<<
>>

1.3. Решение систем линейных уравнений (метод Крамера).

Рассмотрим систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными

(1.6)

Составим из коэффициентов при неизвестных и свободных членов три определителя и (1.7)

Решением системы называется совокупность чисел , которые, будучи подставлены вместо неизвестных в уравнения, обращают эти уравнения в тождества.

Система уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если не имеет ни одного решения.

Совместная система называется определённой, если она имеет только одно решение, и неопределённой, если она имеет более одного решения.

Легко видеть, что второй и третий определители получаются из первого заменой столбца соответствующих индексу коэффициентов столбцом свободных членов. Правило Крамера решения системы линейных уравнений заключается в использовании соотношений ; (1.8) Отметим, что использовать их можно при ∆ ≠ 0. Это тот случай, когда система определена и совместна (т.е. имеет единственное решение). Если ∆ = 0, а хотя бы один из определителей ∆x, ∆y отличен от нуля ((∆x)2+(∆y)2 ≠ 0), то система несовместна (т.е. не имеет решений), а если D = ∆x = ∆у = 0, то система неопределена и имеет бесконечное множество решений.

Аналогично правило Крамера формулируется и для системы из трех (или n) линейных уравнений с тремя (или n) неизвестными.

(1.9) ? (1.8') (1.7')

А Dx, Dy, Dz получаются из D заменой столбца соответствующих коэффициентов столбцом свободных членов. Аналогично проводится и исследование системы (возможны те же три случая).

Если свободный член (правая часть) линейного уравнения равен нулю- уравнение называется однородным. Однородной называют и систему таких уравнений (система (1.9) при d1=d2=d3=0). При D 0 она имеет единственное решение (x=y=z=0), называемое тривиальным. Если же D=0, то система сводится либо к двум , либо к одному уравнению с тремя неизвестными. В этих случаях однородная система имеет бесконечное множество нетривиальных решений.

Если (1.6) сводится (при d1=d2=d3=0) к двум линейным уравнениям, решения системы можно найти по формулам:

(1.10)

где может принимать любые значения.

Контрольные вопросы.

1) Какой вид имеют формулы Крамера и в каком случае они применяются?

2) При каком условии система линейных уравнений имеет единственное решение?

3) При каком условии система n линейных однородных уравнений с n неизвестными имеет ненулевое решение?

Тест 2.

Решить с помощью определителей системы уравнений и указать верные ответы:

1)

1) а) ; б) ;

2)

2) а) ; б) .

<< | >>
Источник: Гофман В.Г., Брусник Н.А., Семёнова С.В.. Высшая математика. Учебное пособие для студентов технологических и механических специальностей, всех форм обучения. Часть 1. - МГУТУ, 2004г.. 2004

Еще по теме 1.3. Решение систем линейных уравнений (метод Крамера).:

  1. § 1. Решение системы алгебраических уравнений. Правило Крамера- Метод Гаусса
  2. Содержание часть 1
  3. Вопросы для самопроверки.
  4. Содержание
  5. 1.3. Решение систем линейных уравнений (метод Крамера).
  6. Матричный метод решения систем линейных уравнений.
  7. Метод Крамера.
  8. Решение произвольных систем линейных уравнений.
  9. 6.7. Решение систем показательных и логарифмических уравнений
  10. РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
  11. 3. РЕШЕНИЕ СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
  12. Тема 4 Решение систем линейных уравнений.
  13. Тема 5 Решение систем нелинейных уравнений (СНУ).
  14. Решение систем разностных уравнений операционным методом
  15. Содержание
  16. 1.2. Решение систем линейных уравнений методом Крамера
  17. Нахождение обратной матрицы методом Крамера
  18. 1.4. Решение системы линейных уравнений
  19. 1.5. Исследование систем линейных уравнений
  20. Исследование систем линейных уравнений. Теорема Кронекера-Капелли.