§ I. Евклид и Лежандр.
Элементарный учебник геометрии в большей или меньшей мере представляет из себя методическую переработку евклидовых "Начал"1, правда, по-полненных некототрым новым материалом. Можно сказать, что изучение геометрии мы начинаем с Евклида.
Но только этому положению следует придавать правильный смысл. Верно то, что мы изучаем те теоремы, что большей частью находятся у Евклида, но если глубже вникнуть в евклидовы "Начала", то увидим, что мы далеко отошли от них в самом существенном, в понимании основной проблемы - доказательства выставляемых положений, образующих систему геометрии.Понятие о сущности математического доказательства, подверглось через толщу веков глубочайшему изменению, ХОТЯ это изменение И ие было заметно самим исследователям так, как не заметно старение стареющему человеку. То, что Лежандр считает доказательством, не могло быть признано за доказательство Евклидом и, с другой стороны, Лежандр ие мог начать свои "Элементы" с по строєнім равностороннего треугольника, как это делает Евклид.
Не следует думать, что Лежандр5 в своих упрощенных доказательствах додумался до тех более простых доказательств, которые ускользнули от Евклида. Евклид, очень может быть, знал эти доказательства, но отверг их как негодные, как находящиеся в решительном противоречии с его взглядами на доказательство. Почему ему ие поступать так, как Лежандр, при доказательстве основного свойства равнобедренного треугольника, состоящего в том, что углы, противолежащие равным сторонам, равны?
Ведь, кажется, нет ничего проще, как соединить середину стороны BC-D с вершиной А и доказать иа основании третьего случая конгруэнтности равенство треугольников ABD и ADC-\
Между тем, Евклид излагает другое, более сложное доказательство (так называемое elefuga). Ответим: потому, что Евклид признавал существование только тех объектов, которые могут быть построены.
Он потребовал бы от Лежандра указать построение точки D - середины отрезка ВС.
Но построение это (предл. X, 1 книги) основывается иа 9-м положении о делении угла на две равные части, последнее же - на третьем случае конгруэнтности, а третий случай конгруэнтности доказывается от противного на основании 7-го положения '.
"Если мы соединим концы основания АВ с двумя точками С и D, лежащими по одну сторону прямой АВ, то расстояния СА и СВ точки С от концов основания АВ не могут быть равны ісаждое каждому расстояниям DA и DB от тех же концов АВ".
Для доказательства невозможности единовременного существования равенств AC=AD, DB=BC Евклид (черт. 1), пользуясь elefuga, доказывает, что ZADC=Z ACD и вторично применяя elefuga, что Черт 1
ZCDB=ZDCB, обнаруживает несовместность этих двух равенств углов, так как Z ADC>Z CDB и ZBCD Z ACD (мы берем только тот случай, когда D вне ABC).
И только благодаря коренном}' изменению требований, предъявляемых к доказательству, Лежандр получает возможность упростить геометрическую систему и перевернуть порядок теорем.
Он начинает с положения:
"Если две стороны одного треугольника равны соответственно сторонам другого и если в то же время угол между первыми более угла, заключенного между вторыми, то третья сторона первого будет больше тре-тьей стороны второго".
Но это только 24-я теорема I книги "Начал" Евклида, т.е. весьма отдаленная от начала теорема, которая доказывается иа основании третьего случая конгруэнтности треугольников.
Для доказательства того, что AB=FG ]
ПРИ
АС = GH > также HBC>FH ZBAC>ZFGHJ
С G Черт.
F
2.
Лежандр3, откладывая (черт. 2) угол ZCAD = ZFGH и AD=FG строит треугольник CAD, равный FGH (иа основании 1 случая конг-руэнтности), проводит биссектрису АЕ угла BAD и соединяет Е с D и доказывает равенство треугольников ВАЕ и EAD CD < ED + ЕС, откуда CD < ВЕ+ЕС, CD < ВС или FH < ВС.
Эта теорма дает сейчас лее 'возможность вывести (апагогичесіси) третий случай конгруэнтности.
Доказательство это, конечно, не моо/сет быть принято Евклидом, ибо построение биссектрисы является необоснованным.
Античное доказательство вовсе не чисто логическое. Античный математик убеждает не одним силлогизмом, но и актом, вычерчивающим геометрическую фигуру.
Выражения Аристотеля4 очень напоминают Шопенгауэра7. Согласно Аристотелю, свойства геометрических фигур открываются приведением к актуальному существованию геометрической фигуры, вызывающим разложение данных фигур. Если фигуры уже даны разложением, то свойство уже очевидно, оно просто видно глазу. Но если они не разложены, то находятся только в потенции (лучше было бы сказать - их знание в потенции).
Почему сумма углов треугольника равна двум прямым?
Потому, что сумма углов, образованных около данной точки на одной линии, равна двум прямым углам. Если образовать внешний угол, продолжая стороны треугольника, непосредственное доказательство очевидно.
Почему угол, вписанный в полуокружность, неизменно прямой? Это потому, что имеет место равенство для трех линий: двух половин основания и прямой, проведенной от центра круга к вершине угла, противолежащего основанию: это то равенство, которое дает возможность познать свой-ство вписанного угла8.