3.1.8 Обобщение
Легко видеть, что тепловое и динамическое числа Пекле по физическому смыслу и форме аналогичны числам Рейнольдса. Итак, можно ввести три числа Рейнольдса: динамическое, тепловое и диффузное:
;
; (3.71)
.
В знаменателе этих формул находятся соответственно кинематическая вязкость, температуропроводность и коэффициент диффузии, то есть величины, которые зависят от вязкости. Поэтому при уменьшении вязкости все числа Рейнольдса будут расти, а при приближении величины вязкости к нулю динамическое, тепловое и диффузное числа Рейнольдса будут приближаться к бесконечности.
Аналогично можно получить динамическое, тепловое и диффузное числа Фурье.
При изучении тепловых и диффузионных процессов существенное значение имеют числа Прандтля, которые можно получить, как отношение соответствующих чисел Рейнольдса:
(3.72)
Первое число Прандтля называется тепловым, второе - диффузным, третье - смешанным.
Первое число Прандтля представляет собой отношение кинематической вязкости (перенос импульса) и коэффициента температуропроводности (перенос тепла). Поэтому, тепловое число Прандтля явно содержит только величины, определяющие физические свойства среды, то есть характеризуют соотношение поля скоростей и поля температур.
Это значит, такие поля будут подобные только при числе Pr = 1.Аналогичные соображения можно полностью перенести на диффузное число Прандтля. Оно характеризует соотношение между полем скоростей и полем концентраций. А смешанное число Прандтля - отношение температурного поля к полю концентраций.
В завершение приведём сводную таблицу цифр подобия процессов переноса количества движения, тепла и вещества в жидкостях и газах [6].
Таблица 3.1 - Числа подобия процессов переноса.
| Число подобия | Прандтля | Архимеда | Нуссельта | Фурье | Рейнольдса |
| Динамическое | – | Ar = gl3Δρ/ν2ρ | – | Fu = νt/l2 | Re = Vl/ν |
| Тепловое | Prτ = ν/ατ | Arτ = gl3βΔτ/ν2 | Nuτ = αl/λ | Fuτ = ατ /l2 | Reτ = Vl/ατ |
| Диффузионное | Pr∂ = ν/D | Ar∂ = gl3ξΔc/ν2 | Nu∂ = α∂l/D | Fu∂ = Dt/l2 | Re∂ = Vl/D |
Пример 3.1. Для проведения исследований рассчитать модель тракта суспензии, текущей по трубопроводу в бак кондиционной суспензии.
Поведение потока в данном случае может быть описано уравнением Навье-Стокса и уравнением неразрывности. Рассмотрим случай одномерного движения:
.
Первый член уравнения Навье-Стокса при постоянном движении равен нулю 
, уравнение неразрывности также дополнительных условий не вносит.
После преобразования имеем:
Таким образом, имеем три критерии подобия: Галилея 
, Эйлера 
и Рейнольдса 
. Итак скорость потока является функцией пяти параметров:
Проверяем, достаточно ли количество критериев подобия, для чего записываем размерности всех величин, входящих в три полученных критерия: [
] = [кг/м3]; [
] = [м2/с]; [
] = [Па] = [кг·м/с2]; [
] = [м/с]; [
] = [м].
Основных размерных величин т = 3 (кг, м, с); число критериев подобия должно быть:
,
где 
число параметров, от которых зависит скорость потока и, в этом примере 
, это 
, тогда 
. То есть решение верно и количество критериев подобия достаточно для расчёта модели.
Величины показателей тракта суспензии (натуры) приведены в табл. 3.2.
Таблица 3.2 - Величины показателей тракта суспензии (натуры)
| Показатель | Обозначение | Единица измерения | Величина |
| Плотность суспензии |  | кг/м3 | 1800 |
| Кинематический коэффициент вязкости суспензии |
| м2/с | 1,15 · 10–6 |
| Линейный размер (диаметр трубопровода) |
| м | 0,15 |
| Скорость течения суспензии в трубопроводе |
| м/с | 3,0 |
| Давление в трубопроводе |  | МПа | 0,2 |
Расчёт модели выполняется на основе равенства критериев подобия натуры и модели. В качестве моделирующей жидкости выбираем керосин с плотностью 
= 800 кг/м3 и кинематической вязкостью 
= 0,8·10–6 м2/с. Результаты расчёта масштабных коэффициентов для построения модели приведены в табл. 3.3.
Таблица 3.3 - Результаты расчёта масштабных коэффициентов
| Параметры, которые моделируются | Обозна-чение | Источник получения | Масштабный коэффициент | |
| Формула | величина | |||
| Физические свойства |  | Физические свойства натуры и модели |  | 0,44 |
 |  | 0,69 | ||
| Линейный размер (диаметр трубопровода) | |  :  |  | 0,78 |
| Скорость течения суспензии в трубопроводе | |  :  |  | 0,88 |
| Давление в трубопроводе | |  :  |  | 0,62 |
С учётом масштабных коэффициентов выполняется расчёт параметров модели (табл. 3.4), её построение и проведение на ней необходимого комплекса исследований.
Таблица 3.4 - Величины показателей модели
| Показатель | Обозначение | Единица измерения | Величина |
| Плотность суспензии | | кг/м3 | 800 |
| Кинематический коэффициент вязкости суспензии |
| м2/с | 0,8 · 10–6 |
| Линейный размер (диаметр трубопровода) |
| м | 0,12 |
| Скорость течения суспензии в трубопроводе |
| м/с | 2,64 |
| Давление в трубопроводе |  | МПа | 0,12 |
Пример 3.2. Рассчитать модель движения частицы различной плотности в суспензии заданной плотности в тяжелосредном сепараторе.
В сепараторе на частицу действуют инерционные силы, под действием которых она движется в горизонтальном направлении, и гравитационные силы, под действием которых частица в зависимости от плотности движется в вертикальном направлении. Итак, частица перемещается в плоскости ХΖ (рис. 3.4) в горизонтальном направлении со скоростью VГ потока суспензии и в вертикальном направлении со скоростью VВ, которая зависит от разницы в плотности частицы и взвеси.
 |
Таким образом, поскольку на частицу действуют инерционные и гравитационные силы, подобность может быть сохранена при равенстве критериев Рейнольдса и Архимеда:
Re 
- число Рейнольдса отражает отношение сил инерции к вязкости.
- Число Архимеда отражает отношение сил гравитации к вязкости.
И так скорость движения является функцией четырёх параметров:
Проверяем, достаточное количество критериев подобия, для чего записываем размерности всех величин, входящих в три полученных критерия: [] = [кг/м3]; [] = [м2/с]; [] = [м/с]; [] = [м].
Основных размерных величин m = 3 (кг, м, с); число критериев подобия должно быть:
где число параметров, от которых зависит скорость потока u, в этом примере 
, это 
, тогда 
. То есть решение верно и количество критериев подобия достаточно для расчёта модели.
В моделирующем аппарате с длиной рабочей зоны = 2 м течёт моделирующая жидкость (вода с плотностью = 1000 кг/м3 и кинематической вязкостью = 1·10–6 м2/с) со скоростью = 0,40 м/с. На модели исследовалось разделение смеси сферических эбонитовых (
= 1150 кг/м3) и дубовых (
= 900 кг/м3) частиц диаметром d = 10 мм. При движении в горизонтальном направлении эбонитовые (тяжёлые) частицы опускаются в жидкости со скоростью 
= 0,20 м/с, а дубовые (лёгкие) всплывают со скоростью 
= 0,16 м/с.
Необходимо рассчитать аналогичные параметры для натуры, то есть производственного аппарата с суспензией плотностью = 1600 кг/м3 и кинематической вязкостью = 2·10–6 м2/с.
Расчёт натуры выполняется на основе равенства критериев подобия натуры и модели. Результаты расчёта масштабных коэффициентов для построения модели приведены в табл. 3.5.
Таблица 3.5 - Результаты расчёта масштабных коэффициентов
| Параметры, которые моделируются | Обозна-чение | Источник получения | Масштабный коэффициент | |
| Формула | величина | |||
| Физические свойства | | Физические свойства натуры и модели |  | 1,6 |
|  | 2,0 | ||
| Линейный размер (длина рабочей зоны) | |  :  | | 1,6 |
| Скорость движения | | :  | | 3,1 |
С учётом масштабных коэффициентов выполняется расчёт параметров натуры (табл. 3.6).
Таблица 3.6 - Величины показателей натуры
| Показатель | Обозначение | Ед. измер. | Величина |
| Плотность суспензии | | кг/м3 | 1600 |
| Кинематический коэффициент вязкости суспензии | | м2/с | 2 · 10–6 |
| Линейный размер (длина рабочей зоны) |  | м | 3,2 |
| Скорость течения суспензии в сепараторе |  | м/с | 1,24 |
| Плотность лёгкой частицы |  | кг/м3 | 1440 |
| Скорость движения лёгкой частицы в вертикальном направлении (вверх) | | м/с | 0,50 |
| Плотность тяжёлой частички |  | кг/м3 | 1740 |
| Скорость движения тяжёлой частицы в вертикальном направлении (вниз) | | м/с | 0,62 |