§ 58, Числовой ряд. Сумма ряда. Необходимое условие сходимости ряда

ж

пі + аз а3 + + Oh + s 0,1.

n=i

Это выражение наэиБается числовым рядом.

Рассмотрим для числового ряда суммы его первых членов: Si = аь S2 = -Ь d-2, S3 — + + йэ,..., 3Л — йі -г йі 4- ¦ - - i^n» которые

называются частичными суммами. Если существует конечный предел lim Sn = Si то его называют суммой ряда и пишут:

ой

S = й\ + -|-йп + ... = йк-

к=1

Если ряд имеет конечную сумму, его называют сходящимся, если же предел не существует, то ряд называется расходящимся н суммы не имеет.

Простейшим примером бесконечного ряда является геометрическая прогрессия; . -

a+oq + aq +... +agft +...

Сумма п первых членов этой прогрессии (а ф G3 q ф 1} равна

с _ а ~ _ a _ с ¦ с _ А

"5ft — :—— z т — ^ 5 ^ — "Ї "

1 - q I — q I — q 1 - q 1-q

Если \q\ < lt то прн n 00 qn -* 0; тогда lim Sn — 5} т. е. при \q\ < I

n—*co

ряд сходится и его суима равна S. При \q\ > 1 рассматриваемый ряд расходится, так как qn 00 прн п оо, a lim Sn = 00. Если q = 1, то мы имеем:

Sn « a + 0. *f ,,, + a - na и lim Sn = оо,

IWCO

т. е. ряд расходится.

Если же ([ —1+ то ряд имеет вид л — а-\-а — 4-а — а + а в этом случае

0 при четком П,

я

а при нечетном п.

Следовательно, Sn предела не имеет — ряд расходится. Таким образом, геометрическая прогрессия (с первым членом, отличным от нуля) сходится только тогда, когда знаменатель прогрессии по абсолютной

Основные свойства бесконечных рядоп,

Если ряд (І1 + 0.-2 +-- + a,j + сходится и сумма его S, то ряд cai + Ч"+ сап Н-..., полученный на предыдущего утюжением всех членов на одно и то же число с, тоже сходится и сумма его

Сходящиеся ряды можно почленно складывать и вычитать, т.е.

СХОДЯТСЯ И их суммы, СООТВеТСТВСН ПО. равны Set И Sb) то ряды

тек же сходятся и мх суммы, соответственно, равны Sa + Si и Sa — Sh•

Необходимый признак сходимости ряда: если ряд сходится, то его п-\\ член стремится к нулю при неограниченном возрастании п, т.е.

Рассмотренный признак является только необходимым и не является достаточным, т.е. из того, что an стремится к нулю при п — + оо не следует, что ряд сходится. Однако, если ап не стремится к нулю при п —* ост то ряд расходится. Таким образом, при исследовании ряда на сходимость следует прежде всего посмотреть, равен ли lim ап нулю.

Если же это не так, то ряд заведомо расходится,

Отбрасывание конечного числа членов ряда нли добавление к ряду конечного числа членов не влияет на сходимость или расходимость

§59J Д астат о чны е цел овая сходимосжиряда 52]

Решение. Так кап lim л„ = 0 н учитывая, что . 1 ¦¦¦... I —

J ть(т?, -[- !) п

1

—, представим частичную сумму ряда о аиде

ГЯ 4* 1

¦Н ™ І h* і

+ (і і) +.,. + (!_ -ї^)-"—тті

\2 3/ V ti n+\J 71 + 1

тогда

Urn Stl = Um (2 —) « 2 - Inn —^ 2t

Tl—*CO Ц-Ч» 4 П -{- 1 / U—too II J

а поэтому данный ряд сходится и его сумма равна 2.

Пример 2, Исследовать сходимость ряда, у которого п-1\ ч.іен

Решеиие, Так как lim an = I, то данный ряд расходится, так как

ч—

Р ешен и е. Так как lim л,

Ь—> CW

не выполняется необходимый признак сходимости.

2п -і- зп

Пример 3. Исследовать сходимость ряда, у которого ап = —^—.

Решение, Тазе как lim ап =0, то ряд может сходиться. Представим ап в виде: ап= / -J + f-І = -t- сп. Ряды Jj hn и ^ с*

Л~ 1 ft™ 1

сходятся, так как представляют собой геометрические прогрессии со знаменателем q < 1. Их суммы соответственно разим ?(, -—-— — -, Sc = 1. Поэтому исходный ряд сходится и его сумма равна 1,5.