§ 57, Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Если р и q — постоянные, то уравнение называется линейным диф-ференциальным уравнением с постоянными коэффициентами.

Да:) называется правой частью уравнения. Если /(я) Ф 0, то уравнение

495

4915 Дифференциальные уравнения [ Гл. УЩ

называется лннейньш неоднородным или уравнением с правой частью. Если же f(x) = 0, то уравнение называется линейным однородным или уравнением без правой части. Таким образом, уравнение (1), где р и g — постоянные и / 0, называется лннейнум неоднородным

дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами

Представим уравнение (1) в символической форме у" — i^f'c, y,yf) и сформулируем теорему о существовании и єдине таен нос ти решения этого уравнения.

Теорема 27. Если в уравнении у" — функция г{х,у,у'),

и сё частные производные по аргументам у, ^ непрерывны п Еіекоторой области, содержащей значения х = У = Уо, У* ж Уо, то существует и притом единственное решение у —¦ у(х) уравнения, удовлетворяющее начальным условиям:

УІ*(і)=Уіh =VQ-

Общим решением дифференциального уравнения (1) называется функция у = y(x,Ch С^), зависящая от двух произвольных постоянных Ci и Сі и такая, что

а) она удовлетворяет уравнению при любых Сі и Сг-

б) лри заданных начальных условиях у{хо) = уо и 3/(^0) =¦ у'о постоянные С\ и Сз можно выбрать так, что функция С^) будет удовлетворять этим условиям.

1. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. Рассмотрим линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами у" + ру' + qy — Qt где р и q — постоянные.

Установим некоторые свойства этого уравнения.

Теорема 28. Если у і (я) и — два частных решения уравнения Ун +РУ' + ЦУ = 0, то уі 4- у2 есть также решение этого уравнения.

Доказательство.

+ py[ + qy і) + {y'i + py'2 + ЯУъ) = 0+0^0, т.е. У1+У2 ~ есті, решение уравнения yff 4-ру' -t qy = 0.

Теорема 2Eh Если yi(x) есть решение уравнения у" 4ру' 4- qy — 0, то Cfyi(x), где С — постоянная, также есть решение этого уравнения.

Доказательство. Подставляя Су і а уравнение у" 4- ру' 4- qy — = 0, будем иметь {СУіУ ^p{CyJ 4- q{Cy) = С{у'{ -V ру\ 4- даЛ ~ = СО- 0. Теорема доказана.

Два решения у і (л) и уи(я) уравнения у" 4 ру\4і qy =0 называется линейно независимыми на некотором отрезке, если на этом отрезке их линейная комбинация сту^ 4- Зуъ ни при каких значениях постоянный а н кроме л := & — 0, не обращается в нуль. Другими словами, yi(^) и УзС^) линейно независимы, если их отношение не равно постоянной

Линей^шлди^^ен^тлыше уравнения второго порядка 497

(уІ ^ постоянной^. В нротиннон сгучае jft и З/э называются линейно зависим ими.

Теорема 30. Вел к уП (®) и ^(я) - есть два линейно независимых решения уравнения у" + ру' + оу = Q, то у = С^ +- С2У2, где СІ И t'2 — произвольные ПОСТОЯ ЕЯ Hbte, есть его общее решение.

Таким образом, чтобы найти общее решение уравнения у"-Н рї/-і- + qy ss 0, достаточно найти два лнкейно независимых частных решения. Частные решения этого уравнения будем искать в виде у = екх, где fc - постоянная. Так как у' = у" = k2ekl, то подставляя их в уравнение, имеем (k2 + рА b — 0. откуда к2 + рк + q = 0, так как скх ф. 0. Уравнение & - + рк + g = 0 называется характеристическим уравнением для уравнения у" + ру' + qy = 0

Рассмотрим решение характеристического уравнення.

а) Корни характеристического уравнения действительные и разные:

ki = — ? + yj^ ~ Я и fc-j =; - —¦ g, В этом случае частными решениями будут уЕ = е*1* уо = так как — =; е^1-^"2^" ф

Va

/ постоянной, то эти решения линейно независимы. Следовательно, общее решение исходного уравнения имеет вид:

б) Корни характеристического уравнения действительные и одинаковые: ki = —fej « — В этом случае за одно частное решение

можно взять $ft — fi*®, А: — к і — къ — — а второе будем искать в виде

у2 « Тогда « и'ек* + tafi*1, ^ = «V + -I- fcW*:

поДставляя У2 и полученные выражения для у'2 и в исходное уравнение, получим + 2kufek* +&иекх + р(и'скх + + — = ¦+- (2fc + p)ii' + и{к2 -f рк + q)) = 0.

у {Ci + OnJeb,

в) Корни характеристического уравнения — комплексные: = a. +

+ Л к2 » <* - 0І. а --{, /3 - Функюш ш - -

=. в®* (сое рх 4- і sin Зх) и У2 « «НО- - - І sin Дзг) удовле

творяют дифференциальному уравнению у" -bp^ + gy однако они

497

являются комплексными функциями. При этом дифференциальному уравнению удовлетворяют также функции

у-±{х) = ейї cos fix н У2(х) — еах аіп/Зл;.

Эти функции линейно независимы, так как

у, g^® COS /ЇЗ*

— — г-аг .- д — ct%0x Ф const , yj e зтрх

Следовательно, общее решение дифференциального уравнения У" + УУ* + № = 0 можно записать в виде: у = С\у\ + С^Уі =

спх(01 COS0X 4- Сгат/Зл:), где Сі и С2 — произвольные постоянные.

Пример 14. Найти общее решение уравнения у" — Zy' — Юу — 0. Решение. Характеристическое уравнение к2 — — 10 = Q имеет

і Л і /э . 77 3,7,. два неравных действительных корня = - ± і4 10 = - ± -, кі —

у і jJ _

= fc2 = 5- Общее решение есть у — Сіе_3т 4- СіЄ*х.

Пример 15. Найти частное решение уравнения 4- 2j/ — 3у — 0. удовлетворяющее начальному условию у(0) — -6, =

Fern енне. Характеристическое уравнение ЗА;2 + 2к - 3 = 0 имеет два неравных действительных корня fe|pa = е

-2 ±10 j 3 . 1 nr ' 2'®

— , = —= Общее решение есть у — С\С. і 410 ч. db

л

Для нахождения частного решения вычислим производную

3 ^ 1 1 у' = —— (?іе—ї 1 4 - Сгез", тогда, учитывая начальные условия, получим систему уравнений для определения С: у(0) — Сі 4- Сз — —6, у'(0) ™ — ~ Сі + ™ 7. Решая эту систему, находим Сі -8, Сз — = 2.

у ^ - *

Пример 16. Найти общее решение уравнения у" + Ау1 + 4у = 0. Решение. Характеристическое уравнение fc2+4A;+4 = 0 имеет равные корни Jfci = А'г = — 2, поэтому общее решение имеет вид у — = (Сі 4- Сіх)С-&.

Пример 17. Найти частное решение уравнения у" 4- 2у' + у — 0, удовлетворяющее начальному условию 1) = et у'(—1) — 4е.

Решение. Характеристическое уравнение А;2 4- 2fc 4-1 = 0 имеет равные корни ki — к2 = —1. Общее решений есть у = (С1 4- Chtfje-* Длк нахождения частного решения найдем производную у' = С^е-ж 4~ 4- (Сі 4- С^х)&~х - (-1) — 4- (1 — Тогда, учитывая на

чальные условия, получим систему уравнений для определения Сі, С2-

у(-1) = (Сі - с2)е - е, у'(~ 1) - (-Сі + 2С2)С = 4с,

решение которой есть С] = f>, С2 — 5> Искомое частное решение есть

у = (ох 4 6) е-*

Пример 18. Канти общее решение уравнение у" + 2у' 4- lOj/ = О, Решение, ХарактериСтнческое_^равнение к7 4 2k + 10 = 0 имеет комллексные корни к\ — —I 4 у/1 —10 = -14 Зі, къ = — 1 — Зі, Обідее решение есть (а — -I, ~ 3)

у = {Сі соя Зг 4 Съ sin 3ar)e"a. Пример 19, Найти частное реигение уравнения у" + Ьу = 0,

удовлетворяющее начальному условию у{0) ~ 1, у'[0) = 0,

Решение, Характеристическое уравнение к1 4 Лк 4 5 0 имеет комплексные корни Aii^ — -2 і = —2 і і; (а — —2, /3 = 1).

Общее решение есть у — є~2*(Сісо$х Ч-Сззіпт); тогда

?/ (С; cos л; 4 С2 sin х) 4 е_2т С sin я: 4 С2 cos л;) =

= е ^ЦСг -2Сі)совх- (Cz 4 2С2)5шяг].

Составим систему уравнений у(0) — Єї = 1. j/{0) = С2 — 2Ci = 0. Отсірда находим Сг = і и Cj — 2. Искомое частное решение равно:

у = e_3r(oosa; 4- 2 sin х),

2, Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядна с постоянными коэффициентами. Рассмотрим теперь лнксйіюе неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами (см. (1)). Находим решение этого уравнения па следующей теореме.

Теорема 31, Общее решение уравнения у" 4 pyf 4- t?y = f{x) есть сумма какого-нибудь частного решения этого уравнения у*(аг) и общего решен и л у соответствующего однородного уравнения у" Л-уу'^-цу — 0.

Таким образом, задача нахождения общего решения неоднородного уравнения (I) свелась к нахождению частного решения этого уравнения.

Нахождение частного решения в общем случае при произвольных f(x) есть сложная задача. Мы укажем способы нахождения частного решения лишь в следующих случаях:

а) правая часть уравнения {I) имеет вид f\{x) = Рл(х)єаіЛ\

б) правая часть уравнения (I) имеет вид

М« с0і*[Пп(х)соь(Зх 4 Qm(i)sm#r|;

а) правая часть уравнения имеет вид

/>(•) = /і(яг> + /г(«) = e^iRntocosPx+Q^te) віпрх).

Дли нахождения частного решения уравнения (1) пользуются следующим правилом,

[ Гл. Щ

500

дифференциальные уравнения

з) Если правая часть уравнения (I) имеет вид f(x)=Pn{x)e где Лт1(гг) - многочлен степени л, то частное решение надо искать

в следующем виде: ^ = д^е

LKS

хГ,

где — многочлен степени п; число v может принимать три зна

чення 1)^ — 0 если число а не является корнем характеристического уравнения к'1 +рк + q = 0; 2) у = 1. если число а есть однократный Кррснь характеристического уравнения: о = к і или ct = к&. 3) v 2, если ft - двукратный корень характеристического уравнения: а - fci =

= / I Л

б) Пусть правая часть уравнения (1) имеет вид:

f(x) = ияДг н-

где />„{#) и Qm(^) — многочлены, степени которых равны п и т< Тогда частное решение надо искать в виде:

у* = eajt[St(x) cos/to + Ti(x) гялрх] *

где 5|(дт) и — многочлены, степень которых равна наивысшей

степени многочленов Рп(х) и <2™ (я)* Число v может принимать два значення: 1) и = 0, если а ± 0і не является корнями характеристического уравнения; 2) и — 1, если а ± 0І являются корнями этого уравнения.

Укажем, что данная форма частного решения сохранится и з том случае, если прзпая часть уравнения (і) имеет вид

f{x) = еахРп(х) соьрх или f{x) = Qrn(x)eaxshipx.

Пример 20, Найти общее решение уравнения у" - у' ~2у= хех. Решение, Находим общее решение у уравнения у" - у' - 2у = Q.

2 = 0 имеет корни: =

Характеристическое уравнение к2-к

} к\ = — 1, к2 = 2, Общее решение этого уравнения

^ г*

есть у — С\е~х + Cje2®.

{у*У - Ас* 4- {Ах 4 В)е* (у"У = Ле* -f- Ле* + {Ах + В)е*; + - [Лея + (Ах + BJe1] - 1{Ах Ч- В)сх = хе^

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получим 2А Н- + В - А - В - 2В ш 0. А - А - 2А = 1 или А — 20 = 0, -2.4 = 1.

Отсюда А — В - ^ А ~ —Следовательно, частное решение будет (см, также с. 504)

У

а общее решение г/ =¦ # + у* — 4 С^е2* — 4- 1)е*.

Пример 21. Найти общее решение уравнения у" +2^/ 4- 5у 1. Решение Характеристическое уравнение к2 4 -Ь 5 ™ 0 имеет корни hi — — 1 — 2U fcs = —1 4 2І Общее решение однородного уравнения есть

у = с"х{Сі саз2х 4- С'2 sin2i).

Частное решение ищем в виде у' = А, тек как правая часть — многой ЛЄІІ нуле зон степени - 1 и нуль не являете л корнем характеристического уравнения. Подставляя н исходное уравнение у* — А, (у'У — 0, (у')" = 0, получим; 5Л = 1. Отсюда: А — 1/5. Общее решение будет {см. также с, 506)

у = у 4ї* — сое2з: -(-Са аЫЗя) 4-

о

Пример 22. Найти частное решение уравнения у" — 3yJ — х1 4 Зх. у(0) = 1, уЩ = 3.

Решение, Характеристическое уравнение Лг — 3& ™0 имеет корни: fcj — 0, к<2 — 3. Общее решение однородного уравнения есть у = = С\ -f- С^е**. Так как правая часть имеет вид и нуль —

корень характеристического уравнения, то частное решение неоднородного уравнения надо искать в виде {v = 1);

у* = (At,2 -f Bx + С)Ї = As? + Bx2 + Cx.

Подставляя это выражение в исходное уравнение, получим: 6Ах 4- + 2В - 3(3Ах2 + 2Вх 4- С) = х2 4 Zx. Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х> получки: —9А = 1, 6А - 6І5 = 3, —ЗС 4- 2В =

— 0. Отсюда А = В — —С = Тогда частным решением

у 13 і7

л + I * 11 g 11

будет: У = "у ^ " yg т

" 27

1

Общее решение есть сумма у = у 4 у* = С і 4 С%с2:г - ^ х3 —

ж2 — Так как заданы начальные условия, то находим Сі, С2- 17

у' = 3- \ X2

и 7/(0) = 3Q, - р = 3, jf(0) = Сі +

+ Са " 1. Решение системы Cj 4- С3.— 1, ЗС2 - ^ = 3 даёт Ci — - -і, 92

— —. Искомое частное решение, удовлетворяющее начальным усло-

Hj И 11 вия*. есть ^ gT^ " у ^ ™ is^ 27г ~ 81'

[Гл. УЦІ

502

Дифференциальные уравнения

Пример 23. Найти обшее решение уравнении у" - З3/ + 2у = ~ 2ех cos х -

Решение. Характеристическое уравнение к'2 - 3* + 2 - 0 имеет корни = 2, кз = 1. Общее решение однородного уравнения &сть z — Сіе2х + С^е*. Частное решение ищем а виде у* —

X

— сх [Лcos

так как = 2. = 0; Rn(n),

\ 2 2/ ^ і ¦ Qm(^) -- многочлены нулевой степени и а - 1.0 — -, а а ± 0іі — і но являются корнями характеристического уравнении. Подставляя частное решение в исходное уравнение, приходим к равенг.тну;

^ ^ ® о Л В п

Отсюда получаем систему: — — -у — 9" ~ ^ ~ и-

Она даёт

D 1Є

так что

У

8 s Ш \ 1 кіп-

Обшес решение исходного уравнения есть

у = у + у* ~ Сіє2л + С2е* - ет сон | -h ~ sin J)

Пример 24. Найти обще решение уравнения у" + у — Решение. Характеристическое уравнение А;- 4-1 — 0 имеет корни І'і =t —і, k'2 — і. Общее решение однородного уравнения есть у — = Ci cos:r + Сцзіпт, Так как Рп(х) ^ 0, = 4т. старшая степень

Рп(х) и - первая, а = 0, fi — 1. Комплексные числа ti ±

± /Зі = ±і являются корнями характеристического уравнения. Частное решение ищем в следующем виде: у* = 1{Лх + В) сонз 4- (Сх 44- Djsiiia;)^ = (А®! + Вт) cos г 4 (Сх2 4- Ox)sin:E. Находим первую производную: (у*)' = [Схг + (2Л + Djx 4- 2?]совл: 4 \~Ах2 (-В -Н 4- 2С)х 4- ?>]sma; и вторую производную: (у*)" = НЛ.т3 + {—В 44- 4С)г + 2А + 2Щ cos х 4- [-Саг* 4 (-4Л - D)x + 2С - 2В\ sin

Подстаоляя у* и (у*)" в исходное уравнение, приходим к равенству: \4Сх 4 2А + 2JD] cos х + [-4Ах -2В + 2С] sin т = 4х sin*.

Приравнивая коэффициенты при jeeoar, х sinх. созх, зїііл\ получаем систему: 4С « 0, 2А + 2D - 0, -4А = 4, -2В 4- 2С = 0,

Отсюда имеем. Л — — 1, В =0, С — 0, D — 1, так что частное решение есть у' —^cosx 4- хкіпх. Общее решение исходного уравнения имеет внд: у — у 4 = (Сі - х2) coax + {С2 4- г) sin х, в) Пусть правая часть уравнения (1) имеет вид

f(x) т Рп(х)е^х +e">xUin(x)ci>spx + Qin(x)sxripx}.

В этом случае при отыскании частного решения можно пользоваться следу юш е Гг тео р с мой.

Теорема 32. Пусть неоднородное уравнение таково, что праная часть его есть сумма двух функций /і(:с) и /^(а;)тт.е.

У" +*/+«Г-/іМ+АМ..

Тогда частное решение этого уравнения есть сумма у\ 4- где j/f (я.) — частное решение уравнения у + уу' 4- qy = /]{з), а — частное

решение уравнения jr" 4- ру' = /^(лг).

Доказательство. Так как и есть частные решения соответствующих уравнений, то имеем два тождества

toff*»" + рІУП^У + wfW - «Мї*+рШ*»' + «ЇМ - Ш-

Складывая эти тождества и учитывая, что

(sШ)" + ММ)" = <аШ + й(*)>";

Mwr+wwr-Mc^+iewr,

получим тождество

WM + гіМЇ" + ЙМГ + «ММ +1ЙМ) - Л с®) +

т.е. Н- уд (я;) есть частное решение уравнения. Теорема доказана.

Пример 25, Найти общее решение уравнения у" 4- Ъуг — 4у —

= е"^ 4 «е_аг.

Решение. Находим общее решение однородного уравнения у" 4 4 3у1 - 4іу — 0. Так как характеристическое уравнение к,2 4- ЗА; — 4 = 0 имеет корни A'j — —4, fcj — 1, то решение однородного уравнения есть у — Сі е-41 4 Правая часть неоднородного уравнения есть

сумма двух функций j\ (х) — еи /і{х) = следовательно, на

основании теоремы 32, его решение надо искать в виде суммы 4-

+ г/Н1) частных решений соответствующих неоднородных уравнении- у" 4 Зу' — 4у = и у1' 4 3у' - — хе1, Решение первого уравнения запишем в виде уї — Лхе~4т вследствие того, что его праная часть ji(x) ~ имеет коэффициент при х в показателе экспоненты, Совпадающий с корнем характеристического уравнения ki = —4. Решением второго уравнения будет = (Вх 4- Для того, чтобы сумма у{(х) удовлетворяла исходному уравнению, необходимо подобрать коэффициенты Л, В и С,. Для этого у[ и подставляем в соответствующие неоднородные уравнения:

[16Ах - SA -f 3(А - 4Ат) - 4Ах] = е-4*; е~*[-2В 4 Бх 4- С 4 3(В - Вх - С) - 4(jВх -h C)j = хе~*.

Отсюда находим, что А = —^ В — —4, С = — Следовательно,

О О ОО

общее решение исходного уравнения есть,

У = У + yi * = Gie"4* + е"11 - 4-1)6Г*

[Гл. VIИ

Ё04

ДифференЦ^альные уравнения

Пример 26. Найти обшее решение уравнения у" - у = - х .

Решение В этом случае Мх) = 2е*г = -а:2. Решение однородного уравнения есть у = Gic* + С2е так как характеристическое уравнение к2 -1-0 имеет корни ki = 1, к2= Решениями неоднородных уравнений будут УІ = Лхех и = Bx +Сх + D. Коэффициенты А, В. С. D находим так же, как н в предыдущем примере: сх (2А 4 Ах - Ах) -- 2ех или А = 1; 2В - Зх - Сх — D ~ -х2 или В - ~ і с — D Искомым решением неходкого уравнения будет:

у ^ Сге~* + СїЄ* 4- хе' +

Пример 27. Найти общее решение уравнения у" - 4у' 4 8у = e2s -г

-j- упі2яг.

Решение, Характеристическое уравнение к2 - Ак 4 8 я О имеет комплексные корни — 2 + 2г и к^ = 2 - 2г. Следовательно, решением однородного уравнения будет у = с2* (A cos 2л: 4- В sin 2х), Так как Д(х) = — sin 2л:, то решениями неоднородных уравнений бу

о-*

,2 Б

дут у[ ^ Се н у2 = 12 cos 2а: -j- Esin 2х< Определим коэффициенты С, D, В:

ИЛИ

С - 4 - 2С + ЗС) = с

(-4Da>s2tf-4?sm2a;) - 4(2?cos2± - 2D sin 2s) -f

8(?>cos2x 4- ^ Bin = - 8Д 4 SD) cos2x 4

+ (-4E 4 W 4 SE) sin2x - sin 2xs

отсюда ?> =

Общим решением неходкого уравнения будет

V = У + У і + ї*2 =

- е2* (Л cos 2д; -Ь В sm 2ar) 4 і 4 cos 2x 4- sin 2л) ^

= (^Лс05 2ї4-5зііі2а:4 ^ e2x 4 ^(2 cos 2г 4- sin 2a;),

Пример 28. Найти частное решение уравнения у" — Ьу' — Зя5 + 4-ЙІП5Х, удовлетворяющее начальным условиям У(0) = 2,32; yf(0) — -- 5,852.

Решение, Характеристическое уравнение к2 — Ък 0 имеет корни ki = О и к2 — 5, поэтому общее решение соответствующего однородного уравнения есть у — С і 4- Сзе**. Решение неоднородного уравнения ищем в виде УЇ 4 yj. где = (Лзг3 -4 Bz 4 С)х, у$ = bsinSs 44 ?ros5x. Подставив yf и в исходное уравнение, найдём что А =

504

-0,2; В = —0,12; С = -0,048; D = —0,02, Е = 0,02. Теперь запишем общее решение исходного уравнения;

У ** У+ 3/Г + Уі = Ci + C2cbs - 0t02z3 - 0,12s* - 0,Q48rt: 44 0,02 (cos Ьх — sm 5s).

Найдем частное решение исходного уравнения, удовлетворяющего начальным условиям;

Я(0) = Ci + Cs 4 0(О2 = 2,32;

ї/(0) = (5С2е*х - 0,Gj;2 - 0,24а;- 0,048 - 0,10(sin5s + соs5x)]^G =

= 5C2 - 0,048 - 0tI = 5,852.

Определим из этих уравнений Сі н Cg: Са = lt2; Сі = 1,1. Таким образом, искомое частное решение есть

у = 1,1 + 1,2є5х -0,2а:3 - 0Д2ж2 - 0,048а; -1- Q,0l(cos5x - sin 5z).

Пример 29. Найти общее решение уравнения yft + у = cosx х х cos 2х.

Решение, Общим решением однородного уравнения будет у -- = Сі савх + rax как характеристическое уравнение fr2 -f- 1 —

— 0 имеет маимые корни fcj = i, — -і. Правую часть неоднородного уравнения преобразуем к виду fi(x) 4- /2(3;)- Воспользуемся формулой:

cos а: ¦ cos 2х — ^[соз(г+ 2х) + соз(т — 2х)] = ^ cos я; + ^ cos За;. Следователь*^ решениями неоднородных уравнений будет у* = {.A cos а; 4- + Б&іп;г}а; {это следует из того, что характеристическое уравнение имеет корень к — і) и = С - cos За: + і^яіпЗх- Подставив их в исходное уравнение, найдём, что А « О, І? = С = —D — Q. Следовательно, общее решение неоднородного уравнения имеет вид:

У = У + У* + У2 = Ci COS.T + Cs sin А 4- sina; — — СОК Зяг.

Задание, Проверить, правильно ли записан вид частного решения следующих дифференциальных уравнений.

I. у" - 4-у1 + = f(x), у = у + = Сге* +С?е3х + у*;

/(я) = (а-Н)^, у* =1 х(Ах + В)ех;

% f{x) = х2?х, у* = х{Ах2 4 Вх + С)е3х\

х) = xsinz, у* {Ах 4 В) совх + (Cz'4- D)sina;;

Дд;) = cos Зя, у* = A cos Zx 4- В sm Зх;

/(х) = е* cos Зхт / = с*(А cos Зл; + В зіпЗх). -

IL f + 2у' - Я4 у = у + у* = ^ 4- 4 у

f(x) = х2 4 у* = 4- Вх 4 С);

/(я) = хе~2х, у* = ^-^{Aa: + Л);

f(x) — хсозх, у* = (Ах В) сспх + (Сх 4- D) sinзг;

f(x) = sin у* = AДх) = х 4 e-2t. у* = x{Ax + В) +

ПІ. у" 4-4у ^ f{x), у = у + у* = Сі cos 2х 4C2sm2x + у';

f(x) - хе-21, у* ^ (Ах -Н В)е'2х;

J{x) = X2, у* = Ах2 + Bx + С;

f(x) — ег7х cosxt у* = coax 4 В sinx); 4r f(x) = у* = ex(Aeh\2x + Вссь2х);

Дх) = cos2xf у* = д;(Леоя2л; + В$'т2х)шг

j{x) — (1 -г х) cos х 4- x^sin 2х,

у* — (Ах 4- В) cos яг + (Сх 4- D) sin х 4- хЦЕх* + Fx - К)х х siu 2х + {Lx2 + Мх + ЛГ) cos 2х].

у"+V+» = /(»). + ^С'і + хС2е"а:4-у'; ]. f(x) = Xа, у* = Лх2 4- Л» 4- С;

Дх) = у* = хг(Лх 4- В)е~х]

Де) — cosx, у" = A cos х + В sin з;:

4* Д х) — xsin 2х, у* — (Ах 4- В) sin %х + (Сх 4- D) соя 2х; 5. Д х) = а~х cos х, у* = е~х (A cos х 4- В sin я) „

у" - Gy' + Ну = Дх). у - у + у* = + С2еи + у*;

Дх) = хе2*, у* = х(Ах -!- В)е2х;

Дя) = + у' = Лхї-В +Ces;

Дх) = ег 21 cos х, у* = є-21 (A cos х 4 В ній х);

f(x)=e2xsmxt у* — е2і(Л со&х + В sin і);

Дх) = еїг(х25Іпх +2 cos з:) ,

у* =е2зс[{Ах2 +Бх + C)cosx + (Bx2 ~Dx + .F)sinxl;

Д х) = sin х cos аг — ^ sin 2xf у* = Л cos 2х + Д sin 2х;

Дх) = у* = х(Ах2 4- Вх +

у" 4- 4у' +ІЗу = /(x)t

у у 4 у" = е~2х (Сі sin Зт 4- Сг cos Si) 4і у*\

Дх) « 4- хе*1, у* = уі Н- уі УІ Atr*\ УІ = (Вх 4- С)/(іг) ~ хеЪх 4- sin За;, у* = уі -і-у2,

yj = (As 4- ?)e51. у; = Csin Зх 4* D cm Зт;

f(x) = 24- f*1 cosЗх, y' — уї + У2- її —А Уі = cos 3x + Csin 3x);

Дх) = + e~2x він Зх, y* = y{ 4 уі,

= Ае~х, у\ ^ СМ&Ц +Cain 3*);

5. f(x) — х2 яітія + ЗгсояЗт, у* в: у* -f- y*t у\ = (Ах2 + Вх \- С) sin it Н- {Dx2 + Ex + F) cos л;; y2 — (Лгя + м} соа За: - J[Кх + L) sin Zx.

Для нахождения частного решения у* уравнения (1) в общем случае можно воспользоваться методом вариации постоянных (метод Лагрянжа). Этот метод применим к линейным уравнениям любого поряд к:з как с постоянным и, так и с перемен мы ми коэффициентами.

Пусть общее решение однородного уравнения ЄСТЬ у = СіУі Ч-С<2У2, тогда считая Cj и С2 дифференцируемыми функциями от которые надо найти, частное решение неоднородного уравнен и я будем искать з я и де у* — С\(х)у і + С2(х)у2- Дифференцируя поя, будем иметь у*' — ~ С\У\ + + Cfyi + С<2У2- Наложим на искомые функции и С2(л:) добавочное условие С[уі + С2У2 — 0, тогда вид первой производной у' существенно упрощается и мы имеем у*' — Сіу\ + C'J.yUt продифференцировав по х, получим у*" С[у\ + С\у" +С2У2 +СяУ2' Подставляя у*, у*' и у*" в уравнение (1). находим

С[ у[ + Сій + с2 Уъ + + Р{Сіу[ + Сгу'і) + q{Cm + C2V2) =

- Сі (уї + wA + QV1) + С2Ы - РУ2 +ЯУ2) + C\yі + С^уъ =

= 0 - Сі +0- Ся 4- СЇУІ + = С[уі + CfrJ = /<®),

так как ту і и я/э удовлетворяют уравнению у" -Hp]/ + =0 (см, теоре-му 28). Итак, система уравненнй для определения Сі(х) и Сд(х) есть

Ґ Cjj/i + С'т = 0,

\ СІЇЙ + ОІУ2 — f(xh

которая позволяет накти иыражения для C'jfo) и С^я), а затем и Сі(ят) н С2{х). Таким образом, частное решение уравнения (!) имеет вид у* =

Пример. Найти общее решение уравнения у" — у' — 2у = хе* (см. пример 20) методом вариации постоянных.

Ре шен и е.'Так как общее решение уравнения без правой части есть у — (73Й~я +- (см. пример 20), то частное решение исходного

уравнения ишем в виде у* -j- Составляем систему

уравнений для определения и Ся^а;):

С[(х)е'* + С^е** = 0, -0[ (х)е~х + 2 СЦх)е*х = хе*

Отсюда находим С2 = С\ - тогда

СМ 1J dx = Ц^ & (аг] - IJ dx = О

[Гл. УИ1

506

Диффер&нциальпые уравнения

Следовательно, частное решение есть

1 4

с

у* = Ci{x)e~* +Сг

(сы. пример 20).

Пример 30, Методом вариации постоянных решить уравнение / 4*

, — пд;

Решение. Характеристическое уравнение к2 4 2ак + а — и имеет корни ki — к? = —а. Решение однородного уравнения есть у — 4* soCzjS"^ Частное решение ищем в виде у* = (Сі(х) ->r- хС2(х))е~ Составляем систему уравнений для нахождения Cj(ar) и СЦх)

С[ух 4 С'2Ш - е~«х{С[ + хС'2) = О,

CW і а2у'2 = ^«I-aC; 4(1-- Д®),

ИЛИ

C\ 4 тСІ = О,

-аС\ Л- (1 - = eaxf(x).

Отсюда находим = —зге"* Да:), С^.г) — ем/(ї}.

Интегрирование даёт

Сг(х) = - j x&*f{x) dx, С2{х) -= j єстДл;) dx.

Следовательно, решение исходного уравнения можно записать в виде

У ~ У + У* = е

-аг

6'х h - j :геая7/(*) dx 4 з; f Да;} dtf

здесь Сі я C2 - произвольные постоянные.

Пример ЗІ. Методом вариации постоянных решить уравнение у" Н- -1- рт/ 4- fly = /(я), где р и q постоянные.

Решение. Составляем характеристическое уравнении к* + рх 44- (? - 0, его решение = ^ ± -щ. Общее решение однородного

уравнения есть у — С\?кії 4 Частное решение неоднородного

уравнения будем искать з виде у* = С}(х)ек'-Х 4- Составляем

систему уравнений для определения ) и C^J)'

4 = О, CJfcxe*1* 4- C^fae^'2* = Дх),

нлл

Отсюда имеем

- J/Wf^te ftM = ^ j

Рассмотрим решение уравнения у" 4 3у' + 2у — ^aEt Katt —

- -2, кг = -1, у = G\c~ix + С'ас"х, у* = + где

ад -- J ¦- - J Ш - -I -гт^1 " = + + адЧттМтт^1^)

у* ^Сі(х)е~2х+С2(х)е~х = -е"* + {е-ая' + іГ*)1а(1

Решение исходного уравнения есть у = у + у* = С]4- 4

4- (е~гт 4 с~х) 1п{1 + где Сі и Сі = С2 - 1 — произвольные постоянные.

Рассмотрит получение решения уравнения у" 4 Чу' 4- Sj/ = 1 [пример 2\) метолом вариации постоянных. Так как корни характеристического уравнения являются комплексные kit2 = ft ї І/З. ct ~ —1, ft — 2h то обццее решение однородного уравнения можно представить в двух' видах, используя формулы Эйлера,

у — CieklX + С2Є*»Я = e«*{Ciei0x -І- С2е"і(3х) =

= еах [Сі (cqsSx 4- і Sin 0х) + C?{cos (.Зх - і sill 0х)]

= 4 Ог) cos /Эх + і (Сі - Сі) sin Рх) =

= соа 4* С4 sin Дг),

где Сь Сг, Сз, С4 — произвольные постоянные. Итак, если корки характеристического уравнения комплексные = О: dtzi&t то общее решение неоднородного уравнения можно записать в двух видах: у = = Ci9kl* + или у = (Сг oos0ss 4- Сг sin Дф** где С1 и С2

произвольные постоянные. Частное решение рассматриваемого неоднородного уравнения будем искать в виде у* = е_:Е[Сі(а;) cos2а: + + С2(ф)йш2д;]. Для нахождения Ci{x) и составляем систему

уравнений

{

С\ е~х сов 2х + С%вГ* sin 2х = Ot

C[z~x(-cm2x- 2ші2х) 4-+2соб2а;) » J,

ИЛН Г CJ cos 237 4* C'2 sin 2x = 0,

j -CJ sin + Cf2 cos 2x - I e*.

Здесь мы первое уравнение подставили во второе. Далее, умножим первое уравнение второй системы на SITI2XT а эторое на СОБ2;Г И сложим С3ЗЩ22З + C^cos22x = С2 == \ e^cosffiac. Подставим С? в первое

?

Гл. VU1

Пиффлрениимыше уравнения

С[ = е^іпйа:.

уравнение к сократим на cos2*f з результате имеем Интегрирование даёт (см. §41. пример 24)

Сі —

ея cos 2х (it - Ц (2 sin 2т. 4 cos 2а:).

Тогда мастное решение неоднородного уравнения есть у* = Cj со*2х -4 С*{ф-Х«ЙП2* = ±{-гін 2.Т cosЪ +

2 согі2 2л; + 2 а [Г 2,т -3- ып 2х сок 2х) = ^ -

Общее решение рассматриваемого уравнения есть

у = у + у* = c"*(Ci cos 2z + С2 sill З®} 4-1

ОДНО-

( Можно было бы воспользоваться готовыми формулам для Cifr) и Сї^^ученшки выше, и учитывать, что общее решение -но-

родного уравнения есть у = + =

It 1 H- 2» -M

4t Ї - 2i

c«*) = ^ J йг ¦= і f * -

і і

1/* = - ? + ti T±2i

~ J7 (—1 4* ?г 4 1 h 2() = g. Ai 14 4 °

4i

Рассмотрим пример.

Найти общее решение уравнения у" 4 4у = -—методом вариации

LUb JET

постоянны;;. - _

Решение. Общее решение однородного уравнения имеет вид у — ~ 4- €2^' = Cic2ix 4 Cae~2lJ\ частное решение ищем в ви-

де у* - Сі(т)е2'г 4 тогда используя готовые формулы для

Ci(jr) И Сй(х). полученные выше, имеем

Сі - ± [ dx - і f -4-(cos2* - tsla^) 4t J cos" x 4t J сов і

^ 1 J (2cog"x-l-z"2sinxcqsx)-

cns2 X

- я J ^ (2 - ^ -

= tgs j oosirl),

Gj ™ [ ——ч— da: = f (eos2jc + 2tsin2a) =

44 J cos x 4t J cos x

= — tga; — 2i In | cos я;!).

Следовательно, частное решение есть у* = Сі(Ф2іж + Сїфа-3* = ^[(2* - tjrx)2isin2x +

+ 2i In J cos x\ 2 cos 2x\ = — ^ tg sin 2x 4* cos 2x In ; cos x \.

Таким образом, искомое общее решение неоднорэдЕЮго уравиеЕіип имеет вид

У - У + у* = Cie2il + C2e~2i+ у* - С3 sin 2х -Ь Сл cos2s + «

= (^Сз + х — ^ tg sin 2х + {Са 4- In | coevf) cos2х,

где Сз и С4 — произвольные постоянные,

3. Системы линейных дифференциальных ^уравнений, Системой линейных дифференциальных уравнений называется система уравнений, содержащих несколько неизвестных функций и их производных в первой степени, причём в каждое из уравнений входит хотя бы одна производная. Система линейных уравнений, в которой в левой части уравнений находятся производные неизвестных функций первого порядка, а правые части не содержат производных (система решена относительно производных), называется нормальной.

Пример 32. Найти общее решение системы дифференциальных уравнений:

Г aft ® е* - ї + yt \ Vt + * - Г

Решение, Продифференцировав no t первое уравнение, будем иметь — є1 - х[ + Подставляя сюда у[ н у из исходной системы, получим неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами + = Зе*, Общее решение этого уравнения есть xft) — $[t) -har*(0- гДе = + Gl? (ki = 0, fa = — —2), а = Ае1 = На основании второго уравнения исходной системы имеем линейное уравнение первого порядка = 2е* + + + Сое-2' — у. Решение его ищем в виде у — uvt тогда находим

y(t) = і? ¦ и — <Г Vі + Сіє* - 02е« е( +Сі -

511

Итак, общее решение исходной системы имеет вид

s{t) = є' 4- Сі 4- C2e~2t, y{t) = e' + - C2e~21.

Пример 33. Найти общее решение системы дифференциальных уравнений:

{

у- = cos х — Z, V = Z' -ЗуЧ-ашя,

Решение, Продифференцировав первое уравнение тто а: имеем: у" = — sina; — Z*. Сюда подставим выразив из второго уравнении Z' — 4у' + Зу - sin х. Тогда получим однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами у" -г 4у' 44- = 0. Его решение есть у = С4-С2сГгг\ На основании первого уравнении исходной системы имеем Z - соая - у' = cos аг 4- Сіе~* 4* 4- ЗСзС"^1. Итак, искомое общее решение системы имеет а ид

у = 4- Сае-3', ^ - сов я 4 С^еГ* + ЗС2е~3*

Рассмотрим систему линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

= а,цх\ 4- й х2 = a2ixi 4- Лза^й*

j Зі-ЛГіф,

( х2 = х2 (і),

аЩ1 — постоянные, или а матричной форме X' — АХ, где

V ~ { A Y' - Y л - ( а11 \

* - \ х2 )* А ~ ЖЛ> А-{а21 а22 ) '

Исходную систему МОЖНО решить путём сведенHF3 к одному урав-нению второго порядка (см, предыдущие два -примера). Рассмотрим решение этой системы, используя методы линейной алгебры. Обшее решение исходной системы записывается в виде

X(t) - СіУ?1 (#) 4- C2V^{t) = CiYxit)^ + C2Y2(t}^\

где Сі и С2 — произвольные постоянные. У] (?) и — частные

решения исходной системы и являются собственными векторами матрицы Ал соответствующие собственным значениям А* и Х2 (см. §2).

Частное решение исходной системы буде и искать в виде хн — ttj»eA\ где Л И (д = 1,2) — постоянные коэффициенты, подлежащие определению. Подставляя ^ и^ в систему и сокращал на е^ получим

{

{ац - А}&! +al2ot2 flaicti 4 (а22 - А)Й2 = 0.

512

Для того, чтобы эта система имела нетривиальное решение (nrj ф О, а2 ф 0) необходимо, чтобы определитель её был равен нулю

«її—А (ЇІЇ йї] a^t — А

\А - Щ =

™ (&и — — А7) — а 12^21 = 0.

Это уравнение называется характеристическим уравнением исходной системы.

а) Корни характеристического уравнения действительные разные Aj и Аз

Пример 34. Найти общее решение системы

sc'i ^ 2х\ 4

—- ху

Решение. Составляем характеристическое уравнение 2-А 3

= А — 6А 4 5 — О, ^ 5 Л2 = L.

1

4-А

Его корни Ai = 5, Л — 1, которые являются собственными значеннями матрицы А- Н з ходим теперь собственные векторы матрицы А, соответствующие этим собственным значениям {см, § 2. пункты 7 и 8).

нли

отсюда Qi — с\2 — 0, тогда

—Зої + Зоз = О, ах-а2 = О,

«д ™ Of, ІХ2 = О!,

или

+ Зо? = 0, ^ + Заі = 0, o'j + За2 - 0} аі = За', а'2 ~ -о'. Собственные некто[Ш матрицы Л можно представить в виде

А - 5, а = 1}

А = 1,

[Гл. VIII

5 И

Диффер енц ив льные уравн ения

Общее решение исходной системы есть

ИЛИ г, л ,

Х\ - Cie6t +3С2е\

Пример 35. Найти частное решение системы

х\ = Х\

Х*2 = — Xj + 5X2 f

удовлетворяющее условию Xi(G) = 3, агг(О) — 1.

Решение, Корни характеристического уравнения А2 — 6А + 8 = О равны Аі = 2, Аз = 4. Собственные вектора исходной матрицы

А: = 2, П

¦о-

А3 = 4, Уэ Общее решение исходной системы имеет вдд

= Сіе2і +С2е4і.

Учитывая начальные условия, составляем систему для определения С, и С2: zi(D) — 3 — + C2l х2(0) = 1 Ci + Ga. откуда Сі - 1, Cq = 0. Окончательно для искомого частного решения получаем х\ —

6) Корни характеристического уравнения комплексные. Пример 36, НаЙтн общее решение системы

х\ — 3xi — 2х$у х^ — 4х і 4- 7х-2 •

Решение, Корни характеристического уравнения Aj - 10А+ 29 = 0 комплексно сопряженные Ai » 5 + 2і, Аг = 5 - 2L Для нахождения собственных векторов имеем две системы.

-2 - 2і -2 4 2

1. = G +

"Л)(:;)-

(1 -t-t)tn +а2= Os + (1 - i]ai - О,

оті = —а, — (1 + г) о:.

2. А3 = 5 - 2г,

-2 -j- 2i —2

4 2+2i

(1 - i)at -f Q2 = 0, 2cti + (] + i)o2 - 0,

CX] ~ —1, Ofi = 1 — t.

Собственные векторы можно взять в виде (л = 1)

л,=в+и, *=(,-;.),

A2 = S-2і, У„ = ( J .

Общее решение нсходнон системы определяется выражением (используется А] ИУІ)

5f

¦ е

С?|Не^ ^ , J (cos2i+ism2f) +

+ СЗІЇГ

( 1 + і ) + -Сі cos 2*

(Сі + С2) COS2M- (-Сі + С2) sin 21

-С)-'

С, cos + С2 sin 2t

(Сі - С2) sm2? - (С\ + C2) cos

Так как Cj и Са произвольные постоянные, то сделав замену С\ на —Сі н Сі на — Сг, получим

Если использовать для составления обшегс решения и ij, то получим

X -Ci Re ( ) + calm ( j =

—Ci cos 2t + Сі sin 2t \

(Ci - C2) cos2t — (Ci + C2) sin 21 J '

Сделав замену С і на — CL) получим общее решение, выписанное выше.

в} Корни характеристического уравнения, равные А і — Х2- Пример 37, Найти общее решение системы

х[ — 3^1 — оса,

х\ - XI +Х2.

Решение. Характеристическое уравнение А3 — 4А -М * 0 имеет корни Аі — Аз = 2, Поэтому решение снс7емь: ищем в виде

я: = (aj -hpit)e2\

Подставляя это выражение в исходную систему и сокращая на

получим . . Л . ,

- ^ ~ /3, - fa) = О,

oj-a^ft-Mffc-ftJ-O.

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях t, имеем (3\ — — Д? — Пі — as — $} — 0, й| — а2 ~ = 0. Полагая Oi — Сі и /?і = = находим а2 — Сі — С2, & = Qj, Таким образом, общее решение исходной системы имеет вид:

^ (Ci Ни (Ci - С2 + СЭДеЧ