3.3.1 Методы аналогий
Если два или несколько явлений, различных по своей физической природе, могут быть описаны одним и тем же дифференциальным уравнением с сохранением граничных условий, то эти явления называют аналогичными.
Метод аналогий расширяет возможности изучения явлений и уже давно получил широкое распространение [3, 6-9].В настоящее время во многих отраслях технической механики вообще и в механике жидкостей и газов отдельно успешно используются электрические, газогидравлические, акустические, магнитные, тепловые и другие аналогии. В гидродинамике применяют такие аналогии: электрогидродинамическая (ЭГДА), газогидравлическая (ГАГА), гидромагнитная (МАГА), мембранная, ламинарная, тепловая и диффузная.
Первые пять аналогий относятся к аналогиям безвихревого движения идеальной несжимаемой жидкости, потенциал скорости и функция течения которого удовлетворяют уравнению Лапласа:
;
. (3.77)
Граничные условия для тела, обтекаемого потенциальным потоком идеальной жидкости, будут:
- на поверхности тела в результате непроницаемости твёрдой стенки нормальная составляющая скорости равна нулю, то есть:
; (3.78)
- на бесконечности при плоскопараллельном потоке, направленном вдоль оси х:
и 
. (3.79)
Электрогидродинамическая аналогия (ЭГДА) базируется на том, что электрический потенциал φе и функция течения ψе удовлетворяют уравнению Лапласа (3.77).
Предельные условия в электрическом поле зависят от того, является ли тело проводником или диэлектриком. Если тело, которое находится в электрическом поле, диэлектрик, то граничные условия будут:
- на поверхности тела:
; (3.80)
- на бесконечности:
и 
, (3.81)
где 
напряжённость электрического поля на бесконечности.
Если модель изготовлена из электропроводящего материала, то граничные условия будут:
- на поверхности тела:
; (3.82)
-на бесконечности:
и 
. (3.83)
Сравнивая приведенные граничные условия, можно легко видеть, что для осуществления аналогии должны соблюдаться такие соответствия:
- если в электрическом поле поместить тело из непроводящего материала, то гидродинамическим величинам - потенциалу скорости, функции течения и скорости на бесконечности - соответствуют электрический потенциал, функция течения и напряжённость электрического поля на бесконечности. Будем называть эту аналогию аналогией А. Очевидно, что при аналогии А линии течения электрического и гидродинамического полей совпадают, а векторы электрического тока имеют то же направление, что и векторы скорости;
- если тело проводник, то потенциалу скоростей в гидродинамическом поле будет соответствовать функция течения в электрическом поле, а функция течения соответствует электрическому потенциалу. Соответствие скорости и напряжённости электрического поля на бесконечности остаётся прежним. Будем называть эту аналогию аналогией Б.
При соблюдении её векторы электрического тока и скорости во всём поле ортогональны.Однородное электрическое поле, в котором изучается обтекание профиля, может быть создано в жидком электролите, налитом в ванну, с помощью электропроводящей бумаги, фольги, тонкого слоя электропроводящей краски и др. В практике чаще всего используются ванны, заполненные чистой водопроводной водой, растворами медного купороса, серной и соляной кислоты. Концентрация растворов должна быть очень малой (0,002 - 0,005%), так как в противном случае происходят электрохимические процессы, и состав электролита меняется.
На рис. 3.6 приведены схемы электролитических ванн для моделей, изготовленных из проводящих (рис. 3.6 а) и непроводящих (рис. 3.6 б) материалов.
 |
При изучении потоков в патрубках, коленах, диффузорах и других элементах машин форма ванны определяется формой исследуемого элемента.
Гидромагнитная аналогия (МАГА) основана на том, что скалярный потенциал магнитного поля φм удовлетворяет при постоянном значении магнитной проницаемости уравнению Лапласа:
. (3.84)
Поскольку компоненты напряжённости магнитного поля равны:
; 
, (3.85)
то, соответственно, при выполнении одинаковых граничных условий магнитному потенциалу будет соответствовать гидродинамический потенциал, а проекциям скорости в потоке будут соответствовать проекции вектора напряжённости магнитного поля.
Эта аналогия из-за сложности измерений магнитного поля пока не получила широкого распространения.
Мембранная аналогия основана на том, что прогиб ненагруженной мембраны z удовлетворяет уравнению Лапласа:
, (3.86)
то есть прогиб соответствует гидродинамической функции ψ.
Тогда скорость плоского потока несжимаемой жидкости можно определить через прогиб в виде: 
; 
(3.87)
и
. (3.88)
Уравнение нагруженной мембраны является уравнением Пуассона и имеет вид:
, (3.89)
где р – остаточное давление на мембрану; τ – натяжение мембраны.
Последнее уравнение имеет в гидродинамике своим аналогом уравнение функции течения плоского вихревого потока идеальной несжимаемой жидкости во вращающейся системе координат:
, (3.90)
где 
угловая скорость вращения системы координат.
При использовании мембранной аналогии чаще всего применяют мыльные, белковые и резиновые плёнки. Аппаратура и методика мембранной аналогии хорошо разработаны.
Ламинарная аналогия основана на том, что для ламинарного движения вязкой жидкости между двумя близко расположенными пластинками существует потенциал средних скоростей. Соответственно, если между пластинами поместить любое тело, то спектр обтекания его будет отвечать обтеканию этого тела идеальной жидкостью.
Ламинарная аналогия, по сравнению с рассмотренными, имеет то преимущество, что она даёт визуализацию линий течения, в том числе и для неустойчивых процессов. Её недостаток - меньшая точность измерений и некоторое отклонение за счёт прилипания жидкости к обтекаемым телам.