<<
>>

Метод Крамера.

(Габриель Крамер (1704–1752) швейцарский математик)

Данный метод также применим только в случае систем линейных уравнений, где число переменных совпадает с числом уравнений.

Кроме того, необходимо ввести ограничения на коэффициенты системы. Необходимо, чтобы все уравнения были линейно независимы, т.е. ни одно уравнение не являлось бы линейной комбинацией остальных.

Для этого необходимо, чтобы определитель матрицы системы не равнялся 0.

det A ? 0;

Действительно, если какое– либо уравнение системы есть линейная комбинация остальных, то если к элементам какой– либо строки прибавить элементы другой, умноженные на какое– либо число, с помощью линейных преобразований можно получить нулевую строку. Определитель в этом случае будет равен нулю.

Теорема. (Правило Крамера):

Теорема. Система из n уравнений с n неизвестными

в случае, если определитель матрицы системы не равен нулю, имеет единственное решение и это решение находится по формулам:

xi = Di/D, где

D = det A, а Di – определитель матрицы, получаемой из матрицы системы заменой столбца i столбцом свободных членов bi.

Di =

Пример.

A = ; D1= ; D2= ; D3= ;

x1 = D1/detA; x2 = D2/detA; x3 = D3/detA;

Пример. Найти решение системы уравнений:

D = = 5(4 – 9) + (2 – 12) – (3 – 8) = –25 – 10 + 5 = –30;

D1 = = (28 – 48) – (42 – 32) = –20 – 10 = –30.

x1 = D1/D = 1;

D2 = = 5(28 – 48) – (16 – 56) = –100 + 40 = –60.

x2 = D2/D = 2;

D3 = = 5( 32 – 42) + (16 – 56) = –50 – 40 = –90.

x3 = D3/D = 3.

Как видно, результат совпадает с результатом, полученным выше матричным методом.

Если система однородна, т.е. bi = 0, то при D?0 система имеет единственное нулевое решение x1 = x2 = … = xn = 0.

При D = 0 система имеет бесконечное множество решений.

Для самостоятельного решения:

; Ответ: x = 0; y = 0; z = –2.

<< | >>
Источник: Архаров Евгений Валерьевич. Учебно–методический комплекс по дисциплине Математика Нижний Новгород, 2011. 2011

Еще по теме Метод Крамера.:

  1. 5.2. Анализ статистических характеристик реальных тепловизионных изображений
  2. § 1. Решение системы алгебраических уравнений. Правило Крамера- Метод Гаусса
  3. Содержание часть 1
  4. Вопросы для самопроверки.
  5. Содержание
  6. 1.3. Решение систем линейных уравнений (метод Крамера).
  7. 1.4. Матрицы. Основные свойства и операции.
  8. Задача 2.
  9. Метод Крамера.
  10. МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ ТЕКУЩЕГО, ПРОМЕЖУТОЧНОГО И ИТОГОВОГО КОНТРОЛЯ
  11. 5. Материалы для контроля знаний студентов.
  12. 6.1. Образец решения контрольных задач типового варианта.
  13. Тема 3. Системылинейных уравнений. Модель Леонтьева.
  14. 4. 1. Метод наименьших квадратов
  15. 5.2.2. Метод Ньютона–Рафсона.
  16. 1.2. Решение систем линейных уравнений методом Крамера