§ 8. Л. Кертран об изогенности пространства.
Изогенность пространства впервые выдвигается JI. Бертраном21.
Его „охотник", путем опыта вскрывающий одну за другой основные геометрические истины, отмечает прежде всего наиболее характерное, так сказать бросающееся в глаза, свойство нашего пространства: его изогенность, тождественность его свойств в различных частях: Дасть пространства, говорит Бертран, которое заняло бы тело в одном месте, не отличается от того, которое оно заняло бы в другом, к чему мы еще прибавим, что пространство около всякого тела то же, что пространство около того лее тела, помещенного в другом месте".
В высокой степени интересно, как Бертран устанавливает понятие о плоскости и прямой.
Изогенность пространства - это первое, что дается наблюдением.
Второе, это возможность деления пространства иа две изогенные относительно границы части. „Пространство молено разделить на две части такие, что нельзя будет ничего сказать об одной, что равным образом нельзя сказать о другой, и более того, - таких, что их общая граница будет иметь с каждой из них те лее отношения в целом и частях".Такая граница и определяется Бертраном как плоскость. Точно таким же образом прямая определяется, кие граница, разделяющая плоскость на изогенные части.
Следует, однако, заметить, что аксиома об изогенности пространства и определение плоскости и прямой (или аксиомы о плоскости и прямой), как изогениых границ, не представляют у Бертрана работах аксиом. В теоремах они забываются. Бертран много блилее к Евклиду, чем это молено было бы олеидать. Между тем эти аксиомы он мог бы широко использовать.
Отчего окружность делится диаметром пополам? Потому, что обе лолуокрулености совершенно одинаково получаются с помощью диаметров. В обоих случаях центр, из которого описывается дуга, берется в одной и той же точке на диаметре, радиус одии и тот лее и границы те лее иа диаметре, но все это вполне определяет окруленость.
Отчего равноудаленные от перпендикуляра наклонные равны? Потому, что для получения их в изогенных частях, на которые делит плоскость прямая, перпендикулярная данной, производятся одии и те лее операции, вполне определяющие эти наклонные22; восстанавливается перпеи- дикуляр из одной и той же точки на прямую, откладываются на них одинаковые отрезки DB и DA, и соединяются концы их с той же точкой прямой23 .
Но если взять изотропное, но не изогенное пространство, то ука- заннное свойство будет наверняка иметь место только для случая прохождения перпендикуляра CD через центр изотропности О.
Но если этот пер-пендикуляр CD не пройдет через О, то при СА=СВ, DA вообще окажется не равным DB. Если длина отрезка убывает при вращении его около неподвижного конца с удалением другого от О, то DBВ случае неизогенного пространства, но только изотропного, теорема верна, если прямые пересекаются в точке О - центре изотропности.
Из общей аксиомы об изогенпости вытекает возможность построения симметричных фиіур (относительно плоскости в пространстве и прямой на плоскости), но это положение уже, чем приведенная аксиома.