§ 8. Порядковый характер предела.
Канторовский постулат представляет собой, в сущности говоря, развитие основной ньютоновской леммы, заменяемой ей равносильной первой леммой об однозначности предела.
Вывод этих лемм из остававшихся скрытыми аксиом претворяется в вывод канторовского постулата из аксиомы Дедекиида о сечетш.
Пусть точки данного отрез га разделены на два класса, причем:
всякая точка отрезка принадлежит одному из классов,
любая точка первого класса предшествует любой точке второго класса в данном направлении,
тогда на данном отрезке существует такая точка, что всякая точка, ей предшествующая, принадлежит к первому классу, а всякая за ней следующая - второму.
Так гак канторовский постулат выводится из дедекиндовского, то естественным является замела в определениях предела - сечением, и пере-ход к чисто порядковому определению предела.
Длина окружности, по Дедекинду, уже ие предел в даламберовом смысле, т.е.
периметр вписанного многоугольника, отрезок, который больше периметра всякого вписанного в окружность многоугольника и меньше периметра всякого описанного.С понятия предела теперь окончательно снимается количественный характер. Это уже чисто порядковое понятие; это только то, что следует за элементами множества А и предшествует элементам дополнительного множества А', при предположении, что нельзя указать среди элементов А последнего, а среди элементов А' - первого256.
Собственно говоря, идея предела совершила весь круг своей жизни.
То, чем если еще не окончательно сделался, то стремится стать
предел - нечто совершенно иное, чем предел д'Аламбера.
Нельзя сказать, чтобы динамический характер европейского мышления, который находится в определенной противоположности к статическому характеру античной мысли, был теперь совершенно уничтожен.
Он только переведен в плоскость производимых умом операций при творчестве нескончаемых рядов объектов, которые мыслятся уже не в движении, а окристаллизованиыми в своей чисто античной неподвижности.