<<
>>

ПОРИЗМЫ И ДАННЫ

§ 1. Очень трудно проникнуть в ход мыслей античного человека. Историк в большей или меньшей мере проектирует в прошлое настоящее. Лежандр, упрощая Евклида, не сознает, что это упрощение достигается только изме-нением самого понимания геометрического доказательства.

Евклид1, конечно, никогда не признавал бы лежандрова доказа-тельства теоремы о равенстве углов при основании равнобедренного треу-гольника2 .

Ведь во всех своих доказательствах Евклид берет только те эле-менты в фигуре, построение которых доказывается. У Евклида геометрические объекты получ'люг существование только через построение. Лежандр же в своем доказательстве использует медиану треугольника, но при этом он вовсе не дает построения середины основания, он только постулирует существование медианы.

Третий случай равенства треугольников, на котором основывается лежандрово доказательство, Евклид доказывает не до предложения о рав-нобедренном треугольнике, а после него.

Прием доказательства Евклида основывается на лемме, что для двух точек С, D, лежащих по одну сторону обрезка АВ (фиг. 1), невозможно одновременное выполнение равенства

CA=DA и CB=DB, а эта лемма доказывается только с помощью предложения о равнобедренном треу-гольнике. Вот почему Евклиду приходится строить другое, значительно более сложное доказательство этого предло-жения. ХЛ

"Начала геометрии" А В

Лежандра отлігчаются от "На- Фиг. 1.

чал" Евклида, во-первых, различным пониманием доказательства, иначе говоря, существования геометрических объектов; во-вторых, тем, что из-ложение Лежандра арифметизировано; каждая геометрическая величина у него выражается числом, и каждому числу отвечает геометрическая вели-чина, в то время как у Евклида все доказательства ведутся без обращения к числам. Более того, Евклид не ставит никаких вычислительных задач, не дает приемов вычисления площадей, поверхностей и объемов.

Вычислительная геометрия начинается только с Архимеда.

Вне сомнения, на евклидовы "Начала" оказали влияние аристотелева "Аналитика" и, прибавим еще, "Метафизика"3, с которой тесно связана логика, так как логика Аристотеля имеет ясно выраженный онтологический характер.

Но вместе с тем в "Началах" отражается и платоно-пи- фагорейская философия, выставляющая правильные тела как конечную цель геометрии.

Согласно Аристотелю, наука должна ставить две проблемы: суще-ствует ли вещь и почему ома существует, и если она существует, то как она существует?4

У Евклида в первой проблеме существование понимается в смысле возможности построения. Проблема: существует ли А и почему суще-ствует А, является у него в форме: можно ли построить А, и если можно, то как построить?

Вторая проблема ставится так: какова зависимость между объек-тами А, В, С,..., возможность построения которых уже установлена?

Обычно историки, стараясь быть наиболее понятными, облекают мысли античных математиков в современные словесные и даже символи-ческие формы. Это, конечно, довольно опасный прием, ио мы далее все же рискнем к нему прибегнуть. При этом необходима оговорка. Евклид мыслил не точно по предлагаемой схеме. Но, вне сомнения, существует опре-деленное соответствие между этой схемой и евклидовым мышлением, и молено сказать, что Евклид шел бы точно по этому пути, если бы арифме- тизировал геометрию в смысле Лежандра.

§ 2. Только вполне усвоив евклидово понимание доказательства, мы уяс-ним себе три формы евклидова мышления. В "Началах" даются условия существования некоторых объектов: простых а, Ь, с и слоленых, из них со-ставленных ю j (а, Ь, с); дается также зависимость между ними и выводят-ся некоторые свойства, сводящиеся к эквивалентности некоторых построе-ний.

Символически это выралсается так:

а=А .

с9](а,Ь.с,...) = А

с =Л

где символ = Л означает "существует", а символ = эквивалентность.

Обобщением этой схемы или, вернее, ее изменением является со-хранение тех лее условий, ио замена вывода таким:

Ф(х, у, z, а, Ь, с,...) = Ф (х, у, z, а, Ь, с,..). (2)

Вто время как а, Ь, е.... суть данные величины, х, у, т....-произволь-ные. В частности:

Ф(х,у,г,...а,Ь,с) = ф (а, Ь, с,...). (3)

Можно сказать, что при некоторых построениях х, у, %,...

не оказы-вают никакого влияния, и результат получается один и тот же, каковы бы на были х, у, z...

Но возможно другое изменение (1). Возможна замена вывода таким:

Ф(а,Ь,с,...) = Л, (4)

т.е. утверждение только существования, в евклидовом смысле, некоторого объекта Ф.

Если первой схеме отвечают "Начала", то второй - "Поризмы", а третьей -"Данные" Евклида.

Но, конечно, это лишь схемы самого общего характера. Тот мате-риал, которым мы располагаем, необходимо проанализировать глубже. "Данные" до нас дошли полностью, а "Поризмы" - только в тех отрывках, которые имеются в "Собраниях" Паппа3.

Кроме поризмов и данных, у Евклида имеются еще проблемы. Им отвечает следующая схема.

Ищутся такие:

х=а (а, Ь, с, ... ) у = р (а,Ь, с,...) z = y (а, Ь, с, „.),

чтобы заданная зависимость

Ф(х, у, z,..., а, Ь, с, ...) = Ф (х, у, z, ..., а, Ь, с,...)

обращалась в теорему

Ф(а, Ь, с, ...) = Ф (а, Ь, с,...).

В такой общей, абстрактной форме поризм оказывается тем, чем его считал Папп, - ни теоремой, ни проблемой, а чем-то средним, их свя-зующим.

Если (у, z) исчезают так, что зависимость сводится к Ф(х, а, Ь, с,...) = ф (х, а, Ь, с,...) и приходится искать х, то при решении проблемы иа основании теоремы используется поризм.

§3. Мы сперва будем говорить о поризмах. Поризмы бесспорно сыграли некоторую роль в истории аналитической геометрии. Именно в поризмах зарождаются те определенные и неопределенные задачи, которые в XVIII в. играют существенную роль в учебниках алгебраической, т.е. аналити-ческой геометрии.

Существует некоторая преемственность между античными пориз- мами и "Геометрией" Декарта (1637)\

При этом следует иметь в виду поризмы ие только в евклидовом понимании, но и поризмы, уже преломленные через призму рационалис- тической идеологии, содержащие в себе более общие идеи, чем те, которы-ми пользуется аналитическая геометрия.

Однако приложение этих идей не идет дальше частных примеров: они не содержат общих методов.

Историк математики должен различать общие идеи и их осуществление7. Одно дело - общая идея исчисления бес-конечно малых, состоящая в разложении изучаемой величины на беско-нечно малые элементы, в отождествлении последних с более простыми (по- нашему, в замене их эквивалентами) и в вычислении суммы (по-нашему, предела суммы) этих простых элементов; другое дело - техника интегрального исчисления, начинающаяся только с понятия дифференциала и интег-рала, как предела суммы специального типа.

Общая схема поризма дана нами выше; она объясняет, почему термин "поризм" употребляется Евклидом в "Началах" в смысле леммы, вы-ражающей некоторую связь между остающимися неопределенными вели-чинами. На основании этой схемы можно следующим образом формулировать сущность поризма:

Поризм - это предложение, в котором высказывается, что неко-торое свойство имеет место для величии, находящихся в зависимости от нескольких данных и нескольких величин, остающихся неопределенны-ми.

Как и существование, зависимость ю^ф. должна определяться построением, производимым с элементами а, Ь, с,..., которые даны, и с

элементами х, у, z которые остаются неопределенными, т.е. такими, для

которых построение уже ие дано. При таком понимании, подходящем под евклидово, совершенно исключается бесконечность, и поризм еще не вы-зывает идей аналитической геометрии.

Только введя актуальную бесконечность, гак это сделал Р. Симп- сон и другие до него, мы получаем поризм в той форме, от ісоторой уже легко перейти к основным проблемам аналитической геометрии.

Было бы неправильно думать, что такое понимание поризмов по-явилось только у Р. Симпсона. Оно должно было зародиться тогда, когда математическая мысль пропиталась актуальной бесконечностью, когда метод неделимых выступил как мощный математический аппарат.

"Поризм, - говорит Р. Симпсон8, - это предлоэюение, в котором высказывается, что одной или многим данным величинам (неизменным), а также бесконечно многим, не данным, но находящимся к данным в оп-ределенных отношениях, присуще некоторое общее свойство".

Клюгель в своем словаре дает слово в слово симпсоповское опре-деление поризма, ио прибавляет свое сокращение.

Поризм, по Клюгелю, - это задача, в которой требуется каким-либо образом найти нечто, опреде-ленным образом связанное с неопределенным1'.

При тагам понимании поризма под это понятие сейчас же подво-дится определение кривой буквенным уравнением между координатами точек (х, у), в которое входят параметры а,Ь,с,..., если только спроектировать в прошлое, как это делает Р. Симпсои, понимание неопределенной задачи, как задачи, имеющей бесконечное множество решений. Здесь ко-ординаты точек (х,у) дают бесконечное множество точек, находящихся в данном отношении к Ох и Оу. Заданными а,Ь,с,... здесь служат параметры.

Эти, правда, уже частного вида поризмы становятся возможными только при создании буквенной алгебры и приложении ее к геометрии.

Для разъяснения сущности поризма и пояснения его истолкования Симпсоном я приведу следующий пример.

Даиа окружность с центром С (фиг. 2). Из двух точек D и Е одна дана, другая же - искомая, определяемая пропорцией:

BD : BE=AD : АБ. (5)

М — произвольная точка на окружности, и общее свойство геомет-рического места -неизменность отношения DM : ЕМ.

Если бы, мысля ЕМ и DM как координаты, мы пожелали постро-ить задачу аналитической геометрии, отвечающую этому поризму, то полу-чили бы проблему об определении уравнения при заданной системе коор-динат, определяющего известную кривую (в настоящем случае - окруж-ность).

По-гречески тюро^1" означает то, что представляет переход, что можно перевести слова-ми "легкое заключение". В смысле короллария, те. непосредствен-ного следствия из доказанного предложения, термин "поризм" употребляется в "Началах" Евк-лида.

Но каким образом от этого понимания Евклид перешел к другому пониманию поризмов, как трудных и замысловатых задач?

Существенным в евклидовом поризме было не то, что он легок и прост, а то, что он образует переход, промелсуточное звено, и те поризмы, которые мы находим в "Началах", играют именно роль переходного моста от одного предложения к следующему, а вовсе не представляют вполне то, что потом назвали короллариями, т.е.

мелкими выводами из теоремы, в дальнейшем не используемыми.

Цейтен" считает те поризмы, которые находятся в утерянном со-чинении Евклида, именно такими переходными предложениями, относя-щимися к коническим сечениям, Таким образом, он, как и другие авторы, толкует поризмы, определяя их ие только их конструкцией, ио и характе-ром материала, к которому они относятся. Такое толкование несколько ис-кусственно, и едва ли "Данные" говорят в его пользу.

Существует целый ряд других толкований. Например, Жирар12 понимал поризмы как теоремы, относящиеся к пересечению прямых, что, конечно, неправильно.

\р ^ 1 / q Фиг. 3.

Ферма13 толковал поризмы шире, но тоже неправильно, отождествляя их с задачами на определение геометрического места. § 4. Если мы пожелаем выразить содержание поризмов в координатах, то получим большое многообразие координатных систем, как точек, так и прямых.

Так, возьмем вместе с Ша- лем14 следующий поризм, облекая его в алгебраическую форму (фиг. 3).

Даны три прямые L,L',L" , по положенню. Если из точки М одной из этих прямых 1 опустить перпендикуляры р и q на две другие прямые L',L", то можно найти такую длину а и такое число X , что перпен-дикуляр р вместе с а будет к q находиться в отношении, равном % :

Р + а ,

—=Х (б)

Здесь координатами точки являются ее расстояния от двух прямых, и уравнение (6) определяет прямую.

Фиг. 4.

Вот другой пример, приводящий к координатам прямой и к уравнению точки. Две прямые заданы по положению, и на них точки А и В (фиг. 4). Если проводить прямые mm1 так, чтобы отрезок Am вместе с линией а находился в данном отношении х к отрезу Вт1, т.е.

(7)

Am 4-а Вт1

то прямые mm все пройдут через одну точку.

§ 5, Наряду с поризмами у античных математиков выступают еще лестные теоремы и места.

В местной теореме" устанавливается свойство, присущее определенной кривой. Так, для окружности местной теоремой устанавливается, что (см. фиг. 2)

ЕА : ЕВ = DA : DB, отношение ME;MD оказывается для всех точек одинаковым.

Обращаясь к схеме § 2 для получения схемы местной теоремы, мы должны изменить условие, введя вместо

Фі (a,b,c,...) =ф. (a,b,c,...)

условие

(pi(x,y,z,...,a,b,c,...)=(|)i(x,y,z,...,a,b,c,...)

и оставляя заключение (2) или, вернее, (3).

В месте же, наоборот, определяется, какой кривой присуще данное свойство. Схема остается, конечно, та же.

Таким образом, местную теорему и место не следует мыслить как частные виды поризмов, а скорее как другие разновидности очень общей проблемы.

В аналитической геометрии этим проблемам отвечают:

определение свойств кривой, заданной уравнением;

определение уравнения кривой по ее свойствам.

§ 6. Чтобы установить, что поризмами могут служить предложения, лежащие вне сферы аналитической геометрии, приведем некоторые примеры, тоже облекая их в алгебраическую форму, причем схема вывода (2) § 2 будет оставаться в силе. Схема вывода (3) § 2 может быть уравнением, выражающим зависимость между

a,b,c,...,x,y,z,...

я вытекающим из ф(..

Но (3) может быть и тождеством. Этот случай остается в стороне от аналитической геометрии.

Толкование поризма Плайфайром14 обнимает и этот случай, Поризмы, по его мнению, являются предложениями, в которых утверждается, что можно найти такие условия, при которых некоторая задача становится неопределенной, т.е. имеет бесконечное множество решений.

Но нельзя не признать вместе с тем узость этого определения, так как поризм выявляет не только то, что существует бесконечное множество решений, ио и дает его характеристику.

Приводим пример поризма, подходящий под толкование. Дана прямая АВ. Поризм утверждает существование на отрезке АВ такой точки D, что прямоугольник со сторонами АС и СВ вместе с S (некоторой площадью) равен квадрату, построенному на CD, где бы ни была взята точка С за В.

Полагая АВ = a, BD = Ь, ВС = х, имеем согласно условию (а + х) х + S=(b -I- х)2,

или

ax + S = b2+2bx. (8)

Чтобы доказать этот поризм, мы должны убедиться, что (8) сводится к тождеству при надлеясаще выбранных S и Ь, для чего положим:

b=—a; S =—а2.

2 4

Вот еще пример, более А сложный.

На прямой даны точки A,B,C,D (фиг. 6), даны АВ = а, ВС = b, AD = с, АЕ = х. Поризм утвержда- в*- ет существование такой точки D и такого отрезка f, что Фиг. 6.

ВС х СЕ = AD х АЕ + BE х f,

или на языке алгебры

b(a-b+x)=cx+(a+x)f. (9)

Равенство (9) становится тождеством при

c=b^_ _b(a-b) а ' а

Под схему Плайфайра можно подвести и приведенный выше пример (фиг. 2). Если не ставится никакого ограничения на положения D, Е на диаметре относительно окружности, то условие DM : ЕМ = X дает одно определенное решение на АВ. Но если

CD: СА = СА : СЕ = х, то здача оказывается неопределенной, и мы будем иметь поризм.

Плайфайр дает прекрасный пример, выявляющий сущность пориз-ма в его понимании: через данную точну М (фиг. б) требуется провести прямую так, чтобы сумма расстояний от точек М,, М,,... М-с одной стороны равнялась сумме расстояний отточек М^, М3,... - с другой. Ответ: прямую следует провести через центр тяжести точек М,,..., Мл.

Но если сама точка М совпадает с центром тяжести, то задача оказывается уже неопределенной. Чтобы облечь ее в алгебраическую форму,

следует принять за данные - координаты точек N1 (aj • bj), за неизвестные - координаты прямой (?,, я). Задача ставится о разыскании (?,, і]) . В случае поризма

Фиг. 7.

b =

Zb>

а=-

и вместо определенных значений (?,, г|) мы имеем уравнение

А^+Вт| + С=0, определяющее пучок прямых с вершиной в

м.

Фиг. 8.

В пояснение определения Плайфай- ра молено привести еще следующий пример: определение кометной орбиты приводит к задаче о проведении прямой так, чтобы отношения отрезков между четырьмя данными прямыми АВ : ВС, ВС : CD были данные (фиг. 8). Решение дается Ньютоном в предложении 56 его " Arithmetics, universalis" (1707)17. Но в некоторых случаях возникает неопределенность, на что указали Боскович и Кастильон18.

Такой случай в действительности встретился при определении эфе-мерной кометы 1739 г.

§ 7. Переходим теперь к данным, отвечающим схеме вывода (3). Шаль формулирует сущность данных следующим, правда несколько неясным, образом:

Данные - это предлолсения, в которых одна или несколько вещей, к которым относится вопрос, ие имеют в формулировке предлолсения опре-деленной величины и пололсения в силу предположения. Но само предло- лсение сводится к утверлсдению, что определенные величины и положения содержатся неявно в предпололсении, следствием которого оно и является и может быть осуществлено.

Это то, что Евклид выражает словами "вещь дана", причем следует предполагать, что вещь дана виртуально, т.е. содержится неявно в предположении и молсет быть отсюда выведена".

Такое толкование не вполне соответствует намеченной нами в § 2 схеме (3). В толковании Шаля не выявлен экзистенциальный характер данных. Данные не выводят свойств вещи, но только ее существование, в ухса- заином выше евклидовом толковании.

В предложении 60 "Данных" Евклид указывает, что если, две величины а и b находятся в данном отношении %, то составленная из них величина а + Ь находится в данном отношении к каждой а или Ь.

Если бы Евклид, заключает Шаль, хотел из этого предложения сделать теорему в собственном смысле (т.е. в смысле "Начал"), он должен был бы указать, что отношение

(a+b):a = (X + l):X, а(а+Ь):Ь = (Ь + 1):1.

Другой пример (предл. 86); если в треугольнике задан угол, то прямоугольник, построенный на заключающих его сторонах, находится к треугольнику (т.е. к его площади) в данном отношении. Если указать, что это

2

значение равно sjn (определив синус); то получится теорема.

Приведем еще пример (предл. 89): если в данной окружности дана по величине и направлению хорда, то она ограничивает сегмент, заключающий данный угол. Теорема получается, если добавим, что этот угол равен половине соответствующего центрального угла. § 8. Укажем, какую роль сыграли "Данные" в истории геометрии. Аристотелевскую первую проблему "существует ли вещь?" нельзя отделить от второй - "как она существует?".

Равным образом, задачу об евклидовом существовании, нельзя отделить от задачи о том, каково это существование, а задачу о возможности построения - от задачи осуществления этого построения.

К решению первой проблемы следует мало прибавить, чтобы получить вторую. Схема (3) превращается в схему (1), если вывод

Ф(а,Ь,с,...) = Л

привести к эквивалентности проблематического построения с построением осуществляющим.

Различие с (1) будет только то, что в схеме (1), отвечающей теореме, и Ф (а,Ь,с,...),и ф(а,Ь,с,...) суть вполне определенные построения, вполне осуществляемые, а теперь Ф характеризует только некое проблематическое построение; указывается, как Ф получается из а,Ь,с,..„ но не доказывается возможность этого получения, прежде чем не будет указано, что

Ф(а,Ь,с,...)зф(а,Ь,с,...).

Решение уравнения следует понимать в том смысле, что неявное определение х уравнением дает тот же результат, что явное определение.

При чисто геометрическом мышлении античные математики вместо преобразования;

х2 +px + q = 0

развертывают ряд геометрических тождеств.

Окончательной формуле отвечает построение, дающее неизвестное. По этому пути Евклид в "Началах" продвинулся недалеко. Античная геометрическая алгебра Евклида, изложенная в книгах II и X "Начал", выполняет те функции, которые в настоящее время берет на себя символическая алгебра20. Геометрическим тождествам книги II отвечают следующие тождества рационального типа: 7) ab + ac =а(Ь + с);

ab + a(a-b) = a2;

ab = b(a-b)-f-b2;

Ч»+Ъ)Ь+(1) «(f+ь

a2 +bJ =2ab + (a-b)2 ;

4ab-l-(a-b)2 = (a-)-b)2; a

4) a2 = b2 + (a -b)2 + 2b (a - b) ; 9) (a-b)3 -l-b2 =2| +(f+b

5) (a-b)b +

10) (a+b)2 + b2 =2| Книга П пополняется предложениями 28 и 29 книги VI, в которых дается решение одной геометрической задачи, из которой извлекается решение квадратного уравнения.

Впрочем, и предложение 11 книги II "Начал" (задача о золотом сечении) дает тоже решение квадратного уравнения, но, правда, только специального типа:

х(а-х)=а2 (10)

"Данные" уже в силу самой постановки проблемы не дают окончательного решения; они задаются целью только обнаружить возможность получения неизвестного путем его построения, но, как мы выше заметили, немного следует прибавить, чтобы перейти от возможного построения к его осуществлению. Так как неявное задание х представляет именно про- блематическое построение, неосуществленное, которое может осуществиться только, если х дано, естественно ожидать толчка к развитию решения уравнения іменно со стороны "Данных", а не "Начал" Евклида.

Так это и было. Предложения 84 и 85 "Данных" в переводе на .язык символической алгебры подводят к решению системы уравнений:

ху=Ъ\ (11)

х±У=а,

а вместе с тем, конечно, и квадратного уравнения

х2 - ах = ±Ь2, (12)

т.е. к решению той задачи, которая решается по-иному в предложениях 28 и 29 книги VI "Начал".

§ 9. Интересно отметить, что те же "Данные" подводят и к решению треугольников и заключают своего рода античную тригонометрию.

Мы приводим предложения "Данных" в символической форме с соответствующими тригонометрическими формулами.

При этом S есть площадь треугольника, а,Ь,с - его стороны, А,В,С - углы. Предложения:

a2~b2-c2 bcsinA (64) А - тупой —> дано; а>=Ь ч-с -)-bccosA;

і 2 2

(65,67) А-острый -»¦ дано; a =b +с -2bccosA;

g_ bcsinA 2

be 0 besin A (66) А дан — дано; Ь=—-—,

С .Z

ha

(76) А, В, С, ->—дано; a=ha (cosB+cosC). a 1

(Здесь ha - высота, опущенная на а.)

§ 10. Мы отошли бы, конечно, очень далеко от характера античной мысли, если бы взглянули, как это делают некоторые, на поризмы и данные с функциональной точки зрения21.

Но мы все-таки ие можем оставить в стороне и этот подход, так как он в некоторой мере позволяет отметить различие поризмов и данных и обнаружить два различно направленных течения, идущие от этих двух типов геометрических проблем до выявления понятия функции. Можно сказать, что поризм подводит к уравнению, причем неопределенному, не выражающему х через а,Ь,с,.„, но выражающему у в функции переменного х, обнаруживая изменение у вместе с х, а также выявляя характер этого изменения. Данные же обнаруживают, что х при изменении (х,у) не меняется.

Можно сказать, что, если в поризме мы находим в эмбриональном состоянии основную идею определения геометрического места уравнением, то в данных мы видим нечто, отвечающее теории инвариантов22.

Но такая точка зрения, конечно, есть достояние уже весьма отдаленного от возникновения аналитической геометрии времени, - времени, завершающегося возникновением идеи преобразований, образующих группу, и идеи инварианта, характеризующего эту группу. Для кривой второго порядка

Ах2 н-2Вху + Су2 + 2Dx + 2Ey+F = 0. (13)

В2 - АС и А + С - это известные инварианты, сохраняющиеся при линейном преобразовании.

<< | >>
Источник: Д.Д. МОРДУХАЙ-БОЛТОВСКОЙ. ФИЛОСОФИЯ, ПСИХОЛОГИЯ, МАТЕМАТИКА. 1998

Еще по теме ПОРИЗМЫ И ДАННЫ:

  1. 2.1. Тайный разум явной теории.
  2. ПОРИЗМЫ И ДАННЫ
  3. БИБЛИОГРАФИЯ
  4. Поризмы и данные