Вопросы для самопроверки

Какова структура общего решения линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами?

Как решаются линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами методом вариации произволъ^ ных постоянных?

Как находятся частные решения линейных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами с правой частью специального дада?

Как решать системы линейных дифференциальных уравнений?

Какая система линейных дифференциальных уравнений Г1азыва- ется нормальной?

Какое уравнение называется характеристическим уравнением системы линейных дифференциальных уравнений?

Упражнения

1.

а) у" 4- у' - 2у = Вsm2x, б) у" - 2у' = х2-х.

а) у" - 2ау' + а7у = е* (а Ф 1),

б) у" + 6у' + Ьу = е3* в) у" 4 у1 = 10.

а) у" - 2у* 4-3у - е~х cos xt б) у" 4-4у = 2sin2х.

а) у" - 7yf + Gy~ sin х, б) у" - 4у = е2х sin Зг.

a) y"+fy/ + 9y = хе3х б) у" + 10?/ + 25у -

в) у" + Зу' -

If. Найти частные решения дифференциальных уравнений, удовлетворяющие начальным условиям:

у" + W -f 16у = 0) = 3. у'(0) = -5,5.

у" -2-у1 + Iffy = 101*4-18x4-5, = 1, 2/'{0) = 3,2,

у" - 2у' = + х - 3), у(0) = 2, у'(0) = 2.

у" = 2(1 - х), у{0) = 1, уЩ = 1.

Ответы

а) у = С\еГ2х +С2ЄЯ - I (cos2x 4- 3 sin 2x).

2. а) у = (Ci + хСъ)ейХ 4- б) у = Сіе-Ьх + C2c~x 4- ^p,

(o, — 1)

в) у - 10z 4- Ci +

а) у = cosy^s -f Сг sin+ ^"C^cosa: - 4sin x),

б) у — Ci cqs2e + Ci$ivi2x — ^ ?cos2je.

4, а) у - Сіє* + Ctб) у — CitT^ + Cze2* -±e7x(sm2x + 2co&2x),