Метод Крамера.
(Габриель Крамер (1704–1752) швейцарский математик)
Данный метод также применим только в случае систем линейных уравнений, где число переменных совпадает с числом уравнений.
Кроме того, необходимо ввести ограничения на коэффициенты системы. Необходимо, чтобы все уравнения были линейно независимы, т.е. ни одно уравнение не являлось бы линейной комбинацией остальных.Для этого необходимо, чтобы определитель матрицы системы не равнялся 0.
det A ? 0;
Действительно, если какое– либо уравнение системы есть линейная комбинация остальных, то если к элементам какой– либо строки прибавить элементы другой, умноженные на какое– либо число, с помощью линейных преобразований можно получить нулевую строку. Определитель в этом случае будет равен нулю.
Теорема. (Правило Крамера):
Теорема. Система из n уравнений с n неизвестными
в случае, если определитель матрицы системы не равен нулю, имеет единственное решение и это решение находится по формулам:
xi = Di/D, где
D = det A, а Di – определитель матрицы, получаемой из матрицы системы заменой столбца i столбцом свободных членов bi.
Di = 
Пример.
A = 
; D1= 
; D2= 
; D3= 
;
x1 = D1/detA; x2 = D2/detA; x3 = D3/detA;
Пример. Найти решение системы уравнений:
D =
= 5(4 – 9) + (2 – 12) – (3 – 8) = –25 – 10 + 5 = –30;
D1 = 
= (28 – 48) – (42 – 32) = –20 – 10 = –30.
x1 = D1/D = 1;
D2 = 
= 5(28 – 48) – (16 – 56) = –100 + 40 = –60.
x2 = D2/D = 2;
D3 = 
= 5( 32 – 42) + (16 – 56) = –50 – 40 = –90.
x3 = D3/D = 3.
Как видно, результат совпадает с результатом, полученным выше матричным методом.
Если система однородна, т.е. bi = 0, то при D?0 система имеет единственное нулевое решение x1 = x2 = … = xn = 0.
При D = 0 система имеет бесконечное множество решений.
Для самостоятельного решения:
; Ответ: x = 0; y = 0; z = –2.
Еще по теме Метод Крамера.:
- Нахождение обратной матрицы методом Крамера
- 1.3. Решение систем линейных уравнений (метод Крамера).
- 1.2. Решение систем линейных уравнений методом Крамера
- Алгоритм нахождения обратной матрицы методом Крамера.
- § 1. Решение системы алгебраических уравнений. Правило Крамера- Метод Гаусса
- 4.1. Формулы Крамера.
- Формулы Крамера
- 1.4. Метод теории государства и права. Принципы научного познания. Общенаучные методы. Частнонаучные методы
- Экспериментальный метод – как центральный метод среди эмпирических методов психологического исследования.
- Методы психогенетических исследований. Генеалогический метод. Семейные исследования. Метод приемных детей.
- Сравнение выгод, получаемых при переходе на метод ЛИФО с метода ФИФО и средних цен
- Глава 3. Социологические методы в труде журналиста (М.Н. Ким)Методы в журналистике и социологии
- Симплекс-метод. Основная идея, этапы поиска решений, алгоритм метода.
- Методы субъективных измерений в задачах с неопределенностями. Основные понятия, суть, достоинства и недостатки методов.
- 2. Сравнительно-правовой метод – частнонаучный метод юридической науки
- § 5. Метод иеделимых как выпрямление метода исчерпы- ваиия.