§ 7. Логизация идеи пределов.

Если французам мы обязаны математизацией идеи пределов, то немцам и, еще больше, итальянцам - ее логизацией.

Следует попять, что античный математик никогда бы не признал эти теории логичными.

В то время, как античный логик, в глазах которого бесконечность в силу логических противоречий, в ней таящихся, не имеет никакого права гражданства в логике, оперирует только с классами, содержащими конечное число объектов, современный логистик в самое основание своих построений кладет бесконечный класс.

Таким образом, бесконечным классом в логизированной теории пределов является совокупность всех значений, принимаемых переменным:

а а а ...

I 2 J л

Конечно, для того, чтобы признать как раз то, что было с таким трудом ассимилировано, изменяющийся объект, содержащий всегда интуитивный элемент, неуловимый чистой логикой, этого мало.

Наряду с логикой классов следует выдвинуть и логику отношений с понятием порядка уже сомнительной логической чистоты, причем признать так жестоко раньше отвергнутую актуальную бесконечность не только как аморфную массу, но как бесконечность взаимоотношений между эле-ментами.

Переменное из объекта, которому присуще больше реальности, чем переходящим значениям а, а, а3 ... ап, через которые оно проходит, и о которых мы можем говорить, только если они пройдены или могут быть пройдены переменным, в конечном итоге обращается в символ, в тип расположения элементов бесконечного множества.

Но как определить последовательные элементы этого множества?

Конечно, только с помощью определенных операций над предшествующими элементами.

Можно сказать, что при логизировании точка зрения из объективной становится субъективной.

Сперва объект сам изменяется (см. определения д'Аламбера) и доказывающий становится в положение наблюдателя, теперь же объеюп исчез - доказывающий, с помощью операций, которые он тоже старается логизировать, воссоздает до какого угодно места ряд значений, принимаемых этим объектом.

Характерным признаком предела является не то, что между переменными X и А, при изменении X, бесконечно уменьшается разность, а то, что в ряде значений X, X, X.

Так что и здесь опять вводится актуально бесконечное, бесконечный класс операций, с помощью которых мы определяем разности X - А.

Арифметизированная математическая мысль признает только ряды

чисел:

Х2 Х} ... X и их предел А.

Предел определяется как число А, для которого существуют опера-ции, дающие для всякого (¦: такое v, что при n>v|A-XJ< є (J).

Предел сперва понимается как последнее значение переменного, затем гак то, к чему переменное бесконечно приближается, никогда с ним не совпадая.

Сперва предел существует совершенно так же, как существует каждое значение переменного: затем его бытие оказывается вроде бытия кан- товской вещи в самой себе251 относительно мира явлений: он вне сферы изменения переменного.

Третий этап - это совершенное уничтожение реальности предела даже в указанном смысле, что соответствует переходу от кантовской точки зрения к точке зрения Маха252 и Авенариуса253 , упраздняющей вещь в самой себе.

Предел выступает в смысле символа, сгущающего ряд чисел.

Несколько иная, но близкородственная точка зрения: предел как символ сходящегося, убывшощего или возрастающего ряда чисел.

X, X, X, ... хл

Тогда неравенство 1) заменяется на |Y„-Х|< в (2)

при 11 > V -

В геометрической теории пределов предел, конечно, ИИ в коем случае ие может быть низведен на роль только символа, как в арифметической теории пределов, иначе, теории иррациональных чисел.

И вот между геометрией и арифметикой начинается разделение, начинается разарифметизирование геометрии. За геометрическими пределами оставляется реальное, а не только символическое значение.

Второе условие д'Аламбера обращается в постулат Кантора254.

Если имеются два таких класса прямолинейных отрезков, что

ни один отрезок первого класса не больше любого отрезка второго класса и

при данном сколь угодно малом отрезке є в первом и во втором классе имется по отрезку, разность которых меньше е , то имеется отрезок, которой не меньше любого отрезка первого класса и не больше любого отрезка второго класса.

При этом постулируется релыюе существование такого предела.

Определение длины окружности и площадей круга, в которые обращаются теперь раньше доказываемые теоремы, оправдываются255 теперь доказательством выполняемое™ этих условий.

Длина окружности - предел вписанных многоугольников при удвоении числа сторон - оправдывается доказательством того, что разность между периметром п-уголышка и 2 и-угольиика может быть сделана как угодно мала при достаточно большом п.