<<
>>

9. Пространства и размерности

              Пространство играло решающую роль в построении картины мира,  оно же основное понятие всех разделов физики. Пространство является основной философской и физической категорией, и к настоящему времени достаточно определено.

Двойственность философских представлений о пространстве не могла не сказаться на физических и математических представлениях. Помимо совершенно разных подходов к описанию свойств пространства, основанных на представлениях Ньютона, с одной стороны, и Лейбница, с другой, первый из которых пространство абсолютизирует, а второй  - делает зависимым от свойств движущихся в нем объектов, в физике существуют два вида представлений о пространстве: во-первых, как о материальном, обладающем определенными объективными свойствами, во- вторых, как об идеальном вместилище различных исследуемых объектов,  иногда тоже идеальных. И в том, и в другом смысле пространство выражает порядок сосуществования отдельных объектов. Примером идеального пространства является фазовое пространство, дающее возможность изображать движения. При этом выражается порядок между идеальными объектами, являющимися образами реальных. Чтобы избежать слова "идеальный", такие пространства называют абстрактными. Однако степень абстрагирования здесь по сравнению с математическими абстрактными пространствами невелика. Если в математических пространствах объектами выступают идеальные понятия: функции, функционалы, операторы и т.д., не имеющие материального воплощения, зачастую даже непредставимые, то объектами фазового пространства являются вполне наглядные геометрические множества. Заметим, что у категории "время", всегда выступающей "в связке" с пространством, идеальных аналогов нет, по-видимому, несмотря на свою материальность время в человеческом сознании весьма идеально.

              Свойства пространства делятся на метрические (протяженность, длина) и топологические ( размерность, непрерывность и связность).

Эти характеристики вводятся и для реального физического пространства, и для идеальных пространств. Очевидно, что диапазон изменения  пространственных свойств гораздо шире в идеальном случае. Будучи плодом творения человеческой мысли, хотя и отражая некоторые реальные сущности, идеальное (абстрактное) пространство  допускает существование объектов бесконечной и нулевой протяженности, может обладать любой положительной целой размерностью и т.д.

  Одной из важнейших количественных характеристик пространства является его размерность. Она определяет его топологические свойства. Известно, что размерность реального физического пространства равна трем, хотя  в математике узаконены представления о плоскости как о пространстве размерности "два" и о прямой как о пространстве размерности "один", тоже широко распространенные. При этом размерность пространства равна числу независимых координат, при помощи которых можно описать любой объект, помещенный в данное пространство.  Довольно часто в физике встречаются системы, для описания которых требуется число независимых переменных, большее трех, иногда довольно большое. В этом случае говорят о фазовых пространствах размерности четыре и более. Если четырехмерное фазовое пространство еще можно, хотя и с большими оговорками, сопоставить с четырехмерным пространством – временем, введенном теорией относительности, то уже пятимерное пространство материальных аналогов не имеет. Широко используемые в физике фазовые пространства для сред, например, жидкостей, являются бесконечномерными. Несмотря на довольно сложное устройство, такое пространство хотя и непредставимо чисто зрительно, все равно интуитивно представляется большинством физиков, и стало вполне обыденным физическим понятием.

Сложнее обстоит дело с размерностью объектов, находящихся в фазовом пространстве. До последнего времени всем материальным объектам и объектам фазовых пространств приписывалась та или иная, иногда даже бесконечно большая, но целая размерность. В пространстве размерности  "три " могли помещаться объекты размерности 0, 1, 2 и 3, и это совпадало с практическими представлениями о размерности тел.

Однако новые открытия качественной теории динамических систем вносят изменение в понятие размерности объектов, занимающих то или иное пространство. Было обнаружено, что хаотическим режимам динамики нелинейных диссипативных систем соответствуют некоторые множества фазового пространства, которые далеко не заполняют фазового пространства. Ранее говорилось, что такие множества, странные аттракторы, имеют дробную размерность. Эта размерность в отличие от принятой ранее физической называется фрактальной, а множества с такой дробной размерностью - фрактальными. Простейшая аналогия хаотического фрактального множества - клубок шерстяных ниток, который, хотя и располагается в трехмерном пространстве, по-видимому вполне трехмерным не является, потому что представляет собой свернутую линию с пустотами между витками. В настоящее время известно, что дробная часть фрактальной размерности является количественной мерой степени хаотичности системы, чем поведение системы хаотичнее, тем ближе дробная часть фрактальной размерности к единице. Сейчас принято говорить о нескольких видах нецелых размерностей: размерности  Хаусдорфа, информационной, ляпуновской, корреляционной и т. д.  Вводимые по разному, все они являются  характеристиками странных аттракторов и не противоречат одна другой. Некоторые из них зависят только от метрических свойств соответствующих множеств, некоторые – еще и от статистических характеристик движения. Фрактальные множества помещаются в фазовых пространствах с целой размерностью, хотя возникает вопрос: не следует ли в хаотических режимах приписывать и фазовым пространствам дробную размерность, несколько большую, чем размерность помещаемых в нем множеств? Этот вопрос эквивалентен следующему: меняются ли в хаотических режимах топологические характеристики всего пространства, в первую очередь размерность, и можно ли считать, что существуют пространства, хотя бы и абстрактные, с дробной размерностью? [38]Вспомним, что после открытия теории относительности и квантовой механики  пришлось пересмотреть привычные взгляды  на  метрические и топологические свойства пространства, в частности признать его искривленность, зависимость длин тел от скорости движения, ввести квантование пространства в микромире.
Смысл понятия "пространства" после этого претерпел существенные изменения.

   Связь всего вышесказанного  с характеристиками  реального физического пространства станет ясна после того, как мы скажем, что открытие фрактальных множеств в фазовых пространствах породило целую волну поисков реально существующих фрактальных множеств. Результаты этих исследований были поистине удивительными.  Подобно тому, что абсолютное большинство реальных физических систем оказались способными демонстрировать ранее неизвестное хаотическое поведение, большинство реальных систем оказались и фрактальными, т. е. имеющими дробные размерности. Фрактальную природу, например, имеют многие вещества, как естественные, так и синтезированные, многие кристаллические образования, снежинки, кристаллы многих химических элементов, кораллы, кожа человека и животных, водоросли и микроорганизмы, вообще все пористые образования, а кроме того изображения на картах некоторых географических объектов, например океанических береговых линий. Живой мире, в отличие от ранее сформировавшихся представлений, оказался не трехмерным. а обладающим различными дробными размерностями. Все эти объекты обладают дробной размерностью! Если к этому добавить, что многие реальные системы еще и движутся хаотически, то вопрос о соответствии характеристик абстрактного фазового пространства и реального физического покажется вполне обоснованным. Поскольку все движения развиваются не только в пространстве, но и во времени, следует задуматься вот над чем. Не обладает ли пространство – время, которое на настоящий момент считается четырехмерным, в хаотических режимах дробной размерностью?

Перейдем теперь к обсуждению метрических свойств пространства. Основной метрической характеристикой пространства является протяженность. Под протяженностью понимается свойство всякого материального тела занимать определенную часть пространства, обладать пространственными размерами, т.е. иметь длину, ширину, высоту, а стало быть объем и площадь.

Именно благодаря протяженности тела можно сравнивать по величине. Однако после открытия фрактальных объектов понятие "протяженность", по-видимому должно быть переосмысленно.[38] В самом деле, фрактальные множества имеют необычную, сложную, "странную" геометрическую структуру. Вспомним еще раз самые "старые" фрактальные множества, канторово (1883 г.) и кривую Кох (1904г.), о которых мы говорили в первой главе. Кривая Кох напоминает сложнейший лабиринт, почти целиком заполняющий плоскость, а каторово множество представляет собой бесконечное число  заполняющих единичный отрезок очень маленьких "дырок", разделенных точками.  Рассмотрение этих множеств заставляет понять, что вычислить длину в привычном для нас понимании для них невозможно. Поскольку размерность кривой Кох превышает единицу, для нее следует говорить не только о длине, но и о ширине, и с тем же успехом. Протяженность как свойство объектов иметь размеры, для фракталов по-видимому, теряет смысл. Для фрактальных объектов с размерностями более единицы стоит задуматься о площадях, а с размерностями более двойки – об объемах. Вычисление площадей и объемов фрактальных тел на сегодняшний день весьма проблематично, если вообще имеет смысл. Для того чтобы, вычислять площади и объемы фрактальных объектов, математикам и физикам следует прийти к некоторым соглашениям, но и после этого станет возможным только приближенное вычисление этих величин. Если вспомнить, что фрактальность является весьма общим свойством материального мира, то станет ясна важность подобного обсуждения. Итак, при изучении фракталов, мы сталкиваемся с необходимостью переосмысления метрических характеристик пространства: протяженности, длины, ширины, площади, объема.[38]Протяженность и длина для фракталов являются чем-то гораздо более сложным, чем для простых объектов. В этом случае привычные нам понятия  протяженности и длины должны быть переосмыслены и рассматриваться лишь как частный случай некоторых более сложных понятий.

<< | >>
Источник: В.В. Афанасьева. К ФИЛОСОФСКОМУ ОБОСНОВАНИЮ ФЕНОМЕНА ДЕТЕРМИНИРОВАННОГО ХАОСА 2010. 2010

Еще по теме 9. Пространства и размерности:

  1. ТВОРЧЕСКАЯ ПРИРОДА И СОЦИОКУЛЬТУРНАЯ РАЗМЕРНОСТЬ СОЗНАНИЯ
  2. Степени проверяемости, сравниваемые посредством размерностей
  3. Размерность множества кривых
  4. 9. Пространства и размерности
  5. 4. Пространство и время
  6. Проблема размерности пространства-времени и его бесконечности
  7. Пространство с n измерениями
  8. 7.2. Пространство и время
  9. Тема 4. Системы векторов. N-мерное векторное пространство. Евклидово пространство. Линейные операторы.
  10. 3.2. Тело человека: иерархия и символика соматического пространства
  11. 2.1.2. Методика свободной сортировки понятий как инструмент изучения семантического пространства образа мира подростка.
  12. Двухмерное семантическое пространство зрячих подростков:
  13. 2.4.1. Особенности семантического пространства образа мира у младших и старших подростков.
  14. Двухмерное семантическое пространство старших подростков:
  15. 2.5.1.Особенности семантического пространства образа мира у девочек и мальчиков подросткового возраста.
  16. 4.1. Результаты эмпирического изучения семантического пространства образа мира старших и младших подростков.
  17. 5. Существование собственного значения у вполне непрерывного оператора в гильбертовом пространстве. Наибольшее и наименьшее собственные значения. Спектральное разложение самосопряженных операторов. Теорема Гильберта-Шмидта о разложении по собственным векторам
  18. Размышления неспециалиста по вопросу синергетической интерпретации пространства Hesitation regarding synergetic space interpretation by a non-specialist