Лабораторная работа № 10 Число решений сравнений второй степени.

Всякое сравнение второй степени с одним неизвестным, то есть сравнение вида , может быть приведено к сравнению вида ,где .

Рассмотрим сравнение по нечетному простому модулю p>2: , . Это сравнение либо не имеет решений, либо имеет два решения. В первом случае число a называют квадратичным невычетом, а во втором – квадратичным вычетом по модулю p.

Критерий Эйлера: Число a является квадратичным вычетом по модулю p тогда и только тогда, когда и квадратичным невычетом, если .

Определение 1: Пусть p – простое нечетное число, p>2. Символ Лежандра, обозначаемый через , определяется следующим образом

Пример 1: .

Пример 2:

Свойства символа Лежандра:

1. Если

2. .

3. .

4.

5.

6. (квадратичный закон взаимности для простых нечетных чисел).

Пример 3. Исследовать сравнение на разрешимость: .

Решение: Рассмотрим символ Лежандра

, следовательно сравнение неразрешимо.

Определение 2. Пусть p – нечетное, причем - его разложение на простые множители. Тогда для произвольного целого числа a, символ Якоби определяется следующим образом: - символы Лежандра.

В отличие от символа Лежандра, символ Якоби нельзя напрямую использовать для проверки разрешимости квадратичного сравнения. То есть, если задано сравнение , то равенство единице символа Якоби вовсе не означает, что данное сравнение разрешимо. Например, исследовать на разрешимость .

Решение: Выпишем символ Якоби ==

==, однако сравнение неразрешимо. Если же символ Якоби равен -1, то сравнение не имеет решений.

Задания для самостоятельной работы:

Исследовать сравнения на разрешимость и в случае разрешимости решить: