§ 8. Порядковый характер предела.

Канторовский постулат представляет собой, в сущности говоря, развитие основной ньютоновской леммы, заменяемой ей равносильной первой леммой об однозначности предела.

Вывод этих лемм из остававшихся скрытыми аксиом претворяется в вывод канторовского постулата из аксиомы Дедекиида о сечетш.

Пусть точки данного отрез га разделены на два класса, причем:

всякая точка отрезка принадлежит одному из классов,

любая точка первого класса предшествует любой точке второго класса в данном направлении,

тогда на данном отрезке существует такая точка, что всякая точка, ей предшествующая, принадлежит к первому классу, а всякая за ней следующая - второму.

Так гак канторовский постулат выводится из дедекиндовского, то естественным является замела в определениях предела - сечением, и пере-ход к чисто порядковому определению предела.

Длина окружности, по Дедекинду, уже ие предел в даламберовом смысле, т.е.

С понятия предела теперь окончательно снимается количественный характер. Это уже чисто порядковое понятие; это только то, что следует за элементами множества А и предшествует элементам дополнительного множества А', при предположении, что нельзя указать среди элементов А последнего, а среди элементов А' - первого256.

Собственно говоря, идея предела совершила весь круг своей жизни.

То, чем если еще не окончательно сделался, то стремится стать

предел - нечто совершенно иное, чем предел д'Аламбера.

Нельзя сказать, чтобы динамический характер европейского мышления, который находится в определенной противоположности к статическому характеру античной мысли, был теперь совершенно уничтожен.

Он только переведен в плоскость производимых умом операций при творчестве нескончаемых рядов объектов, которые мыслятся уже не в движении, а окристаллизованиыми в своей чисто античной неподвижности.