§ 4. Бертран и Кестнер.
Чрезвычайно явственно выступает различие точек зрения рационалистов XVII в. и сенсуалистов XVIII века при сравнении вольфиаиских22'1 учебников с очень оригинальным в свое время произведением Бертрана Женевс-кого230 .
В основе рассуждений вольфианцев лежит представление зернистого строения пространства, зернами которого являются актуально бесконечно малые, в которых исчезает форма.
Это реальное строение пространства постигается своего рода со-зерцанием чистого разума, выходящим за пределы чувственности.
Даваемые рационалистами определения задаются целью не подве-дения под genus proximuin (ближайший род ) с помощью differentia specifica (различающего признака), но вскрывают внутреннюю структуру определяемой вещн; бескончено малый прямолинейный отрезок это некоторая концепция чистого разума, а не чувственный элемент, и из него слагается как прямая, так и кривая231.
С сенсуалистической точки зрения XVIII века232 математическое исследование начинается с переработки абстракцией опытного материала.
Из понятий круга и прямой, получаемых из опыта, ни одно не может претендовать на приоритет.
Понятие длины кривой не сводится к длине прямолинейного отрезка, а принимается как нечто само по себе понятное.
У Бертрана еще нет общей идеи предела и точного его определения, но отказавшись от отождествления233 круга с polygoinis infinitorum latenmi infinite parvonun (многоугольником с бесконечным числом бесконечно малых сторон) он доказывает, что длина окружности это предел впи-санных и описанных многоугольников.
Но у иего в основной теореме выступает не предел величины, а предел формы, так что он может быть помещен как раз в середине между Лейбницем с метафизической идеей предела и д'Алам бером, у которого эта идея подверглась если ие полной, то, во всяком случае, довольно глубокой математизации.
Теория Бертрана формулируется так:Круг - предел расширения (dilatation) правильных вписанных много-угольников с 6 • 2" сторонами, а равно предел сжимания (contraction) описанных многоугольников того -же числа сторон.
Для вывода отсюда длины окружности приходится пользоваться скрытой аксиомой о том, что если объект X имеет своим пределом А, то и величина, определяемая X; имеет своим пределом соответствующую величину А, что, конечно, представляет частный случай основного положения Лейбница23".
Другая скрытая аксиома: если расстояние точек вписанных в круг (или вообще в выпуклую кривую) многоугольника, отсчитываемых по радиусу от окружности (или вообще по прямым, соединяющим какую-либо точку внутри кривой с точками последней), бесконечно уменьшаются с увеличением числа сторон многоугольника, то многоугольник бесконечно приближается к кругу (или вообще к этой кривой).
Бертрану приходится пользоваться следующей доказываемой им леммой:
1) Если АВ хорда, SQ отрезок радиуса между дугой круга АВ и 1
хордой АВ, то SQ < — АВ. В этом же роде и вывод из общего положения
теоремы о площади круга235.
Примером колебания между точками зрения актуальной и потенциальной бесконечности представляется теория предела у Кестнера23'.
Он замечает, что разность между сектором круга и вписанным в него треугольником ОАВ меньше Д АСВ, а площадь последнего в сравнении с ОАВ может быть сделана как угодно мала237 .
С (площадь круга) = S (площадь многоугольника) + а - S
Но окончательная формулировка совершенно в вольфианском духе;
"Площадь круга одинакова с площадью многоугольник! с бесконечным числом бесконечно малых сторон".
Но самый ход рассуледений проникнут уже идеей предела.
Кестнер доказывает, что дуга подходит к своей хорде в желаемой близости, или, что отношения дуги к хорде может быть сделано гак угодно близко к отношению 1:1, что доказывается тем, что при уменьшении дуги, наибольшее расстояние ее точек от хорды может быть сделано как угодно мало.Следует здесь заметить, что Кестнер нигде не употребляет термина "предел", но скрытым образом пользуется лейбницианским принципом, заключая, что свойство площади равняться произведению длины периферии иа апофему, присущее S, остается и у С.