1.3. Решение систем линейных уравнений (метод Крамера).
Рассмотрим систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными
(1.6)
Составим из коэффициентов при неизвестных и свободных членов три определителя 
и 
(1.7)
Решением системы называется совокупность чисел 
, которые, будучи подставлены вместо неизвестных в уравнения, обращают эти уравнения в тождества.
Совместная система называется определённой, если она имеет только одно решение, и неопределённой, если она имеет более одного решения.
Легко видеть, что второй и третий определители получаются из первого заменой столбца соответствующих индексу коэффициентов столбцом свободных членов. Правило Крамера решения системы линейных уравнений заключается в использовании соотношений 
; 
(1.8) Отметим, что использовать их можно при ∆ ≠ 0. Это тот случай, когда система определена и совместна (т.е. имеет единственное решение). Если ∆ = 0, а хотя бы один из определителей ∆x, ∆y отличен от нуля ((∆x)2+(∆y)2 ≠ 0), то система несовместна (т.е. не имеет решений), а если D = ∆x = ∆у = 0, то система неопределена и имеет бесконечное множество решений.
Аналогично правило Крамера формулируется и для системы из трех (или n) линейных уравнений с тремя (или n) неизвестными.
(1.9) ? 
(1.8') 
(1.7')
А Dx, Dy, Dz получаются из D заменой столбца соответствующих коэффициентов столбцом свободных членов. Аналогично проводится и исследование системы (возможны те же три случая).
Если свободный член (правая часть) линейного уравнения равен нулю- уравнение называется однородным. Однородной называют и систему таких уравнений (система (1.9) при d1=d2=d3=0). При D 
0 она имеет единственное решение (x=y=z=0), называемое тривиальным. Если же D=0, то система сводится либо к двум , либо к одному уравнению с тремя неизвестными. В этих случаях однородная система имеет бесконечное множество нетривиальных решений.
Если (1.6) сводится (при d1=d2=d3=0) к двум линейным уравнениям, решения системы можно найти по формулам:
(1.10)
где 
может принимать любые значения.
Контрольные вопросы.
1) Какой вид имеют формулы Крамера и в каком случае они применяются?
2) При каком условии система линейных уравнений имеет единственное решение?
3) При каком условии система n линейных однородных уравнений с n неизвестными имеет ненулевое решение?
Тест 2.
Решить с помощью определителей системы уравнений и указать верные ответы:
1) 
1) а) 
; б) 
;
2) 
2) а) 
; б) 
.
Еще по теме 1.3. Решение систем линейных уравнений (метод Крамера).:
- 1.2. Решение систем линейных уравнений методом Крамера
- § 1. Решение системы алгебраических уравнений. Правило Крамера- Метод Гаусса
- Матричный метод решения систем линейных уравнений.
- Решение произвольных систем линейных уравнений.
- Тема 4 Решение систем линейных уравнений.
- Свойства решений линейной однородной системы уравнений.
- 26. Метод сведения линейной системы к одному уравнению.
- 1.4. Решение системы линейных уравнений
- Решение краевой задачи для линейного дифференциального уравнения второго порядка методом прогонки
- Решение систем разностных уравнений операционным методом
- Общее решение линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка.
- Понятие системы линейных уравнений.
- Системы линейных уравнений.
- Решение линейного дифференциального уравнения n-ного порядка с постоянными коэффициентами
- § 65. Симплекс-метод решения задач линейного программирования, М-метод
- Исследование систем линейных уравнений. Теорема Кронекера-Капелли.
- Нормальные системы линейных однородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.
- 1.5. Исследование систем линейных уравнений
- Однородные системы линейных уравнений
- 4. Проекционные методыОбширный класс методов приближенного решения уравнений вида Аи = / использует следующий ПОДХОД: решение ищется В виде UN = = где коэффициенты а, определяются из условия равенства