§ 6. Литье, Гурьев и Ла—Круа.

Откуда ведет происхождение вторая лемма современной элементарной теории пределов?

Я думаю - из работы Лголье2" , премированной, как лучшее в свое время сочинение на эту тему, изложение которой считалось в свое время безупречным в смысле строгости.

Именно у Люлье особое значение получает предел отношения, который он еще резче Ньютона различает от предела величины, каждое определяя в отдельности.

В определении д'Аламбера еще остается, но в затушеванном виде, бесконечно малое, как разность между пределом и переменной величиной, хотя это уже новое бесконечно малое, потенциальное, а ие актуальное, кис у Кеплера п Кавальєри, именно то, про которое мы говорим, что его предел есть нуль.

Но с таким бесконечно малым примирились лишь, лшого позже.

Самое определение предела у Люлье резко отличается от дапамбе- ровского и сближается с современным чисто порядковым определением242 :

Если переменная величина всегда остается меньше данного, но при этом может сделаться больше, чем всякая величина меньше данной, то она называется пределом переменной возрастающей (limes qnantitatis mutabilis crescentis).

По тому же образцу строится определение убывающей величины и также пределов отношений.

Основная лемма:

"Если всегда X : Y = m : п, то limX : limY = m : 11", доказывается методом исчерпывания (так как во многих учебниках лежавдроватипа рассматриваются случаи несоизмеримости).

Предполагается, что m : n = А : В' (В' < В) А = lim X, В = lim Y и получается противоречие с построенным определением предела.

Таким образом, Люлье вдет от постоянного отношения двух пере-менных к отношению их пределов.

В других случаях ом идет от предела отношения к отношению пределов.

X X

От lim— = 1 он заключает к lim X = lim Y, при этом lim— может Y Y

иметь смысл и тогда, когда lim X, lim Y потеряли смысл, как это и имеет

место для производной, ио если lim X и lim Y имеют смысл, то, конечно,

имеет смысл и lim^-, и молено идти в обратном направлении, чего, однако, Люлье никогда не делает.

По образцу, указываемому д'Аламбером, Бланше243 строит теорию пределов в своем издании элементов Лежандра, заменяя ею арифметизи- рованную Лелсандром методу исчерпывания древних.

Что длина окружности и площадь круга могут быть рассматриваемы гак пределы, это признается за очевидные положеїшя, хотя с указаниями (в духе Бертрана) на бесконечное сближение их форм.

В доказательство пропорциональности окружности радиусам скрытым образом входит признание

,. X limX

lim— =

Y limY

а в доказательство теоремы Архимеда244 - вторая лемма д'Аламбера.

Впрочем, еще до Бланше, элементы Лежандра подверглись методической переработке Лакруа245, и его учебник имел очень большое влияние на учебную литературу.

Он первый вводит туда теорию пределов; под влиянием отрицательного к ней отношения самого Лежандра.

При доказательстве первой теоремы об окружности, он выдвигает ньютоновскую лемму в следующем виде: если две неизменные величины А и В таковы, что молено доказать, что разность между А и В меньше всякой данной величины 5 , то эти величины равны: А = В.

К этой лемме присоединяется еще первая лемма д'Аламбера.

Изложение Гурьева иное24''.

Из своего определения предела, ісак некоторого постоянного, им выводится следующее заключение:

Если имеем две переменные величины X, Y, возрастающую и убывающую, так, что X < А < Y и при этом разность меледу X и Y может быть сделана меньше всякой данной величины, то А предел X и предел Y.

Если лее то лее имеет место и для В;

X < В < Y,

то выводится на основании однозначности предела, постулируемой первой леммой д'Аламбера, что А = В.

Легко видеть, какое применение находит это при выводе теоремы Архимеда247.

В конце концов элементарная теория пределов выкристаллизиру- ется в ту форму, которую находим в учебниках лежандрова типа248 , например, в русских учебниках Давидова2'"1 и Киселева250 .