<<
>>

§ 1. Решение системы алгебраических уравнений. Правило Крамера- Метод Гаусса

1, Два уравнения с двумя неизвестными. Рассмотрим систему двух уравнений с двумя неизвестными

(1)

Лцач 4- (112Х4 =

і

/121X] -І- ПтіХ'1 - Ьг,

(каждое из уравнений представляет прямую на плоскости Ояія^).

X\t Х2 — неизвестные, afiV} bp — заданы; ajLll — называются коэффициентами системы, Ьц — свободными членами, Зуд ем решать систему (J) методом исключения неизвестных.

Умножив первое уравнение на 022, а второе - на ац и произведя ш читан не, получим:

(2)

(ацааи - аігааО^і = haan"" Mia-

на fin и вычитая,

{3J

Л** — &1.ЙИ ~ МІ2р

Аналогично, умножая первое іїа , я второе - имееіи

Щ\йп - aiaflaiJaJa = Mil - Mai

Введём обозначения; Д = ацодг - оізвяь — ha>22 Ае: = Міі — тогда уравнения (2) и (3) принимают аид

Д = Д

(4)

Д-ага —

Выражения для Л. ДХ2 называются определителями второго

порядка. Символически определитель второго порядка записывается в виде

' an а 12

— ацаэз — fliacsi — Д.

Й21

Числа allv — номер строки, v — номер столбца) называются элементами определителя. Элементы йц, а^ образуют (или лежат) главную диагональ, Gis, &2\ ~ побочную диагональ. Таким образом, определитель второго порядка равен разности между произведениями элементов, лежащих на главной и побочной диагоналях. Определитель ДЇ1 получается из Д (Д — называется определителем систе- мы) путем замены злємєнтое* первого столбца свободными членами системы; ^

— Ьіазз — ЬЇ^ІЇ = Лц

02 0>22

Aria логично получается определитель

— Ьча ц — Ьуй2і — Д

Оц Ь} flat Ьг

При решении системы уравнений (!) возможны три случая, I. Определитель системы А не равен пулю. Тогда система имеет единственное решение, определяемое формулами Крамера:

(5)

XI -

(прямые (1) пересекаются, формулы (5) определяют Е<оординаты точки пересечения),

Определитель системы Д равен нулю (т.е.

коэффициенты при неизвестных пропорциональны)- Если при этом хотя бы один из опре делителей и ДЯа не равен нулю (т. е. свободные члены не пропорциональны коэффициентам при неизвестных) h то система (1) решений не имеет — система несовместима (прямые (I) параллельны).

Если Д = О, АХ1 = 0, Afrj = 0 (т.е. и коэффициенты, и свободные члены пропорциональны), тогда одно уравнение есть следствие другого; система сводится к одному уравнению с двумя неизвестными и имеет бесчисленное множество решений (прямые (!) совпадают) В частности, если bi = Ь2 — О, то система (I) имеет вид:

Оції -Ъ аізіз ~ dfll^l Н" СІ223Г2 = О

и называется однородной. Она имеет одно (тривиальное) решение а: і = Х2 — 0 при Д ~ а} 10,22 — ф а при А — 0 эта система имеет

бесконечное множество решений = — —О.ЦІ ("ОО < t <

< оо) отличны* от нулевого решения при t Ф 0 {прямые проходят через начало координат и либо различны, либо совпадают).

Пример 1. Решить системы уравнений:

{х\

2л — Зу = 6j 4х — 6у = 5;

- - 1, \/3 —3^2 = \/3 .

1)

2) л

3)

ЗнТ — 5у ** 13j 7у = 81;

Решение, 1) Здесь

3 13 я

13 -5

озн

д =

л 31, д^

об, Дщ

= 217.

3 -5

ля

то

Система имеет единственное решение: а: = ^ =¦ Іб} у = ^ — 7.

В этом случае Д — 0, но лри этом Дх = -2] ф 0. Коэффициенты пропорциональны^ а свободные члены не подчинены той же пропорции. Система не имеет решения.

Так как Д — Ахх ~ АХ2 =0, то одно из уравнений есть следствие другого (например, второе получается из первого умножением на \/3) Система сводится к одному уравнению и имеет бесчисленное множество решений, каждое из которых вычисляется по формуле:

Xi — 1 -ь ,

где числовые значения я? задаются произвольно и вычисляются соответствующие значения а?!-

2. Два уравнения с тремя неизвестными. Рассмотрим систему двух уравнений с тремя неизвестными

Оця + й] 2У + ^із^ =

ОщХ + О ііУ + Л&Х =

Возможны следующие три случая.

1. Если из трёх определителей ; <ЇІ2 Й1Э , Да - an аіз і Дз - an ай GJ3 0-21 as і Л22 Ді «

хотя бы один не равен нулю (т.е. коэффициенты при неизвестных не пропорциональны), то система имеет бесчисленное множества ре-шений, причём одному из неизвестных можно дать любое значение, Пусть, например, отличен от Егуля определитель Дз, тогда неизвестному z можно придать любое значение (если Ф 0. то ху если Д^ Ф 0, то у), а исходную систему можно переписать в виде

+ Д12Ї/ — ii — лиг, aj\х 4- а22У = Ьа — ацг.

Отсюда неизвестные х и у определяются по формулам Крамера.

2 Все определители Ді, Дз, Дз равны нулю, но один из определителей Gil h ai2 Ьі аіз Ьі ЙЙ1 h і аз 2 Ьъ і азз ь2

ле равен нулю. В этом случае система несовместна (т.е< коэффициенты при неизвестных пропорциональны, но свободные члены не подчиняются той же пропорции).

3. Все выписанные определители равны нулю (все коэффициенты одного уравнения пропорциональны соответствующим коэффициентам другого уравнения). В этом случае одно уравнение есть следствии другого, и тотлю имеет бесчислезное множество рещен ий, причем

двум из неизвестных можно придать любое значение, а третье найти из уравнения.

Замечание. Определители Дх, Дз, Да получаются при помощи поочерёдного вычеркивания столбцов таблицы

(

&1? «12 Q.13 0-1] Q>22 023

а)

Пример 2. Решить следующие системы уравнений. х — у + 2z — 2,5,

їх + 2ї/-4г = 1,

Здесь Л} — Oj Д^ —8, Aj = 4Ч Система имеет бесчисленное множество решений. Любое значение можно придать одному из неизвестных z или уу так как Дз Ф 0, и Д^ ф 0. Неизвестному % любое значение придать нельзя, так как Ді — 0, Решаем систему относительно яг и у

{

Я - у — 2,5 - 2х + 2 у = 1 + 4*.

Отсюда Д = 4,

2,5-2г 1 + Az 2

Д* д

1 4

- 2z — 1.

д- = 4

I 1 2,5 - 2г 2 1 + 4 z

б)

За; -2у + * = 4, Эх - Су + Зг 1. Система не имеет решения, так как Д] =¦ Дд = Дз — 0, а определи-

гель, например, Ли Ьі 3 4 азі Ьі 9 1 - 3 - 3G = -33 ф О,

3)

х + + Зг = 15, 2а; + 4з/ + бг = 30.

Коэффициенты при неизвестных и свободные члены пропорциональны, Система сводится к одному уравнению.

Любой паре неизвестных (пусть х и у) можно дать произвольное значение, тогда

д л^зЗнаКог

4. Рассмотрим частный случай исходной системы. Пусть = Ьз ~ — О, тогда получим

X + Л22У + * — 0.

Эта система называется однородной, причём она всегда совместна, так как іе = у = z — 0 есть решение. Поэтому возможны два случая-

а) Хотя бы один из определителей Дц Дз, Дз не равен нулю. Пусть, например, Дз ^ 0, Тогда исходную систему перепишем в ниде

X , у

out + = —aja,

я і У Й21 — 4- «22 - = — ^23-

Я

Решая эту систему относительно - н - имеем: - — - ~ —г^, или

J J z 2. , г Д * Д

л; — Д^і, у = — ijjt, где сбозначєЕїО t = —. ' Учитывая, что

Дх =

— +Я12О23 — Лізазз ~ •t="

= Ді,

a\2 аіз

А «. ви "віз

* СІ21 — Лзз

= -аца2з + — «13^21 — вц^зз —

«11 &13

— Д = Д;

получим решение системы в виде х = Д^і, у « —Дэ^, г = где

параметр t — произвольное число (—оо < і < оо).

б) Все определители Ді, Дз равны нулю» следовательно, все коэффициенты одного уравнения пропорциональны соответствующим коэффициентам другого уравнения. Систему сводится к одному уравнению. Любой ларе неизвестных можно придать произвольное значение* а третье неизвестное выражается через эту пару. Пример 3. Решить системы уравнений.

f Зх - 2у + 3z = О, | х + 2у = 0.

/ 3 -2 5 \

Решение, Выпишем таблицу і ^ ^ З / 1 L = — |

А2 —14, Дз — 8, а х = —41, у = 141, z = 8t или обозначим А: — 21, окончательно ольк о -ПЯ 4М Придавая одному лЮ-

бому не известному произвольное значение, например х — -2, найдём к = 1. Значит у = 7, г ~ 4.

Зх -%у + z = О, бх — iy 'Таблица имеет вид { ~ ~ " К отсюда Ді = -2, Да = 3. Дз =

(3 м

V 6 -4 3 у

J J с {

— О, а х = 2t, у — —Зі, Z = 0, или х = 2к, у — Зк, z ~ 0П (к = -і). Произвольное значение можно дать одному из неизвестных х иди у, но не неизвестному г. Последнее может равняться только нулю (Д^ — 0),

в)

ах — у 4- z = О, я 4- у -Ь az — 0.

Составим таблицу ^ ^ ^ ; Ді = -(1 + а), тогда при d /

7^—1: х = —(1 у — (1 — a2)t, г — (1 4- a)t Если а = то Ді =

= Да — = 0 и мы получаем одно уравнение.

Произвольные значения можно дать любой паре неизвестных Например х и у — какие угодно, a z = х + у.

3. Три уравнения с тремя неизвестными. Рассмотрим систему трёх уравнений с тремя неизвестными

аця?! 4- апхъ 4-аізЯз =

a2lXl + 0.22X2 (6)

пзі^Ї + V32X2 4-азэ.тз =

Решая эту систему методам исключения неизвестных, аналогично тому, как это делалось при решении системы двух уравнений с двумя неизвестными, получим, что её решение можно представить в виде

Д - і] - Д1П Д'д;^ ДГїІ Д-хз=Д1а.

Выражения для А, ДТ1, представляют собой алгебраическую

сумму шести произзедений по 3 сомножителя и называются определителями третьего порядка

<зіі Ліз

0,21 агз am а32 азз

Л =

= вцо^аозз 4 +

4 (1210,32013 — + ацйїіазз 4 апяздязэ). (7)

Определитель ДЯ], получается из Д заменой элементов первого столбца свободными членами. Аналогично для Дїч — заменой второго, а для — третьего столбца свободными членами. Первые три слагаемые в (7), взятые со знаком плюс, получаются

следующим обр азом (см . рис. 1 ):

Электронная версия книги подготовлена для открытой библиотеки учебников

і j Решение системы алгебраических уравнений 19

виадозз есть Произведение элементов, стоящих на главной диагонали;

дна множители аі^адозі и одаз^зд взяты, как показано на рисунке слева.

+ - Рис. I

Слагаемые, взятые r (7) со знаком минус, образуются аналогично, только за основу берётся побочная диагональ (см. рисунок справа). Это правило иногда называют правилом треугольника.

Замечание. Составим таблицу» которая получается приписыванием к определителю двух первых столбцов.

Произведение элементов, стоящих, на главной диагонали определителя, а также произведения стоящие на двух параллельных к ней содержащих по три элемента, возьмём со знаком плюс. Произведение элементов, стоящих на побочной диагонали и двух параллельных к ней содержащих по три элемента, возьмём со знаком минус. Алгебраическая сумма, этих шести произведений даёт определитель третьего порядка.

Аналогично можно приписать к определителю две строчки и, проведя те же действия, также получим определитель третьего порядка.

Пример 4. Вычислить определитель третьего порядка 1 2 3

Д= 4 5 6 7 8 9

Решение. Д= 1-5-9 + 2-6-7 + 3-4-8 - (3 -5-7-1-2 -4-9 + + 1 • 6 • 8) = 225 - 225 = 0.

При решении системы (6) возможны три случая.

1. Определитель системы не равен нулю, т.е. Д Л0. Система имеет

единственное решение, определяемое формулами Крамера:

20

f Гл.-l .

Определитель системы равен нулю, т.,е. Д = 0. Вели при этом ^отя бы один из определителей Д3г, Д^, ДЛз, не равен нулю, то Смстема (6) решений не имеет (система несовместна).

Если Л = 0, AXl - 0, = О, Д*- = 0, то система имеет бесчисленное множество решений.

Пример 5, Решить системы уравнений:

х 4- 2у - 4с = 1,

2* +

х- у- z — -2;

Г x + 2y + z = 4, а) < 3x~by-\-3z~ 1, б) ( 2х + 7у - г = 8;

Г 2х - у + ^ = -2, в) ^ а + -1,

[ х - iy — 2z — 3.

Решение, а) Находим определители 1 2 1 4 2 1 д = 3 -5 3 А*- 1 -5 3 2 7 8 7 -1 \ 4 1 1 2 4 3 і 3 ^33, Л,- 3 -5 1 2 8 -1 2 7 8 = 33t

= 33.

FT одета Б л ян Д — Дх = Дц — Дг — 33 в формулу (S), получим х — у ™ = * - 1,

б) Вычисляя определители, получим Д = Дх = Ду = Дs = 0. Сле-довательно, система имеет бесчисленное множество решений. Она сводится к тем двум уравнениям, у которых из коэффициентов при неизвестных можно составить хотя бы один, не равный нулю, определитель нторого порядка. Если все такие определители 2-го порядка равны нулю, то система сводится к одному уравнению, в котором любым двум неизвестным можно давать произвольные значении, а третье неизвестное находить из этого уравнения. В нашем примере можно взять любые два уравнения. Возьмём, например, первое я третье,

x+2y-Az = 1, х — у — z = — 2

(если сложить первое уравнение с третьим, то получится второе). Так как определитель второго порядка Д'. составленный из коэффициентов при х и у

Д' =

=

1 2 1

не равен нулю, то оставляем неизвестные х н у в левой части, а неизвестное z перенесём в правую часть уравнений;

Электронная версия книги подготовлена для открытой библиотеки учебников

Для этой системы определитесь Л' ф ti, поэтому а; и у могут быть найдсшы по формулам Крамера:

Л - Иг -3 1

у = « z* ~ У Д'

X ~

Таким образом, о: — 2z — 1, y=z? I. где z задаётся произвольно (см. также пункт 2).

н) Вычисляя определители, получим, что система решений не имеет, так пак Д ^ 0, л Л* — —20 ф О (Дт; и Д- ист по об холи мости вычислять),

<1. С а о ист на определителей,

I Величина определителя не изменится, сслн все его строки заманить столбцами с теми же номерами

«11 «13

«21 «1г2 «23 азі «32 «33

«Іі «21 «31 am а у > ащ « із вжі

Перестановка диух строк или дцух столбцов определителя равносильна умножению его на минус единицу,

Ум ножсп ие всех элементов одной строки ИЛИ ОДНОГО столбца Н?1 любое число к равносильно умножению определителя на это число к.

Если определитель имеет два одинаковых столбца илн одинаковые строки, то он равен нулю.

Если все элементы некоторого столбца или некоторой строки равны нулю, то определитель равен нулю.

Если соответствующие элементы двух столбцов или двух строк определителя пропорциональна то определитель равен нулю.

Если к элементам некоторого столбца {или некоторой строки) прибавить соответствующие элементы другого столбца (или строки), умноженные на ліобой общий множитель, то величина определителя при атом не изменится. Например,

«п

«31

азі

«із а» «за

«и

«23 «ЗЇ

ац 4- tn ' «із «13 «із ftfll+m - лаз «23 «аз ал Н* ш ¦ «зз а за 133

8. Дальнейшие свойства определителя связаны с понятиями алгеб-раического дополнения и микорз. Минором элемента aflv называется определитель, получаемый из даігиого путём вычёркивания /і-ой строки и f-ro стол&ца, на пересечении которых расположен этот элемент. Алгебраическое дополнение любого элемента определителя равняется минору этого элемента, взятого со своим знаком, если сумма номеров строки гt столбца, на пересечении которых он расположен, есть число чётное, и с обрат чым знаком — если это число нечётное.

Алгебраические дополнения будем обозначать большими буквами того же няимелотзния и теми же индексами, что н букву, которой обозначен сам ОЛЬК )

Пример 6. Найти алгебраические дополнения элементов определителя (7): an* am а32-

Решен не Найдём минор элемента а ц. Так как элемент аи расположен на пересечении первой строки и первого столбца, то вычёркиваем первую строку и первый столбец. В результате получаем минор элемента an Алгебраическое дополнение элемента an разно минору, так как сумма номеров строки и столбца число четное (1+1в2), Итак, алгебраическое дополнение элемента пц равно:

Ли =

аті

а33

Л'П - + I an a13 , Агъ = - «11 Лїі j «31 ааз Аналогично находим Л12, Азіаті 023 aji 033

Теорема. Определитель равен сумме произведений элементов ка-кой-либо строки (какого-либо столбца) на их алгебраические дополнения (разложение ло элементах строк к (столбца)).

В частности, для определителя третьего порядка имеем:

Д — ацДіі + ai2-4i2 аіз/із» Д — ацАи + «21^21 + азіЛзь А = «21А21 + 0,22^-22 + Д — а 12Л12 + ^22-^22 + ЯЗэЛзЭт

Д = аз^Лді + Дзэ^зз, А — а^зЛіз + агз-Айз + Дзз^зз-

Пример 7, Вычислить определитель

3-2 1 Д = -2 1 3 2 0-2

Решение. Разложимг например, по элементам третьей строки

—2 1 1 3

Л = 2-

3 1 3 -2

-2 3: -2 1

- 2 (-7) - 2 (-1) = -14-І- 2 = —12.

5. Однородная система трех уравнений с тремя неизвестными.

Рассмотрим систему уравнений

ацаг -3- ai2у + Ліз* = О,

ааіар + оззу + =0,

азія: + а32У + clwz = 0.

Эта система есть частный случай системы (6). Её отличительная особенность в том, что она совместна, так как х — у — z = 0 есть решение. Если определитель системы не равен нулю, то зто решение является единственным. Если же Д^О, то систем имеет бе с численное

множество решений. В этом случае либо одно её уравнение является следствием двух других, либо два уравнения суть следствия третьего. Тогда одно уравнение можно отбросить и получаем однородную систему двух уравнении с тремя неизвестными, рассмотренную выше в пункте 2. Вели хотя бы один из определителей Ль Д^, Дз, (см. п. 2) не равен нулю, то в этом случае решение определяется формулами х = = Ait, у — — Даі, z — Нетрудно убедиться» что в случае А = 0 все эти числа удовлетворяют и третьему отброшенному уравнению. Дей-ствительно, подставляя их вместо неизвестных в левую часть третьего уравнения находим;

йзія: 4- у + аы* = (^aiAi - п^Да 4 л^Дз) t = Д -1 = О, так как Л = 0.

Если же все Alt Д^з Дз равны нулю, то система сводится к одному уравнению.

Пример 8, Найти все решения систем уравнений: Г 2х + у — z = 0, ( х — у - z ~

a) J ж + 2у + 2 = 0, б) } х + 4у 4 2г = О,

[ - у 4 3z = 0; [ S® Ч- 7у 4 = 0.

а) Так как ОЕфсделитель системы Д ss 18 и не равен нулю, то система имеет единственное решение л; = у = z = 0.

б) Определитель системы Д = 0, a Ai = 2, А2 = 3, Да = 5. Если из третьего уравнения вычесть второе умноженное на два, то получим первое уравнение. Система имеет бесчисленное множество решений, каждое из которых может быть вычислено по формулам х ^ А у — sc -Дзї, z = A^t к равны х = 21, у —3ih z = 51, где значение t задаётся произвольно и вычисляются соответствующие значения х, у,

-w

б. Понятие об определителе п-го порядка. При решении системы двух уравнений с двумя неизвестными и системы трёх уравнений с тремя неизвестными мы пришли к понятию определителя 2-го и 3-го порядка соответственно, Аналогично при решении системы п урав-нений с п неизвестными мы приходим к понятию определителя п-го порядка. Решим систему

' я 11^1 +«1 '.' J ¦¦ 4 tlinXn = і і, йцлїі 4 аай^г 4 , ¦ ¦ f aanan — t>2s

і

которая имеет о иравнени й с п неизвестными,

24 Элементы линейной алгебры \ Пг,

1, Если определитель п-го порядка

<*п а2\

<312 «із

а2ч а аз

&2л

а

Оті 1 &п2

не равен нулю, то система имеет единственное решение, определяемое формулами Крамера

Дла

=

Д

Хз =

ЛЦ =

ХП — л h

где — определитель, полученный из Л заменой первого столбца столбцом из свободных членов системы; аналогично получаются определите л н Ах,,, ДЯі1... t АХп,

Если Д = 0, а среди определителей ДХ1, Дк>, . есть не равный нулю, то система не имеет решений.

При Д -- Дг. — АХг-= — = АХп — 0 требуется дополнительное исследование и мы его не рассматриваем (см. §2, п. 6).

Укажем некоторые свойства определителей п-го порядка,

а) определитель п-го порядка задаётся квадратной таблицей чисел, имеющей л строк и п столбцов;

б) минором любого элемента определителя п-го порядка называется определитель порядка ті — 1, полученный из данного путём вычёркивания строки и столбцат на пересечении которых расположен этот элемент, Алгебраическое дополнение некоторого элемента определителя есть минор этого элемента, взятый со своим знаком, если сумма но-меров строки н столбца, на пересечении которых расположен элемент, есть число чётное, и с обратным знаком, если это число нечётное;

в) определитель равен сумме произведений элементов какой-нибудь строки (или столбца) на их алгебраические дополнения Тем самым вычисление определителя п-го порядка сводится к вычислению п определителей (п — 1)-го порядка.

г) свойства 1-7, изложенные в пункте 4, относятся к определителям любого порядка.

Пример 9. Вычислить определитель 4-го порядка е 2 1 0 2 3 4 2 1 -1 2 1 3 0 -5

Решение, Чтобы вычислить этот определитель, нужно выбрать строку (или столбец), по которой будем вести разложение. Желательно, чтобы там были нули и единицы, причём, основываясь на свойстве 7 пункта 4, нужно в выбранной строке создать новые нули. Выбираем, напри мор, тр етнО я опбец, Чтобы создать нул ь на месте

элемента I, сложим элементы первой строки и третьей. Первая строка принимает вид

3 3 0 2.

Чтобы создать а третьем столбце нуль на месте элемента —3. прибавим к элементам нторой строки элементы третьей, умноженные на —3. Вторая строка примет вид

-4 0 0 -2.

Теперь, разлагая по элементам третьего столбца, получим

8 3 2 -4 О -2 2 3 -5

6 0 7 —4 0 -2 2 3-5

3 3 0 2

Л =

-4 0 0 -2

2 1-12

2 3 0 -5

= 4-3)

= 48-

6 7 -4 -2

В определителе третьего псрплка для того, чтобы в первой строке на месте элемента 3 создать ноль, мы вычли из элементов первой строки элементы третьей строки.

Замечание. Можно было бы исходный определитель вычислить, разложив его, например, по элементам четвёртой строки (пли первой строки, или третьего столбца, или четвёртого столбца).

2 1 О 3-3 4 1 -1 1

6 1 О 2-3 4 2 -1 2

б 2 1 2 3-3

2 1

6 2 1 О

« -2

4-3

2 3-34

2 1-12

2 3 0 -5

= 12 - 24 + 60 = 43.

Если вычислять этот определитель, расписав его по третьему столбцу, не создавая нули, то 2 3 4 6 2 0 2 1 2 2 1 2 2 3 —5 2 3 —5 б 2 1

2 3-3

2 1 -1

2 3 0

О 4 2

-5

-1

6 2 0 2 3 4

д в - 1 с

+ НЇ толвыс

48.

= 36 + 3(—3S) -f (-!)(—126)

знао м ения

26 1 Элементы линейной алгебры

Пример 10. Решить систему уравнений

з?1 4- хг + 4- = 1, Зх] хз - — 2»4 = —4, 2xz + Ззг^ - Хз —Х4 — -?>, асі + 2x2 + 3s д - Х4 ~ -4.

Решение. Вычисляя определители, получим Д = —153, ДХ1 — — 153, Дя= = 153, Дія -- О, Л^ = ™ 153. Тогда, її — х^ = -Т, хз = О,

24 17. Метод Гаусса. Решим эту систему уравнений другим методом. Первое уравнение системы оставим без изменения, а из остальных трех у раз пений исключим хі- Для этого первое уравнение, умноженное на 3 и 2, вычтем из ьторого и третьего соответственно, далее из четвёртого уравнения вычтем первое, и результате получим

<

( Xi -f х2 + 2х3 + За: j = 1, —4X2 - ~ ~ -7, Х2 -5а;з — 7х+ — -8,

Мы получили систему уравнений, в которой первое уравнение содержит все неизвестные, а в остальных нет неизвестного х\. Так называемый первый шаг метода закончен. Теперь первое и второе уравнения оставим без изменения, а из третьего и четвертого уравнений исключим Х2¦ Для этого нужно второе уравнение умножить на 1/4 и результат сложить с третьим и четвёртым:

( XI + Х2 2X2 + 3X4 - 1, г - 7xti - 1 ІХ4 = 27 39 39 ТХз~ — ХА —

л 4 3 27 27 = 4

f XI +х2 +2хг + Зх4 = 1, + 7*3 + = Эагз Ы = 13, S3 + fel = 0.

Второй шаг метода закончен. Исключим из четвёртого уравнения неиз-вестной ха, для этого третье умножим на 1/9 и результат вычтем из

четвёртого уравнения, получим

<

( т,г -f - Х'і + 2хз 4- = 1, 4x2 4 fe 4 Их* = 7, ¦ 9х3 + ЗЗдгд = 13,

68 ЄЄ

Третий шаг метода закончен и закончен так называемый прямой ход метода. Обратным ходом получаем = 1; Etas 4- 13 - 1 « 13, хз 0; 4Х2 4-7-0 4- 1J • 1 = 7, ха = -1; - 1 + 2 • 0 4- З 1 = 1, a?i = -I. Метод, которым мы решаем систему, называется методом Гаусса Отметим, что в ходе применения метода Гаусса может встретиться уравнение вида 0- її + 0 - Хг 4-0-із + 4-0 ¦ ї* = b> При Ьф 0 система несовместна, тан как этому уравнению не удовлетворяют никакие значения неизвестных, при Ь -- 0 уравнение является тождеством и ему удовлетворяют любые значения неизвестных. Это уравнение (тождество) можно удалить иэ системы, Рассмотрим несколько примеров.

Пример II. Решить систему уравнений методом Гаусса f ЗХІ 4- 7хъ - 2хз. + - 3, —Зті — 2x2 + — Ах^ = 11, 5хі 4- 5яа — Зхз h 2х.\ 6, 2ге| + — 5х3 + Ззс4 — 0.

Решение. Первое уравнение оставляем без изменений, а из всех остальных исключаем неизвестное Первое прибавляем ко второму уравнению, имеем 5хг 4- ~ 14 Исключаем неизвестное Х\ из

третьего и четвёртого уравнений, прибавив к ким первое уравнение,

5 2

умноженное соответственно на и —

м О

14, 1,

<

(третье и четвёртое уравнения умножили иа 3 для упрощения последующих вычислений, хотя делать это не обязательно).

Далее второе уравнение и первое оставляем без изменения, а иэ третьего и четвёртого уравнений исключаем о, прибавив я лим второе

В результате получим: ( Зц 4- 7X2 -2хз-\- 4х,і 5 %і + 4х3 го &2 + і 14 з*3-у Х4 = 4 її Ї 3 - Х^ =

3xj ¦+ 7х2 - 2х3 4- 4x4 = 3, 4- 4хз = 14, -2(1x2 + - 14®4 - 3, 4X2 — 11^3 4- —6.

3,

14, 50, -86.

<

2ft

уравнением умноженное соответственно на 4 и -4/5.

-h Tj-д — -і- -in — 3, " .vj і- и-Л -¦= 14, 17j:.i - 14^ =59,

S6

5

71

—г аза +

О

( 3^1 + 7x3 - 2x3 + 4xt 5x2 + 4хз I7x$ - Ыха —7Lra + Sz.j

Теперь из четвёртого уравнения исключаем для этого третье умножим на — И сложим с четвертым; в результате имеем;

3,

14,

59,

2727 17 4

Злгі 4- ~ + 4З4 5 л: г + 17%з — 14^4 909

х4 ~

17

Обратным ходом получаем: ха = —3, 3:3. = 1, а;2 = 2, ль = 1. Пример 12. Решить систему методом Гаусса

х\ - о;? + 2s3 — = 1,

<

+ Х2 + Г-3 + ^ = 2xj + 3x2 — Ear* = О, 5хі + 2x2 + 5хз — 6э?4 = О,

4

xi — х2 4- 2.тд — 24 = 1,

2X2 - хз + 2x4 — 5І2 — 4хз — Зіг-і — -2, б 7X2 - 5хц -О

Решение. Первое уравнение вычтем из второго, а к третьему и четвёртому прибавим первое уравнение, умноженное соответственно на (—2) и (—5). В результате получим:

Из третьего и четвёртого уравнения вычтем второе, умноженное соответственно на 5/2 и 7/2, получим:

г — х% 4 2хз — Х\ — 1, 2x2 4- 2x4 =

3 с 31

Если иэ третьего уравнения вычтем четвёртое, то получим 0 - 4 + 0^4^=6 или 0 = б ~ уравнение решения не имеет, исходная система уравнений несовместна.

Пример J3. Решить систему методом Гаусса

г an — arj + 2хз — — 1,

її 4 І2 + -f х4 = 4.

2xi 4 3я2 - я3 = -б,

L бхі 4 2x2 4 5;їз — = О,

Решение Первый и второй шаг такие же, как и в примере 12. Далее

— 4- 2хз — ХІ — 1,

2x2 —

v.. і- 2 З

Зо 31

2 ®г j = —^

31

2 f

— - - Sx4 —

После третьего шага из четырёх уравнений в системе остаётся три уравнения, так как четвёртое уравнение приняло вид 0 = 0 и удалено из системы

Х1-Х2 + 2тз —?4 — 1, 2X2 ~ $3 + 2X4 —

з о 31

J

xi — 4 2а;з — 1 4- Х4, 2x2 ~ = 3 —

З Зі , g

~ 2 3 ~ Н" 4"

Прямой ход метода закончен. Количество уравнений меньше числа

неизвестных. Переносим в правую часть столько неизвестных (назовём

их свободными), чтобы в левой части получилась треугольная форма;

неизвестные левой части называются базисными Они определяются

с помощью обратного хода метода Гаусса через свободные неизвестные:

31 16 20 11

яз - -J - у аол - О - у я4 t О « -13 О Мл

зо

Придавая неизвестному ®4 произвольные значении получим различ-ные частные решении. Например, х\ — -13, хг = -Д'я - ~

х\ — —5, XI — ^з = 5, Zi — 1 и Т.Д.

Замечание /. Можно несколько модифицировать метоп Гаусса. На примере Ю, который уже реісен методом Крамера и методом Гаусса, рассмотрим модификацию метода Гаусса, Первый шаг тот же самый: первое уравнение остаётся без изменений, а в остальных уравнениях исключено неизвестное Х\. На втором шаге нужно исключить неизвестное а/не только из третьего и четвёртого уравнений, но и из первого уравнения, вычитая из него, например, третье (см. иыше). Получим:

( si + + 10®d = 9, 4Т2 + 7*3 + 11*., ¦ 7,

to ч-13^ - аз, х3 + = э.

На третьем шаге нужно исключить неизвестное не только из четвёртого, но и нз первого и второго уравнений. В результате получим:

JEJ — 53^4 = -54 Іх-ї - 25x4 = -29, 9хз + ІЗхм = 13,

Х4 = 1

Отсюда проте найти неизвестнее. Эта модификация гауссовсЕ;ого метода называется методом полного исключения, или методом Ж орд а ка- Гаусса.

Замечание 2. При решении системы уравнений методом Гаусса можно преобразовать не систему уравнений, з таблицу составленную из коэффициентов при неизвестных и свободных членах. Для примера 10 эта таблица имеет вид

(\ 1

3

2 3

Vl 2

2 -1

3

3 1 ^ —2 —4 -6 -4 У

Первую строку оставляем без иэмененнй. Далее, первую строчку умноженную на 3 и 2, вычтем из второй и третьей соответственно. Затем из четвёртой строчки вычтям пеовую. Б розультаее имяим {вторую

и третью для простоты записи, можно умножить на (—1)),

/112 3 1 \ О 4 7 11 7 0-1578 ^011-4-5/

Теперь первую н вторую строчки оставляем без изменения. Умножив вторую строчку на 1/4 сложим с третьей и вычтен из четвёртой (сократив в строках общий множитель)

/112 3 1 \

0 4 7 11 7

0 0 9 13 13

\ 0 0 1 9 9 /

Четвёртую сгроку, умноженную на 9, вычтем из третьей, в результате получим таблицу (сократив общий множитель)

/112 З IV

' 0 4 7 11 7

0 0 9 13 13 '

\ 0 0 0 1 ] /

которая эквивалентна последней системе уравнений

г т Х2 -f 2хз + 3X4 " 11

4X2 -Н 7з;з + Ихл 7,

*

9я:з + 13x4 = 13,

і' ч

і, ?4 = 1

Отсюда Х4 — lh хз = О, Х2 = — 1, х\ — —I.

<< | >>
Источник: Клименко Ю.И.. Высшая математика для экономистов: теория, примеры, задачи* Учебник для вузов /10.И. Клименко. — М,: Издательство «Экзамен»,. 736 с. (Серия «Учебник для вузов»). 2005

Еще по теме § 1. Решение системы алгебраических уравнений. Правило Крамера- Метод Гаусса:

  1. § 1. Решение системы алгебраических уравнений. Правило Крамера- Метод Гаусса
  2. § 2, Матрицы и действия с ними. Ранг матрицы, Обратная матрица. Теорема Кронекера-Капелли
  3. 1.4. Матрицы. Основные свойства и операции.
  4. Содержание дисциплины
  5. 4.2. СОДЕРЖАНИЕ РАЗДЕЛОВ ДИСЦИПЛИНЫ
  6. 2.1 Содержание дисциплины (наименование и номера тем).
  7. 2.2. Практические занятия, их содержание.
  8. 5. Материалы для контроля знаний студентов.
  9. 5.2. Вопросы к экзамену (1 семестр).
  10. 6.1. Образец решения контрольных задач типового варианта.
  11. Экзаменационные вопросы: