§ 5. Метод иеделимых как выпрямление метода исчерпы- ваиия.

Характерная черта мысли эпохи Возрождения состоит в том, что в пауке прежде всего существенен ars iiiveniendi, метод изыскания23 истин, а в несравненно меньшей мере - ars demoustrandi, метод доказательства, Метод неделимых24, который нарождается в XVIII веке, вполне отвечает этой черте.

Он мало убеисдает и современников, но много обещает открыть.

Берем его наиболее примитивную форму, которая находится у Кеплера.

Для определения площади круга Кеплер делит круг радиусами на равные бесконечно малые секторы (черт, 1). Эти бесконечно малые секторы он признает тожде- _

ственными бесконечно малым тре- Jp

угольникам с высотой, равной радиусу, и основанием, равным дуге

сектора К. К прямой РВ он восста- ^ В3 В2 Bj В Q

ЧРОТ 1

лавлнвает перпендикуляр ВС = OA 1 '

и откладывает ВВ, = AAt, В(В, = А^А.и т.д. В силу равновеликости треугольников А,А2С,, BBJC. и т.д. он получает, что площадь круга равна сумме площадей треугольников Вп_. СВя = ВСР, т.е. теорему Архимеда.

В этом рассуждении признается существование актуально-бесконечно малых элементов круга, и при этом признается, что те признаки двух элементов, об уменьшении разности которых свидетельствует интуиция, для бесконечно малых элементов совершенно сравниваются.

Это доказательство прямое в противоположность апагогическому методу исчерпывания.

На это следует обратить внимание. Вне сомнения, в дальнейшем при нападках рационалистов на апагогические доказательства25 развитию метода неделимых способствует не столько его простота и практичность, как прямой характер его выводов.

В дальнейшем у Кавальєри косвенная схема метода исчерпывания превращается в более простую схему метода исчерпывания.

Чтобы доказать, что

А : В = а : Ь,

А и В разбиваются, согласно идее второго метода Архимеда, на части, причем неделимые части (такое понятие, конечно, чуждо Архимеду)

Доказывается, что для всякого j

otj: Pj = a:b

путем отюісдествлешш

Ctj-HPj, CCjH pj

для которых не трудно установить пропорцию aj :pj = а:b

Легко видеть, какому изменению подвергается эта схема при установке понятия бесконечно малого в современном смысле - как переменного с пределом = 0.

Имеем, A = lim^c<.j, B = lim^Pj.

Далее, otj, [3 j не тождествен-

«і - і Рі

;/ьг, а только эквивалентны26, ctj и [3j т,е, lim ^ —1, lim = 1, поэтому на основании второй леммы анализа

A = limX«J В = lim^Pj >

а так гак а ¦: = a : b, то

А : В = a : b.

Сточки зрения Кавальєри н |3j суть не эквиваленты частей А и В, а суть сами эти части, А и В - не пределы суммы, а сами суммы a j и |3 j

или, что то же Ctj и fjj.

Отсюда вытекает принцип Кавальєри27, устанавливающий равенство величин из равенства их неделимых, равенство двух тел между двумя параллельными плоскостями из равенства площадей их сечений параллельными этим плоскостям плоскостями и т.д.

Этот метод совершенно чужд античной мысли.

Торичелли28 старается убедить в том, что метод неделимых служил у античных математиков методом открытия, который не совпадал с методом доказательств, но с этим едва ли можно согласиться.

В действительности же психология открытий тех теорем, которые доказывались Евклидом и Архимедом апагогическим путем, много проще, чем думал Торичелли. 2-е пололсение XII книги "Начал" - естественное распространение того, что уже доказано для подобных прямолинейных фигур и вообще подобных фигур. Таково лее происхождение и 18-го положения XII книги.

Теорема Архимеда о площади круга составлена по образцу теорем, относящихся к площадям правильных многоугольников. Значения поверхностей и объемов конусов и цилиндров верней всего были найдены развертыванием их в плоскости, что, конечно, проще метода неделимых.

Совершенно невероятно, чтобы этот метод, совершенно неудобный при нахождении объема и поверхности сферы, применялся Архимедом в этих случаях так эвристический.

Впрочем, сам Архимед в упомянутом выше сочинении совершенно ясно говорит об истории своих открытий. Аиалогон круга - сфера, тре- угольника - конус. Вот эта мысль и руководит Архимедом в поисках вывода, конечно ощупью, формулы для объема шара.

Архимед19 говорит: "Благодаря изложенной теории о том, что шар в четыре раза больше конуса, которого основанием служит большой круг, а высота равна радиусу круга, мне пришла в голову мысль, что поверхность шара в четыре раза больше его большого круга, причем я исходил из представления, что как круг равен треугольнику, основанием которого служит периферия круга, а высота равна радиусу круга, так и шар равен конусу, которого основанием служит поверхность шара, а высота равна радиусу этого шара".

В сочинении "О шаре и цилиндре" Архимед строит строгое доказательство (причем апагогически) этих положений.

Аналогон параболы - параболоид (коноид) и теоремы об объеме сегмента коноида - аналогон раньше открытой теоремы о площади параболического сегмента.

Теорема о сфероидах - естественное обобщение теоремы о сфере.

,SV б.

Третья архимедова форма метода исчерпывания.

В третьем методе Архимедова неравенства. (5) заменяются:

р <"'5 < А

Р « < В .

То, что А - Р м может быть сделано как угодно мало, выясняется построением.

Р я("|) образуется из частей, каждая последующая из которых получается из предыдущей делением последней по определенному закону;

Р1(Ш, = Р11 +Р, +...Р,

'Ч *2 llm

Р, >Р„ > Р„ >...> Р ,

1 «2 "3 ят

Дальше доказывается, что при взятии достаточного числа членов Paj-разность В - Ра(п1) может быть тоже сделана сколь угодно малой. Невозможно, чтобы А < В, ибо тогда

В —Ра(,||) >В-А и невозможно, чтобы А > В, ибо тогда

A-Pa(m) > А - В.

В известном выводе Архимеда площади сегмента параболы за Рп1 принимается площадь Д АОВ, вписанного в сегмент, за Р]2- Д OFB, вершина F которого иа FM J. АВ и МС = MB и другого аналогійного треугольника, за Р.0 - д FHB, где HN 1 СВ и MN = NB и других аналогичных треугольников и т.д.

К этой форме больше всего подходит название "метод исчерпывания'".

Представление Ра(т) суммой

представляет ие что иное,

как приближенное вычисление Ря<т>,

Берется величина Рп| близки! кР,(ш>, которая может быть признана за первое ее приближение. Это будет то, что можно назвать первым черпком. Затем берут остаток Ра ('") - Ра| II ищут его прибли-жение р

Пі

Это будет второй черпок. Рассматривая новый остаток Рл(т;і - Ра| - Р.і:, находим его приближениеРй ит.д. С некоторым черпком Ря<ш) окончательно исчерпывается, получается полное значение.

Но те же черпки служат и для приближенного вычисления А, но здесь точное значение уже ие достигается. Внося идею предела, молено сказать, что предел суммы таких черпков будет точно равняться исчерпываемой величине А, которая, таким образом, является пределом суммы бесконечно великого числа слагаемых, бесконечно убывающих, начиная с первого.

Чтобы выявить, каким образом эта форма приводит к этой другой точке зрения анализа, рождающей на ряду с интегралом еще ряды, мы пред-ставим способ Архимеда определения площади сегмента параболы в переработанном виде с привлечением понятия предела.

Первое приближение (черт. 2) площадей, вписанных в параболу у2 = х Д АОВ (ВС=1, ОС=1), т.е. 1. Остаток - площадь сегментов АО и ВО.

Приближение их - площадь треугольников, в них вписанных. Удобнее всего брать OFB, где Е середина СВ и EF || OY

=,1В = —.КОС(каку при х = KF = FE=—) равняется—

ВС ОВ 2 2 4

Bl=iS2,KL=-,LF=KF-KL=IE-KL=--!-=-

ВС ОС 4 2 4 4

пл. OBF h

как высоты, опущенные на общую сторону ОВ. но после- пл.ОВС и

дние относятся как параллельные отрезки LF = ВС, т.е. как 1:4.

Таким образом приближение первого остатка —.

Второй остаток - остальные еще меньшие сегменты, с которыми поступаем так же.

Сумма этих площадей оказавается равной и т.д. пл. ОАВ = lim