13. Начало истории кривых второго порядка
Современный учебник аналитической геометрии трактует только о прямой и кривых второго порядка. Уравнением параболы, эллипса и гиперболы мы обязаны Декарту и Ферма, которые, как мы видели, подошли к иим с различных сторон.
Но следует помнить, что для них эти кривые прежде всего являлись коническими сечениями. Оба они пользуются их свойствами, выведенными стереометрически, согласно Аполлонию. Можно сказать, что у них еще нет чисто плоскостной аналитической геометрии.Аналитическая геометрия на плоскости рождается с того момента, когда эти кривые получают чисто планиметрическое определение. Это знаменует начало новой эпохи. Эллипс становится геометрическим местом точек, сумма расстояний которых от двух точек постоянна, гипербола - гео-метрическим местом точек, разность расстояний которых от двух точек постоянна, парабола - геометрическим местом точек с равными расстояниями от точки (фокуса) и прямой (директрисы).
Стереометрическая сторона дела при этом не исчезает, но отходит на второй план. Наряду с частью, развивающей три планиметрические теории, излагается, но уже во вторую очередь, теория параболы, эллипса и гиперболы как конических сечений. Этот момент относится к де ля Гиру.
У Лопиталя аналитическая геометрия планиметрнзована, но еще не алгебраизована в той мере, как у нас. Начинается она с изучения параболы, эллипса и гиперболы. Определение их дается обычное, но только в геометрической форме. Определением служит, как у Декарта, построение непрерывным движением. "Прикрепляем, говорит Лопиталь, на плоскости концы нити FMf в данных точках F и f, расстояние между которыми меньше длины нити, берем грифель, чтобы держать эту нить натянутой, и двигаем его вокруг этих двух точек так, что он возвращается в прежнее положение. Он описывает тогда в этом движении кривую, которую назовем эллипсом". Парабола, эллипс и гипербола получают у Лопиталя название "конических сечений", раньше чем доказывается, что они возникают как плоскостные сечения конуса.
Наконец, третья эпоха характеризуется тем, что конические сечения подводятся под их объемлющее понятие кривых второго порядка и согласно этому строится и их стереометрическая аналогия - поверхности второго порядка.
В настоящее время обычно подходят к параболе, эллипсу и гиперболе, отправляясь от общего рассмотрения кривых второго порядка. Эллипс является кривой второго порядка без бесконечно удаленных точек, гипербола - с двумя бесконечно удаленными точками, парабола - с одной.