§ 9. Гомогенность пространства.
Другое общее основное свойство евклидова пространства - его гомогенность24 . Оно остается неизменным и при изменении масштаба. Если все геометрические объекты уменьшить или увеличить в одной и той же пропорции, то свойства их остаются те же.
Валлис25 доказывал постулат о параллельных, устанавливая аксиому о возможности построения треугольника, подобного данному (или точнее, имеющего углы, равные углам данного).
Но аксиома о возможности построения подобных фигур - это уже аксиома о гомогенности. Это свойство вскользь отмечается Лапласом26, который говорит: „Восприятие пространства заключает в себе особенное свойство, которое само по себе очевидно и без которого нельзя строго обосновать свойство параллельных линий. Представление об ограниченном протяжении, например о круге, не содержит в себе ничего, что зависело бы от его абсолютной величины. Но если мы мысленно уменьшим его радиус, то мы непреодолимо должны будем уменьшить в том же отношении его окружность и стороны вписанных фигур. Эта пропорциональность представляется мне постулатом более естественным, нежели евклидов"27. Вполне определенно и ясно гомогенность пространства выдвигается бельгийским философом Дельбефом28. Для него, как для крайнего сенсуалиста, математическое пространство представляет близкое к истинному пространство, данное опытом с некоторой небольшой погрешностью. Для него истинное пространство совпадает с эмпирическим, а математическое коренным образом отличается от эмпирического.В то время, как эмпирическое пространство не изогенно - ибо нельзя сказать, что мир небесных тел таков же, как мир инфузорий - математическое пространство и изогенно, и гомогенно (т.е. фигуры его сохраняют свои свойства при всяком уменьшении масштаба). Математическое пространство по Дельбефу-это схема эмпирического пространства, в котором последнее является упрощенным и, благодаря этому упрощению, - способным подвергнуться математической обработке.
Интересно сравнить определение Л. Бертрана прямой линии, с определением Дельбефа, в общем приближающееся к евклидову1', "Прямая линия - это линия одно-родная (гомогенная), т.е. такая, части которой, безразлично как взятые, подобны между собой или различаются только по длине". На это можно возразить, что то же свойство однородности присуще и круту, но если вникнуть в выражение: "различаются только по длине" (или, что то же, только по величине), и принять в соображение, что Дельбеф выдвигает три элемента, по которым части линии различаются - форму, величину и направление, то возражение это отпадает, ибо у прямой формы и направление в различных точках одно и то же, части прямой различаются поэтому только величиной.Основной операцией при разрешении Дельбефом постулатов (т.е. вывод постулатов евклидовой геометрии из свойств изогенности и гомогенности пространства) является увеличение или уменьшение фигуры при сохранении ее формы, что мы будем называть преобразованием подобия. Доказательство Дельбефа того, что прямая определяется двумя точками из гомогенности пространства, можно представить в следующей форме:
В силу гомогенности прямой, всякий отрезок получается через подобное преобразование отрезка АВ так, что форма всякого отрезка определяется формой АВ и направление - направлением АВ. Совокупность всевозможных отрезков прямой, иначе говоря, сама прямая, определится, таким образом, отрезком.
Но такого рода преобразование достигается движением А или В по одному направлению, так что преобразование подобия сводится к вполне определенному движению точек А и В (раздвижению или сближению концов, по выражению самого Дельбефа) и поэтому задание А и В вполне определяет бесконечную совокупность отрезков, т.е. всю прямую. Определяя параллельные, как прямые одного направления, Дельбеф легко выводит равенство соответственных углов при пересечении двух параллельных третьей. Но ему приходится доказывать эквивалентность этого определения обычному евклидову. А именно, что:
1) две параллельные (в смысле Дельбефа) прямые не могут пересечься, как далеко мы их ни продолжили бы;? 2) две прямые не параллельные (в смысле Дельбефа), т.е. имею-щие различные направления, встречаются.
С первой частью Дельбеф легко справляется, замечая, что в противном случае эти прямые образовали бы различные направления. Вторая же часть устанавливается с помощью преобразования подобия. О
Пусть OR, PQ - различные направления, через точку р проводим pq того же напрааления, что и заставляет возрастать фигуру Opq, Тогда, вследствие сохранения Opq формы, Ор будет возрастать, pq - сохранять направление. В результате pq обратится в PQ, причем точка пересечения pq и Ор, сохраняясь при пре-образовании, останется и тогда pq обратится в PQ, т. е. PQ пересечет OR в некоторой точке R (черт. 1). Черт 1
Еще по теме § 9. Гомогенность пространства.:
- 1. Линейные пространства. Нормированные пространства. Метрика, порожденная нормой. Ряды в нормированных пространствах. Абсолютная сходимость ряда и полнота нормированного пространства. Факторпространства
- Гомогенность
- 3.4.1. Ингибирование активности липолитических ферментов хитозаном в гомогенных водных растворах
- Тема: Коэффициент размножения нейтронов в гомогенной смеси естественного урана и замедлителя
- III.5.4. Понимание пространства и времени в истории философии и естествознания. Пространство и время как формы бытия движущейся материи
- 1.2.1. Определение. Линейное пространство называется нормированным пространством,
- 2 Сознание связывает пространство с различными формами бытия и в зависимости от этого строит пространство разнообразное и многообразное по объему, по форме, по содержанию и пр.
- Тема 4. Системы векторов. N-мерное векторное пространство. Евклидово пространство. Линейные операторы.
- 5. Изоморфизм и изометрия сепарабельных гильбертовых пространств. Общий вид линейного функционала в гильбертовом пространстве. Теорема Рисса-Фишера.
- 4. Понятие метрического пространства и топологии, определяемой метрикой. Примеры метрических пространств
- 1. Сходящиеся последовательности в метрических пространствах и полные метрические пространства
- Пространство опыта и опыт пространства
- Пространство 1 То, что человек называет пространством есть его представление об особом расположении и взаимодействии субъектов, которые способствуют или противостоят человеку при решении им своей задачи.
- Теорема 4 Часть тела не занимает один раз большего пространства, чем другой раз, и наоборот, то же пространство не содержит один раз более тела, чем другой раз.
- §10. Пространства иеизогенпо-гомогеппые и пегомогеппо-изогепи ые.
- 3.2. Локализация в пространстве
- 4. Пространство и время