14. "Введение в анализ бесконечно малых" Эйлера

Эйлер25 оперирует общим уравнением кривой второго порядка. Но он дает значительно меньше, чем наши учебники, и не использует преобразования координат для исследования кривых второго порядка.

К

М

Главная заслуга Эйлера состоит в том, что он первый дает общую теорию кривых второго порядка, основываясь на уравнении

D

О

L

CD иг.

С ос + рх + уу+Зх2 +єху + ^у2 =0. (22) Правда, эту обшую теорию Эйлер развивает не далеко. В пятой главе дается, по терминологии Эйлера, вывод главных свойств кривых второго порядка.

Первое свойство состоит в том, что прямая, проходящая через точку касания и делящая пополам какую- либо хорду, параллельную касательной, делит пополам и все другие хорды, параллельные касательной. Это свойство выводится Эйлером из рассмотрения коэффициентов уравнения кривой (22).

Второе главное свойство, получаемое через рассмотрение свободного члена уравнения (22), состоит в том, что (фиг. 8) для хорд MN, парал-

CL-LD

лелышх касательной СК в конце С диаметра DC, отношение имеет

ML-LN

постоянное значение.

Это свойство, как мы видели ранее, было известно и Аполлонию и Архимеду, и играло важную роль в их рассуждениях. Таким образом, далее Эйлер оказывается связанным с "Коническими сечениями" Аполлония.

Из этих свойств и выводится упрощенное уравнение кривой второго порядка. Полагая

CL-LD _к ML-LN~h CD = а (диаметру), CL = х, ML=NL= у, Эйлер получает уравнение

2 1' / 2ч

У =—(ах-х ) (23)

т.е. вида

у2 = 2рх + срс2. (23і)

В эйлеровском "Введении" нет еще исследован™ кривой второго порядка, заданной общим уравнением в современном смысле. Это исследование у нас разделяется на два момента: 1) приведение уравнения преобразованием к центру и к осям, 2) исследование формы кривой по уравнению.

Что делает Эйлер? Он берет в 6-й главе упрощенное уравнение: у2 =а +|3х+ух2 (24)

и заключает, что при у > 0 имеются четыре ветви, уходящие на бесконечность, которые мы, признавая на прямой только одну бесконечно удаленную точку, признаем за две ветви.

Заключение это выводится из того, что при х = ±со мы получаем для у вещественное значение оо.

При у < 0 и х = ±оо , у становится мнимым, т.е. бесконечные ветви отсутствуют. При Y -О мы имеем две (по-нашему - одну) ветви, идущие на бесконечность, Совершенно так лее, как это делается теперь, Эйлер дает трем типам полученных таким образом кривых названия гиперболы, эллипса и параболы.