15. Кестнер; Врио и Бую

Известный методист-математик Кестнер26 разрешает общее уравнение кривой второго порядка:

a + fix+yy +5х2 +єху +?у2 =0, (25)

что дает:

- (ex + y)±J (ех + у)2 -4? (5x2 + 6x+a) У = ^ ! ¦ (26)

Из формулы (26) Кестнер делает заключения относительно асимптот или числа ветвей, причем облекает свои выводы в форму, в которой фигурирует еще не отмененный принцип исчезновения конечного в сравнении с бесконечно большим, а также бесконечного низшего порядка в срав-нении с бесконечным высшего порядка.

Величина под радикалом, говорит Кестнер, выражается так:

z = (s2 -4^5)х2 + срх + р, где ф,р определяются с помощью коэффициентов уравнения (26).

z = (e2 - 4?5)х2,

ибо остальные члены в сравнении с этим исчезают. Если є2 -4^5 > 0, то кривая линия имеет возможные ординаты для положительных и отрица-тельных бесконечных .т. Поэтому кривая не будет эллипсом. Далее, как и у Эйлера, делается заключение о существовании четырех ветвей и о том, что в рассматриваемом случае имеется гипербола.

Если є2 -4^5 < 0, то ординаты при бесконечных положительных и отрицательных абсциссах невозможны и имеется эллипс. При є2 - 4?5 =0 Кестнер берет z=срх + р , заставляет исчезать Р в сравнении с фх и получает параболу.

У Врио и Букэ27, учебник которых сыграл особенно важную роль в истории методики аналитической геометрии, парабола, эллипс и гипербола определяются еще в начале курса их фокальными свойствами (среди примеров определения геометрических мест уравнениями). Сейчас же за этими кривыми рассматриваются: циссоида Диоклеса, строфоида, улитка Паскаля и другие кривые.

Подробное изучение параболы, гиперболы и эллипса следует уже после изучения кривых второго порядка вообще.

В первую очередь дается построение линии второго порядка, представляющее изучение формы кривой по уравнению. Затем следует упрощение уравнения, введением к которому служит изучение центральных и диаметральных свойств кривых второго порядка. Конечно только последнее приводит к заключению, что под понятие кривой второго порядка подводятся лишь парабола, эллипс и гипербола и их известные вырождения.

Уравнение

Ах2 + Вху + Су2 +Dx+Ey + F = 0 (27) разрешается относительно у:

У =-Щ-^±~уІМхг+2Ш +Р (28)

и особо изучаются случаи:

М<0, М>0иМ = О.

Далее рассматриваются основные свойства кривой второго порядка. В преобразовании к осям и к центру мы теперь довольно близко следу-ем Врио и Бую.

Современные учебники ведут свое происхождение главным образом от большого руководства Сальмона28, который сам находится под влиянием курса Брио и Бую, и других родственных учебников.

Без сомнения, большое значение в развитии аналитической геометрии имело понятие предела, данное д'Аламбером, и понятие о единственности на прямой бесконетео удаленной точки, принадлежащее Понслэ.