3.2 Метод анализа размерностей
Многие процессы, которые встречаются в практике, бывают настолько сложными, что не могут быть непосредственно описаны дифференциальными уравнениями [3, 5, 8]. В таких случаях очень ценным приёмом для выявления соотношения между переменными величинами служит анализ размерностей.
Этот метод не даёт полных сведений о соотношении между переменными, которое, в конечном счёте, должно быть выявлено экспериментально. Тем не менее, этот метод позволяет значительно сократить объём экспериментальных работ.Таким образом, эффективное применение метода размерности возможно только при комбинировании его с экспериментом; при этом должны быть известны все факторы или переменные величины, которые оказывают влияние на исследуемый процесс.
Анализ размерности даёт логичное распределение величин по безразмерным группам. В общем виде функциональная зависимость N может быть представлена в виде формулы, которая называется формулой размерности:
или (3.73)
.
Сюда входит (k + 1) величин с включением и величины N. Они могут быть переменными, постоянными, размерными и безразмерными. Однако в данном случае необходимо, чтобы для числовых величин, входящих в уравнение, которое характеризует физическое явление, была бы принята одна и та же система основных единиц измерения. При соблюдении этого условия уравнение остаётся справедливым при произвольно выбранной системе единиц измерения. Далее, эти основные единицы должны быть независимыми по своим размерностям, а число их таким, чтобы была возможность представить через них размерности всех величин, входящих в функциональную зависимость (3.73).
Такими единицами измерения могут быть любые три величины, входящие в уравнение (3.73) и являющиеся независимыми друг от друга в отношении размерности.
Если принять, например, за единицы измерения длину L и скорость V, тем самым имеем заданными единицу длины L и единицу времени
. Таким образом, для третьей единицы измерения нельзя принимать любую величину, размерность которой содержит только длину и время, такую как, например, ускорение, так как единица этой величины уже есть заданной в результате выбора единиц длины и скорости. Поэтому, дополнительно должна быть выбрана любая величина, в размерность которой входит масса, например, плотность, вязкость, сила и т.п. На практике, например, при гидравлических исследованиях, оказывается целесообразным принять следующие три единицы измерения: скорость V0 любой частицы потока, любую длину (диаметр трубопровода D или его длину L), плотность ρ выбранной частицы.
Размерность этих единиц измерения:
м/с; 
м; 
кг/м3.
Таким образом, уравнение для размерностей в соответствии с функциональной зависимостью (3.73) может быть представлено в следующем виде:
или (3.74)
.
Значения Ni и ni, взятые в системе основных единиц (метр, секунда, килограмм), можно выразить безразмерными числами:
; 
.
Поэтому, вместо уравнения (3.73) можно написать уравнение, в котором все величины выражены в относительных единицах (по отношению к V0, L0, ρ0):
.
Поскольку п1, п2, п3 представляют собой, соответственно, V0, L0, ρ0, то первые три члена уравнения превращаются в три единицы и функциональная зависимость принимает вид:
. (3.76)
В соответствии с π-теоремой любое соотношение между размерными величинами можно сформулировать как соотношение между безразмерными величинами. При исследованиях эта теорема позволяет определить связь не между самими переменными, а между некоторыми безразмерными их соотношениями, составленными по определённым законам.
Таким образом, функциональная зависимость между k + 1 размерными величинами N и ni 
в общем случае выражается как соотношение между (k + 1- 3) величинами π и πi (i = 4,5, ..., k), каждая из которых является безразмерной степенной комбинацией величин, входящих в функциональную зависимость. Безразмерные числа π носят характер критериев подобия, как это видно из следующего примера.
Пример 3.3. Определить функциональную зависимость для силы сопротивления F (Н = кг·м/с2), которую испытывает пластина при обтекании жидкостью в направлении её длины.
Функциональную зависимость силы сопротивления можно представить в виде функции от ряда независимых переменных и определить её в условиях сходства:
,
где 
скорость обтекания, м/с; 
площадь пластины, м2; 
плотность жидкости, кг/м3; 
динамический коэффициент вязкости, Па·с ([Па·с] = кг/м·с); 
ускорение свободного падения, м/с2; 
давление, Па (Па = кг/м·с); 
отношение высоты пластины к ее длине; 
угол наклона пластины к направлению потока.
Таким образом, величины 
и безразмерные, остальные шесть – размерные. Три из них: 
, 
и 
приняты за основные. В соответствии с π-теоремой здесь возможны только три безразмерных соотношения. Следовательно:
или
.
Учитывая равенство размерностей для числителя и знаменателя, найдём показатели степеней:
для силы сопротивления:
или
,
Откуда
1 = z (показатели слева и справа при кг);
- 2 = - x (показатели слева и справа при с);
1 = х + 2у - 3z (показатели слева и справа при м).
Решение этих уравнений даёт: x = 2; у = 1; z = 1.
Функциональная зависимость:
.
Аналогично получим:
- для вязкости:
имеем x1 = 1; у 1 = 0,5; z1 = 1.
Функциональная зависимость:
;
- для ускорения свободного падения:
имеем x2 = 2; у2 = - 0,5; z2 = 0.
Функциональная зависимость:
;
- для давления:
имеем x3 = 2; у3 = 0; z3 = 1.
Функциональная зависимость:
.
Очевидно, что
, 
, 
. Тогда искомая функциональная зависимость имеет вид:
.
Отсюда можно сделать вывод, что после исследования данного процесса при некоторых размерах, скоростях и т.п., можно установить как он будет протекать при других размерах и скоростях в том случае, если безразмерные отношения, составленные из этих переменных, для обоих случаев будут одинаковые. Итак, выводы, полученные при экспериментах с телами данных размеров, движущихся с данной скоростью и т.д., будут, очевидно, справедливы и для любых других размеров тела, скорости и т.д. при условии равенства безразмерных отношений 
с теми, что наблюдались при экспериментах.
Пример 3.4. На основе предыдущих исследований на лабораторном устройстве определить функциональную зависимость мощности N (Вт = кг·м2/с3) электродвигателя мешалки, которая необходима для перемешивания пульпы с реагентами в контактном чане.
Для подобия двух смесительных систем требуется:
- геометрическое подобие, при котором отношение величин для рассматриваемых систем должны быть равны между собой;
- кинематическое подобие, когда скорости в соответствующих точках должны быть в таком же отношении, как и скорости в других соответствующих точках, то есть пути движения пульпы должны быть подобными;
- динамическое подобие, которое требует, чтобы отношение сил в соответствующих точках было бы равным отношению сил в других соответствующих точках.
Если граничные условия фиксированные, можно одну переменную величину выразить через другие переменные, то есть функциональную зависимость мощности электродвигателя мешалки можно представить в виде функции от ряда независимых переменных величин и определить её по критериям подобия:
,
где 
диаметр мешалки, м; плотность пульпы, кг/м3; 
скорость вращения мешалки, с-1; динамический коэффициент вязкости, Па·с (Па·с=кг/м·с); ускорение свободного падения, м/с2 – угол наклона пластины к направлению потока.
Таким образом, имеем пять размерных величин, три из них: 
, и 
приняты за основные. В соответствии с π-теоремой здесь возможны только два безразмерных соотношения. Следовательно:
или
.
Учитывая равенство размерностей для числителя и знаменателя, найдём показатели степеней:
для мощности электродвигателя мешалки:
или
,
откуда
3 = z (показатели слева и справа при с);
1 = в (показатели слева и справа при кг);
2 = х - 3у (показатели слева и справа при м).
Решение этих уравнений даёт: x = 5; у = 1; z = 3.
Функциональная зависимость:
.
Аналогично получим:
- для вязкости:
имеем x1 = 2; у 1 = 1; z1 = 1.
Функциональная зависимость:
;
- для ускорения свободного падения:
имеем x2 = 1; у2 = 0; z2 = 1.
Функциональная зависимость:
;
Очевидно, что 
, . Тогда искомая функциональная зависимость имеет вид:
.
Отсюда можно сделать вывод, что после нахождения функциональной зависимости мощности электродвигателя мешалки при некоторых её параметрах, можно установить какой она будет и при других размерах и скоростях и т.п. в том случае, если безразмерные отношения для обоих случаев будут одинаковы. Итак, выводы, полученные на экспериментальном устройстве, будут справедливы и для любых других при условии равенства безразмерных отношений с теми, что наблюдались при экспериментах.
Пример 3.5. Исследуется процесс обогащения в тяжелосредном сепараторе. На параметрической схеме процесса тяжелосредной сепарации (рис. 3.5) указаны входящие, исходящие и контролируемые параметры, а также возможные препятствия:
- входные и контролируемые параметры: Qвх - производительность сепаратора по исходному материалу; Qсусп - расход суспензии; V - объём ковша; Δρ - разница в плотностях суспензии и разделяемой фракции; ω - скорость вращения элеваторного колеса; п - число ковшей элеваторного колеса;
- выходные и контролируемые параметры: Qк-т - производительность сепаратора по концентрата; Qотх - производительность сепаратора по отходам;
- препятствия (неучтённые параметры, оказывающие влияние на процесс): влажность, гранулометрический и фракционный состав.
 |
Проверяем, достаточно ли для расчёта модели количество параметров, для чего записываем размерности всех величин [Qвх] = кг/с; [Qсусп] = м3/с; [Δ] = кг/м3; [V] = м3; [
] = c–1; [Qотх] = кг/с; [n] = 8.
Основных размерных величин m = 3 (кг, м, с), поэтому в расчётах может быть использовано:
параметра, то есть Qотх, V , Δ, ω.
Поскольку учтены не все параметры, в функциональную зависимость между выбранными параметрами добавляется коэффициент k:
или с использованием основных единиц измерения M, L, T:
откуда:
0 = 3x - 3z (показатели слева и справа при L);
- 1 = - у - 3z (показатели слева и справа при T);
1 = z (показатели слева и справа при M).
Таким образом, x = 1; у = - 2; z = 1, то есть функциональная зависимость производительности сепаратора по отходам от объёма ковша, скорости вращения элеваторного колеса и разницы в плотности суспензии и разделяемой фракции имеет вид:
Величина коэффициента k определяется на основе предыдущих исследований при фиксированных параметрах: V = 0,25 м3; Δ = 100 кг/м3; = 0,035 c–1; n = 8, в результате которых установлено, что Qотх = 42 кг/с:
Формула 
является математической моделью исследуемого процесса.
Следует иметь в виду, что чем меньше значение коэффициента k, тем больше значение рассматриваемых параметров.
Пример 3.6. Исследуется процесс транспортировки концентрата крупностью 0,5 - 13 мм обезвоживающим элеватором багер-зумпфа:
- входные и контролируемые параметры: ω - вместимость ковша элеватора по твёрдому; ρ - плотность питания; V - скорость движения цепи элеватора;
- выходной и контролируемый параметр: Q - производительность обезвоживающего элеватора багер-зумпфа по классу 0,5 - 13 мм;
- постоянные параметры: коэффициент заполнения ковшей 
= 0,5; влажность, гранулометрический и фракционный состав.
В рассматриваемом примере:
Проверяем, достаточно ли для расчёта модели количество параметров, для чего записываем размерности всех величин: [ω] = м3; [ρ] = кг/м3; [V] = м/с.
Основных размерных величин т = 3 (кг, м, с), поэтому в расчётах может быть использовано:
параметра, то есть Q, V, 
, ω.
Поскольку учтены не все параметры, в функциональную зависимость между выбранными параметрами добавляется коэффициент k:
,
или с использованием основных единиц измерения M, L, T:
откуда
0 = 3x + у - 3z (показатели слева и справа при L);
- 1 = - у (показатели слева и справа при T);
1 = z (показатели слева и справа при M).
Таким образом, x = 2/3; у = 1; z = 1, то есть функциональная зависимость производительности обезвоживающего элеватора багер-зумпфа по классу 0,5-13 мм от объёма ковша, скорости движения цепи элеватора и плотности питания имеет вид:
.
Величина коэффициента k определяется на основе предыдущих исследований при фиксированных параметрах: V = 0,25 м/с; = 1400 кг/м3; = 50·10–3 м3 в результате которых установлено, что Q = 1,5 кг/с, кроме того, следует учесть коэффициент заполнения ковшей = 0,5 и тогда:
.
Формула 
является математической моделью процесса транспортировки концентрата крупностью 0,5-13 мм исследуемым обезвоживающим элеватором багер-зумпфа.
Следует иметь в виду, что чем меньше значение коэффициента k, тем больше значение рассматриваемых параметров.