§ 3. Лейбниц и Ныотоп.
Идея переменного снова, и уже определенно, выступает на закате рациона-лизма в постепенно математизирующейся форме у Лейбница и у Ньютона.
Это сперва величина, изменяющаяся только во времени218.
Для всех изменяющихся величин устанавливается одно универсальное независимое переменное - это время t.Это сперва действительное время, а затем более абстрактное и общее умопостигаемое время, нечто, что в результате характеризуется одним признаком - служить универсальным независимым переменным.
Эта воскресшая идея в сочетании с идеей актуальной бесконечнос-ти, крепко владевшая умами этой эпохи, дает понятие предела в той форме, в которой она в довольно смутном виде выступает у Лейбница как метафизическая идея, а у Ныотоиа уже как математическая идея.
Некоторый объект X (ие обязательно величина) изменяется. Конечный результат достигается конечным или бесконечным процессом во времени. При этом время, в продолжении которого совершается бесконечный процесс, мыслится как актуально бесконечный промежуток времени.
Предел А мыслится всегда достигнутым объектом X.
Предел А рассматривается кис одна и:з форм, можно сказать, последняя форма. С этой идеей связывается основное свойство предела, выраженное Лейбницем в форме214: "Datis ordinatis eliam quaesita sunt ordinata", т.е. если данные (иначе говоря, различные значения или общие формы X) известным образом упорядочены, то тот же порядок имеет место и в искомых, что следует понимать (вводя математический термин "предел") в следующем смысле: "Свойства, присущие Xво все время его изменения, остаются и в пределе"..
Чисто метафизический принцип непрерывности natura non facit sallus (природа не делает скачков) устанавливает существование между объектами А и В еще промежуточного по своим свойствам объекта С = (А В)220.
Отсюда возникает мысль о необходимости прохождения каждым изменением объектов X непрерывной совокупности форм, из которых смежные между собой формы неразличимы.
Если изменение объекта X должно закончиться формой А, то между X и А существует бесконечное множество промежуточных форм.
Если при изменении X какое-либо свойство X остается неизменным, оно найдется и в А, ибо в противном случае делается скачок и, так сказать, в последний момент, когда изменение заканчивается, X улетучивалось бы.Поэтому принцип непрерывности с этим необходимым его следствием Лейбниц принимает за принцип общего порядка; он замечает, что этот принцип безусловно необходим в геометрии и полезен в физике.
Если эллипс с бесконечно возрастающей осью datum (данное), то и то, что присуще эллипсу (например, основное свойство фокуса и директ- риссы) остается неизменным в параболе221.
Эти лейбницианские идеи подвергаются у Ньютона математизации.
Основная лемма ньютоновского метода первых и последних от-ношений: величины и отношения величин, которые стремятся в данное время к равенству и в течение его могут приблизиться к нему ближе, чем на какую угодно данную разность, становятся, наконец, равны.
По латыни: quantitas ut et quanlilatum rationes, ad aequalitatem dato tempore constanter tendimt et eo paclo proprius ad invicem accedere possunl quam pro data quavis differentia funt ultimo aequales.
Перевод ultimo aequales проф. Крыловым222 -"« пределе равны совершенно искажает смысл, ибо создает представление не о последней их величине, о которой идет речь, а о величине, находящейся вне сферы возможных значений X, к которой X стремится, никогда ее не достигая, как это мыслили только позднейшие математики.
Доказывается эта лемма от противного:
"Если отвергнуть эту лемму, то разность их равна D. Поэтому не
могут приблизиться более, чем на D, что противно условию".
Последнее и первое отношения Ньютона не 'im ~ в нашем смысле; это значение х : у, когда х, у обращаются в нули или когда начинают расти с нуля.
Актуально бескончено малые метода неделимых ие подчинялись второму постулату "Начал" Евклида223 . Из х = у + а, где х и у конечны, a а бескончено мало, выводилось, что х = у, ибо, как говорили, а исчезало в сравнении с у~4.
Это исчезновение бескончено малых положено в основу техники метода флюксий Ньютона225.
Различие между предшественниками Ньютона и самим Ньютоном то, что первые признавали особые актуально бескончено малые постоянные величины, ие подчиняющиеся некоторым основным числовым законам. Ньютон же признавал особое состояние изменяющейся величины, когда она не представляет в собственном смысле величины, а только величину зарождающуюся226,
Можно говорить об отношении таких зарождающихся (или исчезающих) величин, но при этом из того, что X : У = А : А еще нельзя вывести, что X = У
Если раньше бесконечно-малая дуга отождествлялась стягивающей ее хорде227 , то Ньютон такого отождествления уже не делает.
Для него ratio arcus est chordae et ratio aequalitatis (последнее отношение дуги и хорды - это отношение равенства)228.