1.3. Решение систем линейных уравнений (метод Крамера).

Рассмотрим систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными

(1.6)

Составим из коэффициентов при неизвестных и свободных членов три определителя и (1.7)

Решением системы называется совокупность чисел , которые, будучи подставлены вместо неизвестных в уравнения, обращают эти уравнения в тождества.

Совместная система называется определённой, если она имеет только одно решение, и неопределённой, если она имеет более одного решения.

Легко видеть, что второй и третий определители получаются из первого заменой столбца соответствующих индексу коэффициентов столбцом свободных членов. Правило Крамера решения системы линейных уравнений заключается в использовании соотношений ; (1.8) Отметим, что использовать их можно при ∆ ≠ 0. Это тот случай, когда система определена и совместна (т.е. имеет единственное решение). Если ∆ = 0, а хотя бы один из определителей ∆x, ∆y отличен от нуля ((∆x)2+(∆y)2 ≠ 0), то система несовместна (т.е. не имеет решений), а если D = ∆x = ∆у = 0, то система неопределена и имеет бесконечное множество решений.

Аналогично правило Крамера формулируется и для системы из трех (или n) линейных уравнений с тремя (или n) неизвестными.

(1.9) ? (1.8') (1.7')

А Dx, Dy, Dz получаются из D заменой столбца соответствующих коэффициентов столбцом свободных членов. Аналогично проводится и исследование системы (возможны те же три случая).

Если свободный член (правая часть) линейного уравнения равен нулю- уравнение называется однородным. Однородной называют и систему таких уравнений (система (1.9) при d1=d2=d3=0). При D 0 она имеет единственное решение (x=y=z=0), называемое тривиальным. Если же D=0, то система сводится либо к двум , либо к одному уравнению с тремя неизвестными. В этих случаях однородная система имеет бесконечное множество нетривиальных решений.

Если (1.6) сводится (при d1=d2=d3=0) к двум линейным уравнениям, решения системы можно найти по формулам:

(1.10)

где может принимать любые значения.

Контрольные вопросы.

1) Какой вид имеют формулы Крамера и в каком случае они применяются?

2) При каком условии система линейных уравнений имеет единственное решение?

3) При каком условии система n линейных однородных уравнений с n неизвестными имеет ненулевое решение?

Тест 2.

Решить с помощью определителей системы уравнений и указать верные ответы:

1)

1) а) ; б) ;

2)

2) а) ; б) .