТЫ И ОБЩИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ
  11. 6. ИНФОРМАЦИОННО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ
  12. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ДЛЯ ПРЕПОДАВАТЕЛЕЙ
  13. Методические рекомендации к выполнению контрольных работ для студентов заочного отделения
  14. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ДЛЯ ПРЕПОДАВАТЕЛЕЙ
  15. Библиографический список
  16. 4.1. Методические указания к выполнению контрольных работ
  17. 4.2. Методические указания к выполнению лабораторных работ
  18. 4. Методические указания по изучению дисциплины.