§ 5. Д'Аламбер> де ля Шаппель и Гурьев.
Только д'Аламбер дает определение предела238.
"Говорят, что величина - предел другой величины, когда вторая может приблизиться к первой ближе, чем иа заданную величину, как бы мала ни была, без того, чтобы приближающаяся величина могла превзойти ту, к которой она приближается и затем, чтобы разность этой величины и предела была бы абсолютно неуказуема".
Это определение, конечно не вполне совпадает с современным,
Во-первых, оно вовсе не требует, чтобы предел был постоянной величиной.
Если мы имеем две переменные величины X и У, и X догоняет У, никогда его не достигая, то, согласно определению д'Аламбера, У будет пределом.Во-вторых, дело идет только о переменном X, остающемся меньше предела А (хотя такое же определение тотчас устанавливается и для случая, когда X больше А). Таким образом, это определение не обнимает случая предела непрерывной дроби.
Чтобы понять сделанное д'Аламбером добавление "затем, чтобы разность этой величины и предела была бы абсолютно не указуема," предположим, что переменное X принимает значения
Хр X Х2, X',, хз, Х'з
где разности | А - XJ с возрастанием и бесконечно убывают, но к А - Х'п это уже не относится. А тогда уже не предел X.
На современном языке молено условие: "вторая может приблизиться. к первой ближе, чем на любую величину, как бы мала она ни была" выразить так: сколь бы мало ни было положительное число є , молено най- ти такое н, что
|A-XJ< s
Второе же условие таково: не существует е такого, чтобы принадлежащем выборе для некоторого 11 > v, имели бы |А - XJ > є.
Различие значения переменного и предела резко подчеркивается д'Аламбером. Предел, говорит д! Аламбер, никогда не совпадает и не становится равным величине, для которой он предел, но она приближается к нему все больше и больше, и может различаться как угодно мало.
д'Аламбер не мог бы написать: lim 3 = 3.
Идея предела и у д5 Аламбера не арифменшзироаана.
Примеры, приводимые д'Аламбером, указывают, что дело вдет не.
только о величине, но и о форме, как у Бертрана."Круг, например, предел вписанных и описанных многоугольников, так как он никогда точно с ними не совпадает, но может бесконечно с ним сблизиться".
Гурьев239 заменяет определение д' Аламбера следующим:
"Есть ли какая-нибудь величина от какого ни есть известного без конца продолжаться могущего действия всегда возрастает или убывает и от того к другой непременной величине приближается так, что может различаться с нею меньше, нежели всякая по произволению данная взятая того же рода величина и со всем тем никогда ее не достигает, то сия другая непременная величина есть то, что пределом первой (возрастающей и убывающей) мы называем".
Возражение Гурьева относится, собственно, не к даламберовскому определению предела, а к его сокращению, несколько его искажающему, в котором говорится, что "разность между переменной величиной и пределом может быть сколько угодно мала'". В этом только случае и возникает отмеченная Гурьевым двусмысленность; рядом с правильным пониманием возмолено и неправильное, а именно: что эта разность оказывается точно равной всякой заданной величине, как бы мала она ни была.
Гурьев подчеркивает, что предел обязательно постоянное.
Д-Аламбер и более тщательно де ля Шаппель24" основывают теорию пределов на двух положениях, которым предлагаются доказательства, оставляя таким образом основные постулаты под порогом сознания:
Если две величины суть пределы одной и той лее, то эти величины равны.
Пусгь А ¦ В произведение двух величин А и В.
Предположим, что С - предел А и D - предел В; я говорю: С • D -
произведение пределов, необходимо есть предел А ¦ В произведения А и В.
Первая лемма, играющая ту лее роль, что лемма Ньютона, превращающаяся у позднейших авторов в обычную 1-ю лемму элементарной теории пределов; если две переменные при своем изменении остаютсярав- тіьши, mo равны и их пределы, доказывается так:
Пусть Z и X пределы одной и той же величины Y, тогда Z = X, ибо если бы менаду ними имелась некоторая разность V, то X = Z ± V. Но по предположению Y может приблизиться к X как угодно близко, т.е. разность X и Y может быть сделана как угодно мала.
Так как Z различается от X на величину V, то отсюда следует, что Y не может приблизиться к Z ближе, чем на V, и поэтому Z не может быть пределом Y, что противно условию.