ПОРИЗМЫ И ДАННЫ

§ 1. Очень трудно проникнуть в ход мыслей античного человека. Историк в большей или меньшей мере проектирует в прошлое настоящее. Лежандр, упрощая Евклида, не сознает, что это упрощение достигается только изме-нением самого понимания геометрического доказательства.

Евклид1, конечно, никогда не признавал бы лежандрова доказа-тельства теоремы о равенстве углов при основании равнобедренного треу-гольника2 .

Третий случай равенства треугольников, на котором основывается лежандрово доказательство, Евклид доказывает не до предложения о рав-нобедренном треугольнике, а после него.

Прием доказательства Евклида основывается на лемме, что для двух точек С, D, лежащих по одну сторону обрезка АВ (фиг. 1), невозможно одновременное выполнение равенства

CA=DA и CB=DB, а эта лемма доказывается только с помощью предложения о равнобедренном треу-гольнике. Вот почему Евклиду приходится строить другое, значительно более сложное доказательство этого предло-жения. ХЛ

"Начала геометрии" А В

Лежандра отлігчаются от "На- Фиг. 1.

чал" Евклида, во-первых, различным пониманием доказательства, иначе говоря, существования геометрических объектов; во-вторых, тем, что из-ложение Лежандра арифметизировано; каждая геометрическая величина у него выражается числом, и каждому числу отвечает геометрическая вели-чина, в то время как у Евклида все доказательства ведутся без обращения к числам. Более того, Евклид не ставит никаких вычислительных задач, не дает приемов вычисления площадей, поверхностей и объемов.

Вычислительная геометрия начинается только с Архимеда.

Вне сомнения, на евклидовы "Начала" оказали влияние аристотелева "Аналитика" и, прибавим еще, "Метафизика"3, с которой тесно связана логика, так как логика Аристотеля имеет ясно выраженный онтологический характер.

Согласно Аристотелю, наука должна ставить две проблемы: суще-ствует ли вещь и почему ома существует, и если она существует, то как она существует?4

У Евклида в первой проблеме существование понимается в смысле возможности построения. Проблема: существует ли А и почему суще-ствует А, является у него в форме: можно ли построить А, и если можно, то как построить?

Вторая проблема ставится так: какова зависимость между объек-тами А, В, С,..., возможность построения которых уже установлена?

Обычно историки, стараясь быть наиболее понятными, облекают мысли античных математиков в современные словесные и даже символи-ческие формы. Это, конечно, довольно опасный прием, ио мы далее все же рискнем к нему прибегнуть. При этом необходима оговорка. Евклид мыслил не точно по предлагаемой схеме. Но, вне сомнения, существует опре-деленное соответствие между этой схемой и евклидовым мышлением, и молено сказать, что Евклид шел бы точно по этому пути, если бы арифме- тизировал геометрию в смысле Лежандра.

§ 2. Только вполне усвоив евклидово понимание доказательства, мы уяс-ним себе три формы евклидова мышления. В "Началах" даются условия существования некоторых объектов: простых а, Ь, с и слоленых, из них со-ставленных ю j (а, Ь, с); дается также зависимость между ними и выводят-ся некоторые свойства, сводящиеся к эквивалентности некоторых построе-ний.

Символически это выралсается так:

а=А .

с9](а,Ь.с,...) = А

с =Л

где символ = Л означает "существует", а символ = эквивалентность.

Обобщением этой схемы или, вернее, ее изменением является со-хранение тех лее условий, ио замена вывода таким:

Ф(х, у, z, а, Ь, с,...) = Ф (х, у, z, а, Ь, с,..). (2)

Вто время как а, Ь, е.... суть данные величины, х, у, т....-произволь-ные. В частности:

Ф(х,у,г,...а,Ь,с) = ф (а, Ь, с,...). (3)

Можно сказать, что при некоторых построениях х, у, %,...

Но возможно другое изменение (1). Возможна замена вывода таким:

Ф(а,Ь,с,...) = Л, (4)

т.е. утверждение только существования, в евклидовом смысле, некоторого объекта Ф.

Если первой схеме отвечают "Начала", то второй - "Поризмы", а третьей -"Данные" Евклида.

Но, конечно, это лишь схемы самого общего характера. Тот мате-риал, которым мы располагаем, необходимо проанализировать глубже. "Данные" до нас дошли полностью, а "Поризмы" - только в тех отрывках, которые имеются в "Собраниях" Паппа3.

Кроме поризмов и данных, у Евклида имеются еще проблемы. Им отвечает следующая схема.

Ищутся такие:

х=а (а, Ь, с, ... ) у = р (а,Ь, с,...) z = y (а, Ь, с, „.),

чтобы заданная зависимость

Ф(х, у, z,..., а, Ь, с, ...) = Ф (х, у, z, ..., а, Ь, с,...)

обращалась в теорему

Ф(а, Ь, с, ...) = Ф (а, Ь, с,...).

В такой общей, абстрактной форме поризм оказывается тем, чем его считал Папп, - ни теоремой, ни проблемой, а чем-то средним, их свя-зующим.

Если (у, z) исчезают так, что зависимость сводится к Ф(х, а, Ь, с,...) = ф (х, а, Ь, с,...) и приходится искать х, то при решении проблемы иа основании теоремы используется поризм.

§3. Мы сперва будем говорить о поризмах. Поризмы бесспорно сыграли некоторую роль в истории аналитической геометрии. Именно в поризмах зарождаются те определенные и неопределенные задачи, которые в XVIII в. играют существенную роль в учебниках алгебраической, т.е. аналити-ческой геометрии.

Существует некоторая преемственность между античными пориз- мами и "Геометрией" Декарта (1637)\

При этом следует иметь в виду поризмы ие только в евклидовом понимании, но и поризмы, уже преломленные через призму рационалис- тической идеологии, содержащие в себе более общие идеи, чем те, которы-ми пользуется аналитическая геометрия.

Однако приложение этих идей не идет дальше частных примеров: они не содержат общих методов.

Общая схема поризма дана нами выше; она объясняет, почему термин "поризм" употребляется Евклидом в "Началах" в смысле леммы, вы-ражающей некоторую связь между остающимися неопределенными вели-чинами. На основании этой схемы можно следующим образом формулировать сущность поризма:

Поризм - это предложение, в котором высказывается, что неко-торое свойство имеет место для величии, находящихся в зависимости от нескольких данных и нескольких величин, остающихся неопределенны-ми.

Как и существование, зависимость ю^ф. должна определяться построением, производимым с элементами а, Ь, с,..., которые даны, и с

элементами х, у, z которые остаются неопределенными, т.е. такими, для

которых построение уже ие дано. При таком понимании, подходящем под евклидово, совершенно исключается бесконечность, и поризм еще не вы-зывает идей аналитической геометрии.

Только введя актуальную бесконечность, гак это сделал Р. Симп- сон и другие до него, мы получаем поризм в той форме, от ісоторой уже легко перейти к основным проблемам аналитической геометрии.

Было бы неправильно думать, что такое понимание поризмов по-явилось только у Р. Симпсона. Оно должно было зародиться тогда, когда математическая мысль пропиталась актуальной бесконечностью, когда метод неделимых выступил как мощный математический аппарат.

"Поризм, - говорит Р. Симпсон8, - это предлоэюение, в котором высказывается, что одной или многим данным величинам (неизменным), а также бесконечно многим, не данным, но находящимся к данным в оп-ределенных отношениях, присуще некоторое общее свойство".

Клюгель в своем словаре дает слово в слово симпсоповское опре-деление поризма, ио прибавляет свое сокращение.

При тагам понимании поризма под это понятие сейчас же подво-дится определение кривой буквенным уравнением между координатами точек (х, у), в которое входят параметры а,Ь,с,..., если только спроектировать в прошлое, как это делает Р. Симпсои, понимание неопределенной задачи, как задачи, имеющей бесконечное множество решений. Здесь ко-ординаты точек (х,у) дают бесконечное множество точек, находящихся в данном отношении к Ох и Оу. Заданными а,Ь,с,... здесь служат параметры.

Эти, правда, уже частного вида поризмы становятся возможными только при создании буквенной алгебры и приложении ее к геометрии.

Для разъяснения сущности поризма и пояснения его истолкования Симпсоном я приведу следующий пример.

Даиа окружность с центром С (фиг. 2). Из двух точек D и Е одна дана, другая же - искомая, определяемая пропорцией:

BD : BE=AD : АБ. (5)

М — произвольная точка на окружности, и общее свойство геомет-рического места -неизменность отношения DM : ЕМ.

Если бы, мысля ЕМ и DM как координаты, мы пожелали постро-ить задачу аналитической геометрии, отвечающую этому поризму, то полу-чили бы проблему об определении уравнения при заданной системе коор-динат, определяющего известную кривую (в настоящем случае - окруж-ность).

По-гречески тюро^1" означает то, что представляет переход, что можно перевести слова-ми "легкое заключение". В смысле короллария, те. непосредствен-ного следствия из доказанного предложения, термин "поризм" употребляется в "Началах" Евк-лида.

Но каким образом от этого понимания Евклид перешел к другому пониманию поризмов, как трудных и замысловатых задач?

Существенным в евклидовом поризме было не то, что он легок и прост, а то, что он образует переход, промелсуточное звено, и те поризмы, которые мы находим в "Началах", играют именно роль переходного моста от одного предложения к следующему, а вовсе не представляют вполне то, что потом назвали короллариями, т.е.

Цейтен" считает те поризмы, которые находятся в утерянном со-чинении Евклида, именно такими переходными предложениями, относя-щимися к коническим сечениям, Таким образом, он, как и другие авторы, толкует поризмы, определяя их ие только их конструкцией, ио и характе-ром материала, к которому они относятся. Такое толкование несколько ис-кусственно, и едва ли "Данные" говорят в его пользу.

Существует целый ряд других толкований. Например, Жирар12 понимал поризмы как теоремы, относящиеся к пересечению прямых, что, конечно, неправильно.

\р ^ 1 / q Фиг. 3.

Ферма13 толковал поризмы шире, но тоже неправильно, отождествляя их с задачами на определение геометрического места. § 4. Если мы пожелаем выразить содержание поризмов в координатах, то получим большое многообразие координатных систем, как точек, так и прямых.

Так, возьмем вместе с Ша- лем14 следующий поризм, облекая его в алгебраическую форму (фиг. 3).

Даны три прямые L,L',L" , по положенню. Если из точки М одной из этих прямых 1 опустить перпендикуляры р и q на две другие прямые L',L", то можно найти такую длину а и такое число X , что перпен-дикуляр р вместе с а будет к q находиться в отношении, равном % :

Р + а ,

—=Х (б)

Здесь координатами точки являются ее расстояния от двух прямых, и уравнение (6) определяет прямую.

Фиг. 4.

Вот другой пример, приводящий к координатам прямой и к уравнению точки. Две прямые заданы по положению, и на них точки А и В (фиг. 4). Если проводить прямые mm1 так, чтобы отрезок Am вместе с линией а находился в данном отношении х к отрезу Вт1, т.е.

(7)

Am 4-а Вт1

то прямые mm все пройдут через одну точку.

§ 5, Наряду с поризмами у античных математиков выступают еще лестные теоремы и места.

В местной теореме" устанавливается свойство, присущее определенной кривой. Так, для окружности местной теоремой устанавливается, что (см. фиг. 2)

ЕА : ЕВ = DA : DB, отношение ME;MD оказывается для всех точек одинаковым.

Обращаясь к схеме § 2 для получения схемы местной теоремы, мы должны изменить условие, введя вместо

Фі (a,b,c,...) =ф. (a,b,c,...)

условие

(pi(x,y,z,...,a,b,c,...)=(|)i(x,y,z,...,a,b,c,...)

и оставляя заключение (2) или, вернее, (3).

В месте же, наоборот, определяется, какой кривой присуще данное свойство. Схема остается, конечно, та же.

Таким образом, местную теорему и место не следует мыслить как частные виды поризмов, а скорее как другие разновидности очень общей проблемы.

В аналитической геометрии этим проблемам отвечают:

определение свойств кривой, заданной уравнением;

определение уравнения кривой по ее свойствам.

§ 6. Чтобы установить, что поризмами могут служить предложения, лежащие вне сферы аналитической геометрии, приведем некоторые примеры, тоже облекая их в алгебраическую форму, причем схема вывода (2) § 2 будет оставаться в силе. Схема вывода (3) § 2 может быть уравнением, выражающим зависимость между

a,b,c,...,x,y,z,...

я вытекающим из ф(..

Но (3) может быть и тождеством. Этот случай остается в стороне от аналитической геометрии.

Толкование поризма Плайфайром14 обнимает и этот случай, Поризмы, по его мнению, являются предложениями, в которых утверждается, что можно найти такие условия, при которых некоторая задача становится неопределенной, т.е. имеет бесконечное множество решений.

Но нельзя не признать вместе с тем узость этого определения, так как поризм выявляет не только то, что существует бесконечное множество решений, ио и дает его характеристику.

Приводим пример поризма, подходящий под толкование. Дана прямая АВ. Поризм утверждает существование на отрезке АВ такой точки D, что прямоугольник со сторонами АС и СВ вместе с S (некоторой площадью) равен квадрату, построенному на CD, где бы ни была взята точка С за В.

Полагая АВ = a, BD = Ь, ВС = х, имеем согласно условию (а + х) х + S=(b -I- х)2,

или

ax + S = b2+2bx. (8)

Чтобы доказать этот поризм, мы должны убедиться, что (8) сводится к тождеству при надлеясаще выбранных S и Ь, для чего положим:

b=—a; S =—а2.

2 4

Вот еще пример, более А сложный.

На прямой даны точки A,B,C,D (фиг. 6), даны АВ = а, ВС = b, AD = с, АЕ = х. Поризм утвержда- в*- ет существование такой точки D и такого отрезка f, что Фиг. 6.

ВС х СЕ = AD х АЕ + BE х f,

или на языке алгебры

b(a-b+x)=cx+(a+x)f. (9)

Равенство (9) становится тождеством при

c=b^_ _b(a-b) а ' а

Под схему Плайфайра можно подвести и приведенный выше пример (фиг. 2). Если не ставится никакого ограничения на положения D, Е на диаметре относительно окружности, то условие DM : ЕМ = X дает одно определенное решение на АВ. Но если

CD: СА = СА : СЕ = х, то здача оказывается неопределенной, и мы будем иметь поризм.

Плайфайр дает прекрасный пример, выявляющий сущность пориз-ма в его понимании: через данную точну М (фиг. б) требуется провести прямую так, чтобы сумма расстояний от точек М,, М,,... М-с одной стороны равнялась сумме расстояний отточек М^, М3,... - с другой. Ответ: прямую следует провести через центр тяжести точек М,,..., Мл.

Но если сама точка М совпадает с центром тяжести, то задача оказывается уже неопределенной. Чтобы облечь ее в алгебраическую форму,

следует принять за данные - координаты точек N1 (aj • bj), за неизвестные - координаты прямой (?,, я). Задача ставится о разыскании (?,, і]) . В случае поризма

Фиг. 7.

b =

Zb>

а=-

и вместо определенных значений (?,, г|) мы имеем уравнение

А^+Вт| + С=0, определяющее пучок прямых с вершиной в

м.

Фиг. 8.

В пояснение определения Плайфай- ра молено привести еще следующий пример: определение кометной орбиты приводит к задаче о проведении прямой так, чтобы отношения отрезков между четырьмя данными прямыми АВ : ВС, ВС : CD были данные (фиг. 8). Решение дается Ньютоном в предложении 56 его " Arithmetics, universalis" (1707)17. Но в некоторых случаях возникает неопределенность, на что указали Боскович и Кастильон18.

Такой случай в действительности встретился при определении эфе-мерной кометы 1739 г.

§ 7. Переходим теперь к данным, отвечающим схеме вывода (3). Шаль формулирует сущность данных следующим, правда несколько неясным, образом:

Данные - это предлолсения, в которых одна или несколько вещей, к которым относится вопрос, ие имеют в формулировке предлолсения опре-деленной величины и пололсения в силу предположения. Но само предло- лсение сводится к утверлсдению, что определенные величины и положения содержатся неявно в предпололсении, следствием которого оно и является и может быть осуществлено.

Это то, что Евклид выражает словами "вещь дана", причем следует предполагать, что вещь дана виртуально, т.е. содержится неявно в предположении и молсет быть отсюда выведена".

Такое толкование не вполне соответствует намеченной нами в § 2 схеме (3). В толковании Шаля не выявлен экзистенциальный характер данных. Данные не выводят свойств вещи, но только ее существование, в ухса- заином выше евклидовом толковании.

В предложении 60 "Данных" Евклид указывает, что если, две величины а и b находятся в данном отношении %, то составленная из них величина а + Ь находится в данном отношении к каждой а или Ь.

Если бы Евклид, заключает Шаль, хотел из этого предложения сделать теорему в собственном смысле (т.е. в смысле "Начал"), он должен был бы указать, что отношение

(a+b):a = (X + l):X, а(а+Ь):Ь = (Ь + 1):1.

Другой пример (предл. 86); если в треугольнике задан угол, то прямоугольник, построенный на заключающих его сторонах, находится к треугольнику (т.е. к его площади) в данном отношении. Если указать, что это

2

значение равно sjn (определив синус); то получится теорема.

Приведем еще пример (предл. 89): если в данной окружности дана по величине и направлению хорда, то она ограничивает сегмент, заключающий данный угол. Теорема получается, если добавим, что этот угол равен половине соответствующего центрального угла. § 8. Укажем, какую роль сыграли "Данные" в истории геометрии. Аристотелевскую первую проблему "существует ли вещь?" нельзя отделить от второй - "как она существует?".

Равным образом, задачу об евклидовом существовании, нельзя отделить от задачи о том, каково это существование, а задачу о возможности построения - от задачи осуществления этого построения.

К решению первой проблемы следует мало прибавить, чтобы получить вторую. Схема (3) превращается в схему (1), если вывод

Ф(а,Ь,с,...) = Л

привести к эквивалентности проблематического построения с построением осуществляющим.

Различие с (1) будет только то, что в схеме (1), отвечающей теореме, и Ф (а,Ь,с,...),и ф(а,Ь,с,...) суть вполне определенные построения, вполне осуществляемые, а теперь Ф характеризует только некое проблематическое построение; указывается, как Ф получается из а,Ь,с,..„ но не доказывается возможность этого получения, прежде чем не будет указано, что

Ф(а,Ь,с,...)зф(а,Ь,с,...).

Решение уравнения следует понимать в том смысле, что неявное определение х уравнением дает тот же результат, что явное определение.

При чисто геометрическом мышлении античные математики вместо преобразования;

х2 +px + q = 0

развертывают ряд геометрических тождеств.

Окончательной формуле отвечает построение, дающее неизвестное. По этому пути Евклид в "Началах" продвинулся недалеко. Античная геометрическая алгебра Евклида, изложенная в книгах II и X "Начал", выполняет те функции, которые в настоящее время берет на себя символическая алгебра20. Геометрическим тождествам книги II отвечают следующие тождества рационального типа: 7) ab + ac =а(Ь + с);

ab + a(a-b) = a2;

ab = b(a-b)-f-b2;

Ч»+Ъ)Ь+(1) «(f+ь

a2 +bJ =2ab + (a-b)2 ;

4ab-l-(a-b)2 = (a-)-b)2; a

4) a2 = b2 + (a -b)2 + 2b (a - b) ; 9) (a-b)3 -l-b2 =2| +(f+b

5) (a-b)b +

10) (a+b)2 + b2 =2| Книга П пополняется предложениями 28 и 29 книги VI, в которых дается решение одной геометрической задачи, из которой извлекается решение квадратного уравнения.

Впрочем, и предложение 11 книги II "Начал" (задача о золотом сечении) дает тоже решение квадратного уравнения, но, правда, только специального типа:

х(а-х)=а2 (10)

"Данные" уже в силу самой постановки проблемы не дают окончательного решения; они задаются целью только обнаружить возможность получения неизвестного путем его построения, но, как мы выше заметили, немного следует прибавить, чтобы перейти от возможного построения к его осуществлению. Так как неявное задание х представляет именно про- блематическое построение, неосуществленное, которое может осуществиться только, если х дано, естественно ожидать толчка к развитию решения уравнения іменно со стороны "Данных", а не "Начал" Евклида.

Так это и было. Предложения 84 и 85 "Данных" в переводе на .язык символической алгебры подводят к решению системы уравнений:

ху=Ъ\ (11)

х±У=а,

а вместе с тем, конечно, и квадратного уравнения

х2 - ах = ±Ь2, (12)

т.е. к решению той задачи, которая решается по-иному в предложениях 28 и 29 книги VI "Начал".

§ 9. Интересно отметить, что те же "Данные" подводят и к решению треугольников и заключают своего рода античную тригонометрию.

Мы приводим предложения "Данных" в символической форме с соответствующими тригонометрическими формулами.

При этом S есть площадь треугольника, а,Ь,с - его стороны, А,В,С - углы. Предложения:

a2~b2-c2 bcsinA (64) А - тупой —> дано; а>=Ь ч-с -)-bccosA;

і 2 2

(65,67) А-острый -»¦ дано; a =b +с -2bccosA;

g_ bcsinA 2

be 0 besin A (66) А дан — дано; Ь=—-—,

С .Z

ha

(76) А, В, С, ->—дано; a=ha (cosB+cosC). a 1

(Здесь ha - высота, опущенная на а.)

§ 10. Мы отошли бы, конечно, очень далеко от характера античной мысли, если бы взглянули, как это делают некоторые, на поризмы и данные с функциональной точки зрения21.

Но мы все-таки ие можем оставить в стороне и этот подход, так как он в некоторой мере позволяет отметить различие поризмов и данных и обнаружить два различно направленных течения, идущие от этих двух типов геометрических проблем до выявления понятия функции. Можно сказать, что поризм подводит к уравнению, причем неопределенному, не выражающему х через а,Ь,с,.„, но выражающему у в функции переменного х, обнаруживая изменение у вместе с х, а также выявляя характер этого изменения. Данные же обнаруживают, что х при изменении (х,у) не меняется.

Можно сказать, что, если в поризме мы находим в эмбриональном состоянии основную идею определения геометрического места уравнением, то в данных мы видим нечто, отвечающее теории инвариантов22.

Но такая точка зрения, конечно, есть достояние уже весьма отдаленного от возникновения аналитической геометрии времени, - времени, завершающегося возникновением идеи преобразований, образующих группу, и идеи инварианта, характеризующего эту группу. Для кривой второго порядка

Ах2 н-2Вху + Су2 + 2Dx + 2Ey+F = 0. (13)

В2 - АС и А + С - это известные инварианты, сохраняющиеся при линейном преобразовании.