Лабораторная работа № 6 Теорема Эйлера

Теорема Эйлера: Чтобы необходимо и достаточно, чтобы .

Частным случаем теоремы Эйлера является малая теорема Ферма.

Малая теорема Ферма: Для любого простого и любого , не делящегося на , справедливо сравнение: .

Пример 1. Найти остаток от деления 243¹³² на 34.

Решение. Имеем . Так как , то согласно теореме Эйлера: или . Тогда Следовательно, искомый остаток равен 13.

Пример 2. Девятая степень натурального числа оканчивается цифрой 7; найти это число.

Решение. Так как девятая степень числа оканчивается цифрой 7, то остаток от деления на 10 должен быть равен 7, т.е. справедливо сравнение: . (*)

Так как , то .

Задания для самостоятельной работы.

1. Найти остаток от деления 1) на 52. 2) на 360; 3) на 9; 4) на 13; 5) на 10; 6) на 102.

2. Доказать, что , если