Лабораторная работа № 9 Сравнения - ой степени по составному модулю.

Рассмотрим сравнение вида

(1)

и пусть , где- простое число .

Теорема: Сравнение (1)

1. Равносильно системе сравнений

2. - число решений сравнения (1), где - число решений соответствующих сравнений системы.

Пример 1. Решить сравнение .

Решение: Данное сравнение равносильно системе и

. Решаем отдельно каждое сравнение (см. пример из лаб. раб. № 7). Сравнение имеет два решения . Сравнение имеет три решения , поэтому решаемое сравнение имеет решений. Чтобы найти эти 6 решений необходимо решить системы вида:

.

В нашем случае имеем 6 пар значений .

Но, так как , , то совокупность решений системы представится в форме . Таким образом, получим . Ответ: .

Теперь рассмотрим сравнение вида

, (2)

p - простое число.

Сравнение (2) можно свести к сравнению

. (3)

Действительно, всякое x, удовлетворяющее сравнению (2), должно удовлетворять и сравнению (3). Пусть - решение сравнения (3). Тогда . Подставим это значение x в сравнение . Получим . Раскладывая левую часть в ряд Тейлора ( за исключением первых двух слагаемых, все остальные содержат ), получим

,

или . (4)

В наиболее общем случае, когда не делится на , находим решение .

Пример 2. Решить сравнение .

Решение: Сравнение имеет одно решение . - не делится на 3. . Тогда .

.

Если в сравнении (4) , а правая часть на p не делится, то сравнение (2) неразрешимо. Если же правая часть делится на p, то сравнение (4) является тождественным, и ему будут удовлетворять все целые числа .

Задания для самостоятельной работы:

1.

2.

3.

4.

5.